《计算方法》课后作业参考答案（1-6章）

第1章绪论

1.3设准确值为%=3.78695,y=10,它们的近似值/=3.7869,/=3.7870，

y；=9.9999,猖=10.1,/T10.0001分别具有几位有效数字？

解：

(1)

X；=3.7869=0.37869x10,,x=0.378695x1O'

|E,|=k-x；|=|o.378695x10'-0.37869xIO11=0.000005x10'<LxlO15

所以，F具有5位有效数字。

x2=3.7870=0.37870x10,,x=0.378695x1O'

|E,|=卜-x；|=10.378695x10,-0.37870xlO11=0.000005x10'<LxlO1-5

所以，y*具有5位有效数字。

(2)

y=O.lxIO?,y；=0.99999x10',^=0.101xlO2,0.100001xlO2

|£i|=|J-=|1x1O'-0.99999x10'|=0.00001x10'<LxIO1-4

所以，3f具有4位有效数字。

但2卜卜p.lxl()2_o101x1()2『OOOlxUwLxlO2-2

所以，%,具有2位有效数字。

⑸卜|y-y；|=^).lxl02-0.100001xl02|=0000001xl02^

2

所以，Y具有5位有效数字。

1.4设｛=0.0056731是x的具有五位有效数字的近似值，试计算其绝对误差限

和相对误差限。

解：

根据定理LI,x*=0.0056731具有五位有效数字，则寸的相对误差月满足

|辟10-/，+1=1x10-5+|=0.5x10-4=^*,即为相对误差限。

Id22r

根据得f=£；.|/1=o.5xIO4X0.0056731=0.283655x106,即为

\x

绝对误差限。

或者

\E\<Lxl()j=110-2-5=05x10-7=£,即为绝对误差限。

1122

*£0.5x10"-5

4=4=厂产--------=0.881352x10,即为相对误差限。

x0.0056731

1.5^x=1990±10,j=1.99±0.001,z=0.000199±0.000001,试问这三个近

似值亡=1990,/=1.99和z*=0.000199哪一个精确度高？为什么？

解：

__10=0.005,g*=g=0,001=0.0005

rx

-|x|-1990巧|7|1.99

ȣ0.000001

r.=--------------=o.oo5

|z|।0.000199

因此，y*=1.99的精确度最高，因其相对误差限最小。

2

第2章非线性方程的数值解法

2用对分法求出方程V—2?-叙-7=0在区间［3,4］内的根，精度要求为

炉。

解：

对分次数确定：

10-3

2*

h_n

k>log()/log2=9.9658,取k=10。

10”

瓦及/(仇)的符号

kak及f(ak)的符号xk及f(xk)的符号

13(-)3.5(-)4(+)

23.5(-)3.75(+)4(+)

33.5(・)3.625(-)3.75(+)

43.625(-)3.6875(+)3.75(+)

53.625(-)3.65625(+)3.6875(+)

63.625(-)3.640625(+)3.65625(+)

73.625(-)3.632813(+)3.640625(+)

83.625(-)3.628906(-)3.632813(+)

93.628906(-)3.630859(-)3.632813(+)

103.630859(-)3.6318363.632813(+)

3方程丁-/_1=0在5附近的根，把它写成下面四种不同的等价形

式：

23

(1)x=\lx+l；(2)x=Vx-1；(3)x=—7^—；(4)x=jo

x-xVx-1

试判别相应的各迭代公式在勺=1.5附近的收敛性。

解：

3

2-2

(1)令奴X)=贻+1,(P,(x)=—X^2+l)十

2_2

所以，依(刈15=§xl.5x(1.52+l)3=0.4558<1,收敛。(这种方法欠妥)

k12345

1.4812481.4727061.4688171.4670481.466243

由表数据可知，迭代公式收敛。

(2)Xk+]=yjxk^-l

k12345

41.5411041.6309891.8271932.2583913.243230

由表数据可知，迭代公式发散。

升2一4

k12345

Xk1.3333332.2500030.355554-4.3642330.0427154

由表数据可知，迭代公式发散。

k12345

Xk1.4142141.5537731.3437981.7054871.190572

由表数据可知，迭代公式发散。

雪用牛顿法求下列方程的根，精度要求10九

(1)x-ex=O,取初值x沪1;

(2)X3-X2-2X-3=0,取初值步=2；

(3)x-sinx=।,取初值x=1o

20

解:

4

(1)令f(x)=x—e-x,贝|J,f\x)=l+e-t

f(x)x-e~x1+x

^+i=x,-J=x,-=-^

f\x)l+e'xl+e~x

k01234

Xk10.5378830.5669870.5671430.567143

所以，£=0.567143。

(2)令/。)=X3一/一2X一3,则,f\^=3jc-2x-2

3-

-f(x)_k___k_—_2_x_k_—_3__U|-2Ixk___x_~+3

fyX)3x—2x—23x—2x—2

kkkk

k012345

Xk22.52.3829792.37446823744242.374424

所以，x*=2.374424。

(3)令/(x)=x-sinx=l,贝!J,f\x)=1-cosx

11

x-s\nx-sinx-xcosx+

/(x)_kk3kkk2

Xk+\~Xk~/'(x)—Xk~~1-COSX~1-COSX一

k012345

11.7428161.5228871.4976441.4973001.497300

所以，x*=1.497300。

25用弦割法求解下列方程，精度要求10、

(1)x3—3x2—2x+8=0>取初值x=—2,x=—1.5；

01

(2)x3—2x—5=09取初值％=2"=3o

oI

解：X=X-'C")(X-X)

★k/,z\/,✓、k左一1

5

(1)令/(X)=X3-3X2-2X+8

k%Z+i|修一司|

1-2-1.5-1.549300.5

2-1.5-1.54930-1.561960.0493

3-1.54930-1.56196-1.5615500.01266

4-1.56196-1.561550-1.5615530.00041

5-1.561550-1.5615533x1O-6

6

所以，x*=-1.561553o

(2)令/(x)=d-2x—5

k-Vo%S+i|再7。|

1232.058821

232.058822.081260.94118

32.058822.081262.094820.02244

42.081262.094822.094550.01356

52.094822.094552.094552.7X10-4

62.094552.094550

所以，/=2.09455o

6

第3章线性代数计算方法

3.2.分别用高斯消去法和列主消元高斯消去法求解下列方程组。

「2355

-0.5-0.5-1.5

01.50.5」人」2.5

回代得:

列主元高斯消元法:

5出也。吐2出出口1?47再6

1"网635x25|

33"L5133

J中小4也出山;476'

1/31/341

L。5/32/33_

347一「?］出个平心1034

05/32/35/3

2

01/31/3」人［111I100

回代得:

X)=~4,=1,X3=2

7

2233]「22331/2233]

4771J出@4即3-5出渺31-5

1I

-245-7j[_068-4j[0066

回代得:

X|-2,%2=-2,—1

列主元高斯消元法:

1fl

3〕-47711477

223

31

47712230

一2一2一?3I

-245-7-245-71517

0

T-T2J

4771

虏T疯Lo孕gT

乙J乙

006

55」

回代得:

=

xy=2,x2一2,x3=1

1iw1

113

-1fl2-2

(3)

135-4I卜-4

L012-1JLX4JL-2J

高斯消去法：

Y1].

1-1-1JI牛V也也

50Y

2-1

-41-

-1-1

1-4

-I0

8!1

8

回代得:

Aj=1,A??=°,%3=—1,工4=0

列主元高斯消元法：

10-411

[I]x(-|)+|2].[21x(-1)+l4|

113-2)2

1叱|牛叱-中日】、

64二夕8

JI

101i0

021-102

004J卫4:L004

31

00000

IL2221]IL

回代得:

%.=1,x^=-2,x3=-1,x4=0

3.4用列主元高斯・约当消去法求A-'o

一2101

(1)A=02

L302J

解：

-2101001「3020011「102/3001/31।

选主元3|111R3I

021010出步**|021010J3»|021010

0H

3020-|_210100[210100

02/3o

fl21o01/31Fl02/3001/3]

(出3o10UWo11/201/20

1-4/30-2/3l]01-4/310-2/3Ij

02/3001/3]02/3001/31

也』

1/201/20।J11/201/20

I

0-11/6-1/2-2/3l]01-6/113/114/111]

-1004/11-2/111/11

HH3M2/3)

出力”出L0103/114/11-2/11

001-6/113/114/11

9

r21-3-f

3107

(2)A=o

-124-2

110-15

LJ

「110

「21-3-110()o-7()100

1

333

31070100100

一

-124-20010113-1101

1-11ol

―

121-200

Li0-15000

iu0—50001

一

171

C000

j书%

0-3-1—003

JO七+出出出血17F84

041010

333

i81

0——10—01

333

17171

1000010000

3??§12

123r3

010011o00

T777J上丁E装小一77

11724051

0-310000-10

3337T7~7

8-10-319

0-100000-22_

333777

1八7八1八八

10000

12TI3

o।?No__0

Q77

°°15-21「

31925225

00-_______0-1

L7777」

10

1c7八17171

10000110000

333八

1211312??3

3010050100

f41+(3]x~T77T7T

JJ87

0-711

0012C-7....-1--1-0010

¥¥

17手，牙帛5

0001()001——

_525525-85178517

100041023161

17一萝T7

3364113I

0100-——1

17

19538

0010---

85—T7-8517

0001--——

85178517一

3.7对以下矩阵进行LU分解。

「2011

(1)J-34-2，；

1|_17-5lj

(1)

W|।-21W|2=0,i/jj—1

,3；1

/=—fI=

21531]

331

.=4-(-_)x0=4,w=-2-(-i)xl=-l

222

17

,=(7-x0)/4=

I——

3224

(注意：最后一个心的求法)

三角分解的紧凑格式:

11

011201_201201

4-2T-3/24-2-3/24-1/2一-3/24-1/2

7-51/27-51/27/4-51/27/4-37/8

ri11f2011

L='-3/2U=|4-1/21

I

7/411]IL-37/81]

「1234〕

1345

(2)

2144

2325।J

—1=2,1/13=3,〃[4=4

4i=1，hi=2,，4产2

=

“22=3—2=1u23=4-3=1,«235—4=1

/32=1-2X3=-3,/42=3-2X2=-1

“33=4-2x3—1=-3,%4=4—2x4+3=—1

/43=2-2x3-1x(-1)x1=-3

UAA=5—2x4-(―1)x1—(—3)x(—1)=-5

三角分解的紧凑格式:

==

W|।=2,M|2-0,W|40

12

u=5-_xl=_u=1-_xO=l,w=0

22212.23224

4

I=(2-0x1)=0

323.53y

c4244

u=4—0—_xl=yu=-1x0—x0=—1

3377347

I=7X2_=49

4324-24*

49?89

u=10-0-0-_x(-l)=_

4424~24

-11r2-100

-217i0

22

L=口4U=24

00_1

L24J一~24

三角分解的紧凑格式：

20opo

--

L0--51

203-

--7

0-1o-1身

_24

「--

_-0351Iz4-4

_u-

024-1-07

-l——

1O—

I0—o7lo

L7JIJ

o7

lol

2O-2-100

-10

37_37

1010

~2222

424—>

0-10424-1

7T7T

4949289

00101001

L242424J

3.13判断用雅克比迭代法和高斯•赛德尔迭代法解下列线性方程组是否收敛。

⑴L"阴L嚼

I2

2-310j|_x3|I3

（1）解：

雅克比迭代矩阵:

13

0-2

D=4,L=10,U=0

1030Loj

I「0.2o-2-Hro-0.4-0.2

C=D\L+(/)」

0.25i0-2=0.250-0.5

30JL-0.20.30

20.40.2

\ZE-Cj\=-0.25A0.5=23+0.212+0.055=0

0.2-0.34

求得G的特征根4=-0.21,^=0.11+0.49/,23=0.11-0.49z

/XG)=0.5<1,故该线性方程组收敛。

高斯赛德尔迭代法的迭代矩阵：

4件-2-11ro-0.4-0.21.

C=0-2=0-0.1-0.55

11

-310」0“00.05-0.I25J

20.40.2

\AE-2+0.10.55—4(42+0.225/1+0.04)=0

0-0.052+0.125

2,=0,/U=-0.1125+0.1654/,%=-0.1125-0.1654z

/XCG)=0.2<1,故该方程组收敛。

雅克比迭代矩阵:

0

-

-1O

n0.。5

--_T

_

O)

0.5

-0.5

-

-

-

-

2-0.50.5

\AE-Cj\=121：=才+1.254=0

-0.5-0.5A

求解得G特征根为：4=。，22=1.118/,22=-1.118;

/XQ)=1.U8>1,故该线性方程组发散。

高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵:

2n°0.5-0.5

C=(D-LY]U11i1坐-0.5-0.5

oI]Lo0-0.5J

A-0.50.5

\^E-Cjf=12+0.50.5=如+0.5)2=0

002+0.5

4=4=—0.5,4=0

/XCG)<1

故该方程组收敛。

15

第4章插值与拟合

4.1已知一组数据，见表4-15。试用线性插值与二次插值计算sin(0.629)的近

似值。

表4-15

X00.5235990.7853981.0471981.570796

sinx00.50.7071070.8660251

解：由题意设y=sinx,取xo=Oyo=O；xi=0.523599yi=0.5；X2=0.785398

y2=0.707107；x3=1.047198y3=0.866025；x4=1.570796y4=l

1.线性插值法：以川二0.523599,X2=0.785398为节点

线性插值多项式：(通式)：

x-x,%+“一2)，=匕-0.785398乂0.5+―二0・523599><0.707107

X-XX-X0.523599-0.785398U.7853V8-0.523599

I221

_0022459+0.207107x

0.583382

0.261799

+x=

或者sin(0.629)=y2"~)6583382

x-x

21

2.二次插值计算:以xi=0.523599,x2=0.785398,X3=1.047198为节点(通式)

B(x)=。一石/丫一七)。一再)。一冬)(x-x])(x-x2)

(JT一工)(——L))(X-x)(x-x)J(X—X)(X-X)°

121321233132

_(x-0.785398)(犬-1.047198)-0.5+

一(0.523599-0.785398)(0.523599-1.047198)

0.523599)(1.047198)工。

(0.785398-0.523599)(0.785398-1.047198)

(x-0.523599)。-0.785398)、，八。,…

xU.ooo(J^2)

(1.047198-0.523599)(1.047198-0.785398)

_-03303.x2+1.1756x-0.0552

0.9395

=0.589177

4.5给定一组数据，见表449,用牛顿基本插值公式计算/(O.1581)和/(0.6367)

的值。

表4-19

i012345

X0.1250.250.3750.50.6250.75

/(X)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228

解:

16

Ps(x)=/(x0)+f[xQ,x[](x-x0)+f[x0,xhx2](x-xQ)(x一X])+

/[x0,xI,x2,x3](x-x0)(x-xI)(x-x2)+f[x(),x]9x29x3fx4](x-x())(x-xl)(x-x2)(x-x3)+

/[x0,x1,x2,x3,x4,x5](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)

Xi一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差

0.1250.796181

0.250.77334-0.18272x-0.125

0.3750.74371-0.23704-0.21728(x-0.125)(x-0.25)

0.50.70413-0.31664-0.3184-0.26965(x-0.125)(x-0.25)(x-0.375)

(x-0.125)(x-0.25)(x-0.375)

0.6250.65632-0.38248-0.263360.146770.83284

(x-0.5)

(x-O.I25)(x-O.25)(x-0.375)

0.750.60228-0.43232-0.199360.170670.0478-1.25603

(x-0.5)(x-0.625)

f(x)=0.79618+(-0.18272)x(%-0.125)+(-0.21728)x(x-0.125)x(x-0.25)

+(-0.26965)x(x-0.125)x(x-0.125)x(x-0.375)

+(0.83284)x(x-0.125)x(x-0.25)x(彳一0.375)x(x-0.5)

+(-1.25603)x(x-0.125)x(x-0.25)x(x-0.375)x(x-0.5)x(x-0.625)

=-1.25603/+3.187896%4-2.978865/+0.958676/—0.296086x+0.8232895

所以：

/(0.1581)=-1.25603x(0.1581)5+3.187896x(0.1581)4-2.978865x(0.1581)3

+0.958676x(0.1581)2-0.296086x(0.1581)+0.8232895=0.79029

同理可得：/(0.6367)=0.65152

4.11设实验数据见表4-24,求其二次拟合多项式。

表4-24

Xi().10.2().30.40.50.60.7

95.12345.30535.56845.93786.42707.07987.9493

解：设拟合曲线为尸〃+g+0

0I2

建立正规方程组为：

17

由此解得：「2]=弓.躺"]

,II

OjJ11_6.7024lj

即可求得二次拟合多项式为：y=5.1623-0.760lx+6.7024x2

片：fy.

i再wX七乂jr

10.10.010.0010.00015.12340.512340.051234

20.20.040.0080.00165.30531.061060.212212

30.30.090.0270.00815.56841.670520.501156

40.40.160.0640.02565.93782375120.950048

50.50.250.1250.06256.42703.21351.60675

60.60.360.2160.12967.07984.247882.548728

70.70.490.3430.24017.94935.564513.895157

和2.81.40.7840.467643.39118.64499.7653

18

第5章数值微积分

5.1分别利用梯形公式和辛普森公式计算下列积分。

(1)J(xlnxdx；

解：

梯形公式：lx(。-〃)[/(〃)+/(/?)]

2

原式=』x(2-Dx(2xln2+lxln1)=0.693147

2

辛普森公式：(b-a)df(a)+if(c)+Lf(b)],c=*

6662

a+b3

c=------=—

22

1