第二章一元二次函数方程和不等式全章总结提升课件高一上学期数学人教A版

第2章一元二次函数、方程和不等式人教A版

数学必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一不等式及其性质1.不等式及其性质贯穿整个高中数学阶段,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.【例1】

(1)已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(

)A.P>Q

B.P≥QC.P<Q

D.P≤QA解析

因为P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),所以P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.∵a,b,c为不全相等的实数,因此等号不成立,即P-Q>0,∴P>Q.故选A.(2)[2024江苏扬州高一期中]对于实数a,b,c,下列命题正确的是(

)A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,则a2>b2C.若a>b,则a|a|>b|b|C解析

A选项,ac2-bc2=(a-b)c2≥0,故A错误;B选项,a2-b2=(a-b)(a+b),因为无法确定a+b的正负,故B错误;C选项,当a>b>0时,a|a|-b|b|=a2-b2=(a-b)(a+b)>0;当a>0>b时,a|a|-b|b|=a2+b2>0,当0>a>b时,a|a|-b|b|=-a2+b2=(b-a)(a+b)>0.规律方法

不等式及其性质的两个关注点(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常常选择特殊值法.变式训练1(1)下列不等式正确的是(

)D(2)已知0≤a+b<1,2≤a-b<3,则b的取值范围是

.

基本不等式(a>0,b>0)是高考热点,主要考查实数比较大小、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.重点提升数学抽象和数学运算能力.专题二基本不等式及应用【例2】

(1)(多选题)已知m>0,n>0且m+n=2,则下列选项正确的有(

)CD6规律方法1.注意寻求已知条件与目标式子之间的联系.2.利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.变式训练2已知x>0,y>0.(1)若x+9y+xy=7,求3xy的最大值;专题三解一元二次不等式1.对于不含参数的一元二次不等式首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.【例3】

已知函数y=x2+(a+b)x+a.(1)若关于x的不等式x2+(a+b)x+a<0的解集为{x|2<x<3},求a,b的值;(2)当b=1时,解关于x的不等式x2+(a+b)x+a>0.解

(1)由题知,关于x的方程x2+(a+b)x+a=0的两个根为2和3,

(2)当b=1时,y=x2+(a+1)x+a>0,即(x+a)(x+1)>0.当-a<-1,即a>1时,解得x<-a,或x>-1;当-a=-1,即a=1时,解得x≠-1;当-a>-1,即a<1时,解得x<-1,或x>-a.综上可知,当a<1时,不等式的解集为{x|x<-1,或x>-a};当a≥1时,不等式的解集为{x|x<-a,或x>-1}.规律方法对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类要不重不漏.变式训练3

若关于x的不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式(a-2)x2-x-t2+t<0;(2)若关于x的不等式ax2+bx+3≥0的解集为R,求b的取值范围.解

(1)由题意知1-a<0,且-3和1是关于x的方程(1-a)x2-4x+6=0的两个根,

不等式(a-2)x2-x-t2+t<0可化为x2-x-t2+t<0,即(x-t)[x-(1-t)]<0,令(x-t)[x-(1-t)]=0,解得x1=t,x2=1-t.

(2)ax2+bx+3≥0,即3x2+bx+3≥0.∵不等式的解集为R,则Δ=b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6,∴b的取值范围是{b|-6≤b≤6}.专题四不等式的实际应用本专题主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模和数学运算素养,不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题.【例4】

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x的取值范围是什么?解

(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10

000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6

000x2+2

000x+20

000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,规律方法认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用,提升建模能力、实践能力,最后不要忘记对数学结论的还原以验证是否符合实际情况.变式训练4[2024四川高一单元测试]为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会,州民族体育场进行了改造翻新,在改造州民族体育场时需更新所有座椅,并要求座椅的使用年限为15年.已知每千套座椅建造成本是8万元,设每年的使用管理费用为y万元,总座椅数为x千套,两者满足关系式:y=(0≤x≤8).15年的总维修费用为80万元,记w为15年的总费用.(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用).请问当设置多少套座椅时,15年的总费用w最小,并求出最小值.易错易混·衔接高考1.如果a<b<0,那么下列式子中一定成立的是(

)A解析

由a<b<0,得a2>ab>0,A正确;由a<b<0,得-a>-b>0,则a2>b2,B错误;A.{x|x<2或x≥3} B.{x|2<x≤3}C.{x|x≤2或x≥3} D.{x|2≤x≤3}A3.[2024云南大理高一期末]若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是(

)A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}C.{a|-2<a≤2} D.{a|-2<a<2}C解析

当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.综上,实数a的取值范围是-2<a≤2.故选C.4.[2023新高考Ⅰ,1]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(

)A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}C解析

由题意,x2-x-6≥0,解得x