2022-2023学年苏教版必修第一册 73 三角函数的图像与性质 作业

专题7.3三角函数的图像与性质

A组基础巩固

1.（2021•山西英才学校高一阶段练习）y=tanx（）

A.在整个定义域上为增函数

B.在整个定义域上为减函数

C.在每一个开区间卜]++觊）（keZ）上为增函数

D.在每一个闭区间-1+而,]+&乃（AwZ）上为增函数

【答案】C

【分析】

利用正切函数的性质即得.

【详解】

函数），=tanx卜吟+%r,keZ）是周期函数，在每一个开区间（一:|+如:|+匕，代eZ）上为

增函数，但在整个定义域上不是单调函数.

故选：C.

2.（2021•陕西•西北工业大学附属中学高一阶段练习）设函数下列结

论正确的是（）

A./（x）的一个周期是2期

B.>=/（x）的图象关于直线工=-与对称

c.小+?]的一个零点为“咤

D./（力在，号）上单调递减

【答案】B

【分析】

根据余弦函数的性质一一判断即可；

【详解】

解：因为f（x）=cos[jx-5j,所以函数的最小正周期—=4乃

1，故A错误;

当x=_与时/fl4兀

cos—X9=cos(-^)=-l,所以函数y=/(x)关于

?。7

47r

x=--1对称，故B正确;

711冗,所以当x=当时

因为/XX+——X---

2212O

J547TT10,故彳=知不是/1+]

—=一工的零点，故C错误;

丁万32

检(5加11吟1nJ乃

当XG三-'亏，所以5%_可€,因为函数)，=8SX在上不单调，所以

上不单调，故D错误;

故选：B

3.(上海市奉贤区2022届高二一模数学试题)下列函数中为奇函数且在R"为增函数的是

()

A.y=2xB.y=|乂C.y=sinxD.y=x3

【答案】D

【分析】

根据常见函数的奇偶性及单调性，逐项判断即可.

【详解】

对A,因为指数函数y=2,为非奇非偶函数，A错误;

对B,函数y=N为偶函数，且在R上不单调，B错误；

对C,正弦函数丁=小3是奇函数，但在R上不单调，C错误；

对D,爆函数y=d为奇函数，且在R上是增函数，D正确.

故选：D.

7T

4.(2021•全国•高一课时练习)已知函数f(x)=Asin(s:+0)(A>0,|^|<-,。>0)的

部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移。(a>0)个单位长度，所得图象关

于直线对称，则。的最小值为().

4

y

【答案】c

【分析】

根据图象可得的周期，振幅和过(W。)，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式,

然后根据对称性求出答案即可.

【详解】

设/⑴的最小正周期为丁，由图知A=l,T==

41234

T=TT,：.a)=2f：./(x)=sin(2x+^),

将(9,0)代入，得sin(2xg+0)=0,又|/|<曰，/.0=[,/./(x)=sin(Zr+?),

JJZDJ

将的图象向左平移。，所得函数的解析式为：

g(x)=sin[2(x+a)+y]=sin(2x+纭+至，

g。)的图象关于直线上=当对称，/.2x¥+2a+g=g+觊(kcZ),

4432

a=—3~+~2~(攵£Z),<a>0,a的最小值为(，

故选：C.

5.(2021•全国•高一课时练习)函数/(x)=-2sinx+l,xe｝汨的值域是()

A.1-3,11B.[-13]C.[-M]D.[1，引

【答案】B

【分析】

直接根据三角函数的有界性得到答案.

【详解】

xe[--,n],iftsinx€[-Ll],故-2sinx+lw[-1,3],

2

故选：B.

6.（2021•全国•高一课时练习）函数），=cos（f-2x）的单调递增区间是（）

A.[-^+kTtt-^-+k^r]（keZ）B.1一°^~+k冗,J+k兀]:4wZ）

8888

C.[—卜2k冗,—+244]（AwZ）D.[------卜2k九,—F2&乃]（ZcwZ）

8888

【答案】B

【分析】

根据余弦函数单调性，解不等式r+2E42x-Jw2E得到答案.

【详解】

y=cos（：_2x）=cos（2x-：）,令一九+2E42x_：«2E,

解得-"^+而工+E,kwZ.

88

故选：B.

7.（2021•江苏•高一单元测试）函数/（x）=2cos[%+竿）是（）

A.最小正周期为2期的奇函数

B.最小正周期为2%的偶函数

C.最小正周期为2乃的非奇非偶函数

D.最小正周期为产的偶函数

【答案】A

【分析】

利用诱导公式化简/（力，由此判断函数/（刈的奇偶性以及最小正周期.

【详解】

/（x）=2cos卜+竿）=2COS（X+9=-2sinx,

故/（x）是最小正周期为2n的奇函数.

故选：A

8.（2021•陕西商洛•模拟预测（理））将函数/（幻=8$]/x+^1。＞0）图象上所有的点向右

平移3个单位长度后，得到函数式x)=cos(2x+w)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程为

O

()

545乃5454

A.x=—B.xC.xD.x=

126126

【答案】C

【分析】

依题意可得3=2,即/(x)=cos(2x+?J,再根据三角函数的变换规则求出g(x)的解析式,

再根据余弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：由题意知，/(x)=cos(2x+\),g(x)=cos[2(x-2)+r=cos(2x-^).

令2x-%=k4也处,得x与g(AeZ).当％=-1时，x=-y|,即g(x)图象的一条对

称轴方程为工=-意.

故选：C

9.(2020・北京•清华附中高一期末)下列函数在定义域内单调递增的是()

A.y=x2B.y=tanxC.y=0.5xD.y=lgx

【答案】D

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,j=x2,是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；

对于B,y=tanx,是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；

对于C,y=0.5\是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；

对于D,y=lgx,是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；

故选：D.

10.(2020•上海•位育中学高一期自)函数y=sin(3-x)的的单调递减区间是()

A.\-2k7T-,-2k;r-y1(A:€Z)B.[2^-y,2^+|^l(^eZ)

C.[-k7t---2kn--](keZ)D.[U--,k7r+-](keZ)

3663

【答案】B

【分析】

将给定函数变形成y=-sin(x-£),再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.

【详解】

函数丁=5皿(三一幻二一$山(工一工)，由2%%一工Wx—乙42女4+C,AeZ得：

66262

2k冗-巴<x<2k7r+^-,keZ,

33

所以函数尸则(£-此的的单调递减区间是：[2及乃-g,2m+y](ZeZ).

033

故选：B

11.(2021•全国•高三阶段练习(文))函数/(*=26$亩(31+9)0<。<乃)的部分图像如

图所示，将函数/(X)的图像向右平移5个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的

【答案】C

【分^5】

根据图象所过点，结合图象求出口，再由平移得到仪工)，根据正弦型函数的单调性求解即

可.

【详解】

由图象过点可得26排1（：十⑺=3,

即sin（：+°）=¥，0</<）

结合图象知，彳+9=年，即。=需，

2-\/3sin^x+y

令2攵乃一/V2k*gkeZ,

解得4人乃一生女乃+2,keZ,

33

即函数的单调增区间为4人|巴40+。d）,

故选：C

12.（山西省运城高中教育发展联盟2022届高三上学期12月阶段性检测文科数学试题）已

知函数fM=sin（x+0）（0v*v乃）在（0号）上单调递增，则（P的取值范围为.

【答案】（0春

【分析】

由X的取值范围，求出X+。，再根据9的范围及函数的单调性，得到不等式组，解得即可;

【详解】

解:当xe

所以呜“£7

又0<8（不，所以+工0，彳万,解得0“咤即凄吟

*>0

故答案为：（0,.

13.（2021•全国•高一课时练习）函数y=tan（3x+（）的最小正周期是丁=

【答案】y

【分析】

利用正切型函数的周期公式可求得结果.

【详解】

函数)，=tan(3x+?J的最小正周期是T=!\

故答案为：y.

jr

14.(2021•全国•高一课时练习)已知函数/(x)=Asin(3r+“)(A>0,6?>0,1。|<万)在

【分析】

根据图象求出A、。、。，然后可得答案.

【详解】

由图象可知，A=2,—=»..a)=2,由/(g)=2,

2882a)8

得2、(+0=1+2々万,keZ,解得0=5+22",keZ,

・「1”1<彳，“=~7,f("T)=2sin(2x—+—)=>/2.

24444

故答案为：&

15.(2021•江苏•高一专题练习)已知〃力=3sin®x+e)对任意X都有弟+@=喑-X),

贝lJ/口等于.

【答案】±3

【分析】

由给定等式可得/(力图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.

【详解】

因f(x)=3sin(@x+e)对任意x都有/(g+x)=/(g-x),则直线x是“力图象的一条

对称轴,

所以/（?=±3.

故答案为：±3

16.（2021•四川•射洪中学高一阶段练习）以下关于函数〃x）=sin（2i-?）（xcR）的结论:

①函数/（力的图象关于直线X=-£对称；

O

②函数/（力的最小正周期是4;

③若/（xj=/（w），则玉+超=左乃_?；

④函数/（x）在［0,10句上的零点个数为20.

其中所有正确结论的编号为.

【答案】①②④

【分析】

利用正弦型函数的对称性可判断①，由正弦型函数的周期可判断②，由/（%）=/（£）可得

x「x?=k7v,keZ,或再+&=%乃+,,攵wZ,可判断③，由/（%）=sin（2x-5）=。得

2x-?=k兀,可判断④.

【详解】

对于①，当x=T时，f（x）=sin（2x-M|=T,故函数/（刈的图象关于直线x=-J对称,

①正确；

对于②，函数〃x）=sin伍-M（xwR）的最小正周期是环②正确；

对于③，/（5）=/（毛），即sin（2X1-3）=sin（2x2-5）,

/.2x--=2k几+2x,-—.keZ,2x--=2k兀+4一2x,+—,kGZ,

4-44-4

：.%—h=卜冗,kwZ,或X［+w=*万+与，*wZ,如％=占=0时/（芭）=/（占），

%+工2=。=攵乃一“③错误；

对于④，由xe［（M0可得，等］,则由“x）=sin（2x-5）=O可得，

2x--j=^,0<^<19,Z:eZ,所以函数“X）在［0,10句上的零点个数为20,④正确.

故答案为：①②④.

B组能力提升

17.（2021•浙江临海市回浦中学高一阶段练习）（多选题）已知函数〃x）=sin（2%+*下

列说法正确的是（）

A./（x）的一条对称轴方程是x］B./（力的一个对称中心是信0）

c.丁=/卜+己）是偶函数D.y是奇函数

【答案】AC

【分析】

令2x+g=g+觊MwZ求解函数对称轴即可判断A,B选项；分别计算y=+

y=的解析式即可判断C,D选项.

【详解】

解:对于A,B选项,令24+,4+SAwZ,解得x=1+券,AwZ,所以当3=0时,f（x}

的一条对称轴方程是x［，故已°）不是对称中心，故A选项正确，B选项错误；

对于C选项，y=/^v+^=sin21+高+看=sin（2x+?=cos2/,是偶函数，故C选

项正确;

对于D选项，＞=/（喂卜sin2［一方）+看=sin（2喂）是非奇非偶函数，故D选项

错误.

故选：AC

18.（2021•全国高一课时练习）（多选题）已知/（x）=cos（x+令，关于/"）的下列结论中正

确的是（）

A.Ax）的一个周期为-24

B.在0,外单调递减

C.f（x+万）的一个零点为x=g

O

D./⑶的图象关于直线）若对称

【答案】ACD

【分析】

根据余弦型函数的图像与性质即可逐项判断求解

A：余弦型函数y=Acos(3x+9)的最小正周期为;-周期为;---k,keZ.

⑷\0)\

B：余弦型函数y=4cos(刃x+@)(3>0)的减区间由3x+(p£[2版\2攵乃-4],AWZ求得；

jr

C：余弦型函数y=4cos(3x+@)的零点由3*+e=耳+24，k£Z求得；

D：余弦型函数y=4cos(3x+@)的对称轴由3x+w=〃jc,k£Z求得.

【详解】

/(x)=cos(x+?)的最小正周期为7=2%,则f(x)的一个周期为-24，故A选项对；

当2攵4+544+22乃时，/(x)单调递减，

解得一q+存十2A/r,k^Z,当A=0时，即可判断Hx)在弓，外上不单调，故B

选项错；

/(x+;r)=cos(x+?)的零点为x+"=g+%r,解得“二一学+攵万，keZ,当k=l时，

3326

即可判断c选项对：

Ax)的对称轴为x+?=Z乃，解得工二一?+左乃，keZ,当k=3时，即可判断D选项对；

故选：ACD.

19.(2021•江苏南通•高三期中)(多选题)已知把函数y=sin2x的图象上所有点向右平移?

O

个单位长度，可得到函数y=/(x)图象，则()

A./(x)=sin(2x—q)B./(x)=sin^2x-^

C.〃x)=cos(2x一年)D.〃x)=cos(2x一,)

【答案】AC

【分析】

根据题意，结合三角函数的平移变换，以及诱导公式，即可求解.

【详解】

根据题意，得/(x)=sin2(X-^\\=sin(2x-^\t故A对，B错；

因为sin(2x—?=，所以/(力=烟(2工一日,

故C对,

D错.

故选：AC.

20.(2021•山东师范大学附中高三阶段练习)(多选题)函数/(x)=sin®x+0)(0>OM<S的

71

B.(p=-

o

C.对任意的x都有借］

D.f(x)在区间卜过句上的零点之和为？

【答案】AB

【分析】

利用图象求得函数/("的解析式，可判断AB选项的正误；计算/(1)的值，可判断C选

项的正误：利用正弦型函数的对称性可判断D选项的正误.

【详解】

由题图可知函数“X)的最小正周期为T=*者-2)=乃，则折子=2,

所以，/(x)=sin(2x+。)，把修lj代入得l=sin(?+8｝则?+0=>2々4(左wZ),得

(p=—+2k7T(keZ),

6

力同<g'则AB选项均正确：

/(x)=sin(2x+£|,当户展时，/(x)=0,不满足对任意的x都有小)“悟｝C错

误；

134「1br13兀

'：X^\r—7ty7t\,/.2x+—e———，

666

则/（X）共有4个零点，不妨设为。、〃、、d,且avbvcv",

则2a+工+26+工=2x（」］,2c+-+2d+-=2x—,

66{2）662

4

两式相加，整理得2a+2h+2c+2d=§笈，

故/（"）的所有零点之和为a+b+c+d=等，D错误，

故选：AB.

21.（2021•陕西•西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知函数f（x）=2sin（2x+q）+：

（1）求函数在一奈华上的所有零点之和；

（2）求g（"）=logi的单调递减区间.

【答案】

⑴野

(2)k冗-----,k冗十——(旧)

I1212

【分析】

（1）令〃力=0,g|Jsin|2x+^=-l再令〃=2x+g,根据4的取值范围，求出〃的取

值范围，则函数的零点转化为丫=-；与'=5皿〃（〃40,4句）的交点，画出函数图象，结合函

数图象及函数的对称性，计算可得;

（2）首先解三角不等式求出函数的定义域，即可求出内函数的单调递增区间，再根据对数

函数的性质及第合函数的单调性计算可得;

(1)

(1)/(x)=2sin(2x+?)+:

令〃x)=0osin(2x+5=*[q旬)

令x=2x+?,xe2x+ye[0,4^],〃=[0,4句.

作丁=411〃在[0,4句上图象知旷=-3与丁=5皿〃(〃40,4句)有四个交点,

%+%=2x与=7乃，

(2)

解：令/（x）-|>0o2sin（2x+?）+g>|

=sin（2x+?）>；,所以2%）,v2x+y<2女;r+葛（keZ）

解得就q<x<氏+/（壮Z）,即函数的定义域为缶后，氏+如壮2）

143\1X»/

由2x+?=2攵4+/(ZeZ)解得x=&;r+^(&£Z),

令，=/（x）-g，当xwk兀-三ht+三（婕Z）时，关于x单调递增;

y=l°gj在（0』上单调递减，「.g（力在（版■-1，版（&eZ）上单调递减.

故所求函数的单调递减区间为伉-j版■+m（丘Z）.

22.（2021•江苏淮安・高三期中）函数f（x）=Asin（8+0）（A>0⑷>0.网<9的部分图象如

（1）求/（可解析式;

（2）写出函数/（4）在0,y上的单调递减区间.

【答案】

（1）y=2sin（2x+?）

⑵IT,

【分析】

（1）根据图象求得从而求得/（另解析式.

（2）利用整体代入法求得了（»在区间0,1上的单调递减区间.

（1）

由图象知A=2,7=1一（一（）=%，所以3=2,又过点,1，。），

令-£X2+Q=2",。=2•,由于网<1，故^=£,所以y=2sin（2K+f

841124I4

（2）

由2&乃+—<2x4--K2&4+^_(&wZ),

可得匕r+2+

88

当k=0时

OO

故函数.f（x）在0,1上的单调递减区间为

oZ

23.（2021•全国•高一课时练习）函数/*）=Asin（s+。）（A>0,®>0,l^|<y）的一段

图象（如图所示）.

（1）求函数f（x）解析式；

（2）求函数/*）的单调递增区间；

（3）求函数/（处在区间［-£，g］上的最大值和最小值.

46

【答案】

7T

(1)f(x)=2sin(2x+—)

4

(2)［--^-+k7Tr-^+k7r］tkwZ

88

(3)最大值为2、最小值为-&

【分析】

(1)由图象可得/(©的周期，过点(?，0),(0,应),即可求出答案；

O

(2)解出不等式-g+2立+■即可得到答案；

242

(3)由可得右+白”多名］,然后根据正弦函数的知识可得答案.

464412

(1)

设函数/㈤的周期为7\则由图知=T=?一［=当，..丁=4，

4884

0=半=2,/(x)=Asin(2x+0),

将点(二，。)代入得sin(2x?+e)=0,

OO

74_,7万_7t冗

---(p-2k冗,kwZ,(p=-----1-2kn,k&Z,||<一,<p=一,

4424

••/W=Asin(2x+—),将点(0,0)代入得a=Asin",A=2,

44

乃

/./(x)=2sin(2x+—)；

4

(2)

由一工+2%乃42彳+工4乙+22乃，％eZ可得一旦+Z乃工+2乃，keZ,

24288

二函数的单调增区间为［-•+k乃，g+ZeZ；

oo

(3)

工兀冗、c冗r兀1冗、nJ2.

2x+—e［一~sin(2x+—)e［---->1］»

46441242

当X=-［时/3nUn=-应，当X=£时F(X)max=2,

4o

故/。)在区间上的最大值为2、最小值为-近

4o

24.(2021•黑龙江•大兴安岭实验中学高一期中)已知函数/*)=2sin(2x+2),xeR.

(1)求函数/(%)的最小正周期和单调增区间;

(2)求函数y=/(x)的最大值以及取最大值时对应的x的集合.

【答案】

(1)兀,伙乃一wZ)；

(2)/(x)m”=2,{小=攵乃+奈丘2}.

【分析】

(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间；

(2)利用正弦函数的性质，分析计算作答.

(1)

解：因函数/a)=2sin(2x+g),xeR,则/(“最小正周期丁==="，

62

由2k江――<2x+—<2k几十三/eZ得kn——<x<k兀+—,A:eZ,

26236

所以/(x)的单调增区间是伙%-全氏+/左eZ).

(2)

解.：依题意，当sin(2x+J)=l时，〃幻(皿=2,此时，2x+f=2丘+[/eZ,即

662

.汽ur

x=K7V+—.keZ,

6

所以f(X)max=2,此时xe卜|x=k%+亲出ez}.

25.(2019•江苏•南京市第十三中学高一阶段练习)已知函数f(x)=4sin(5+e)+0(A>0,

心0,一乃<0<0),图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为"(4,4),噌，-2)

(1)求，(力的解析式和周期.

(2)当留时，求/(力的值域.

【答案】

(1)/(x)=3sinf2x—周期为〃

⑵总4

【分析】

(1)由题知丁=4，A+h=4,—A+b=—2,解方程即可得答案；

（2）根据整体代换求解函数的值域即可.

（1）

解：•.・函数〃x）=Asin（3：+9）+b（A>0,ty>0,一乃<8<0）图象上相邻的一个最高点

和一个最低点分别为用卜?,4

又「f+b=A+/?=4；

Asinl+!+/?=Asinly+!+/>=-A+Z)=-2,

3

/.A=3tb=\.

■「M为函数个最高点,

2-+9=g+2火乃,keZ,(p=-7v+2k7r,kwZ,

26

75

由一乃<°<0,则°=一乃一2乃=一一n.

66

综上所述，/（x）=3sinf2x-1^1+l,周期为乃.

(2)

…7■541c545

解：XE.—时，2X--7Ve

3oJo|_oo

/(x)=3sin