2022-2023学年九年级上学期同步讲练(人教版)22

专题22.3实际问题与二次函数

典例体系

、知识点

①据题意，结合函数图象求出函数解析式；

实物抛

②确定自变量的取值范围；

物线③根据图象，结合所求解析式解决问题.

①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

实际问②研究自变量的取值范围；

题中求③确定所得的函数；

最值④检验X的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

⑤解决提出的实际问题.

①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

结合几

②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

何图形

③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题

二、考点点拨与训练

考点1：二次函数与面积问题

典例：（2020.江苏省初三二模）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总

长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设8C

的长度为X米，矩形区域ABC。的面积为y米2.

0）求证：AE=2BE；

（2）求y与％之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）”为何值时，V有最大值？最大值是多少？

方法或规律点拨

此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.

巩固练习

I.（2020•山东省初三一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a（a»0）米的旧墙MN,某人利用旧墙和

木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADWMN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.

（1）若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.

，，，，//

AD

BC

2.（2020•湖北省初三学业考试）如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围

成一个矩形花园ABC。，墙长为6m,设AB=Xm.

（1）若花园的面积为14机2,求工的值；

2

（2）花园的面积能否为40加？为什么？

（3）若要求花园的面积大于24〃「，求X的取值范围.

3.（2019•吉林市第二十三中学初三月考）用38加长的竹篱笆建一个矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，

其它用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2机的门（门用其他材料制成），问怎样围竹篱笆，使得养

鸡场占地面积最大？最大面积是多少？

/I

4.（2020・广东实验中学越秀学校初三月考）如图，用一段长为40机的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃

ABCD,墙长24九设A8长为x/n,矩形的面积为SM.

（1）写出S与x的函数关系式；

（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？

（3）当花圃的面积为150m2时,AB长为多少米？

AD

B-------------C

5.（2020•莆田擢英中学初三零模）某农场拟用总长为60〃?的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面

靠现有墙（墙长为40"），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）.设三间饲养室平行于墙的一边合计用建

筑材料xm，总占地面积为ym2.

（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？

6.（2019•广东省初三期末）如图，某中学准备用长为20,”的篱笆围成一个长方形生物园ABCO饲养小兔,

生物园的一面靠墙（围墙最长可利用15机），设AB长度为x（机），矩形ABCD面积为y（/«2）.

*---------------15?»-----------

（1）求出y与x的函数关系式，直接写出x的取值范围;

（2）当x为何值时，矩形ABCQ的面积最大？最大面积为多少？

考点2：二次函数与营销问题

典例：（2020.辽宁省中考真题）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售

量丫（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中且％为整数），当每瓶洗手液的

售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.

（1）求V与x之间的函数关系式；

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为卬元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌

洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

方法或规律点拨

本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关

系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题.

巩固练习

I.（2020.眉山市东坡区苏辙中学初三其他）四川某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克

60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增

加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：

（1）为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克核桃应降价多少元？

（2）若该专卖店想获得最大利润W,核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？

2.（2020•浙江省初三月考）受新冠疫情影响；3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格，开始

上涨.如图1,前四周该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）与周次x（x是正整数，l4x<5）的关系可近似

2

y=—x+a_、，厂

用函数5刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元7kg）从第5

=」/+法+5

X

周的6元“g下降至第6周的5.6元/超;y与周次x（54x,7）的关系可近似用函数‘一10”刻

画.

⑴求叫勺值.

y（兀/kg）

6.0-----------------------1

5.6------

4.4■t

图1

（2）若前五周该蔬菜的销售量根网与每周的平均销售价格丁（元/依）之间的关系可近似地用如图2所示的

函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：

①求加与丁的函数表达式；

②在前六周中，哪一周的销售额卬（元）最大?最大销售额是多少？

3.（2020•四川省成都市七中育才学校初三二模）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，

因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元.已知按标价九

折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

（1）求该型号自行车的进价是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元,

每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

4.（2020•湖北省中考真题）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，

该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周

的有关数据：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）;

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000

件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元

（1W〃?W6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取

值范围.

5.（2020・无锡市天一实验学校初三三模）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地

P=--—（X-60）2+41

政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）.当地政府

拟在“十三•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万

元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修

成，通车前该特产只能在当地销售：公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地

QQ?94

Q=------（100-x）2+——（100-x）+160

销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润1005（万元）.

（1）若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施,求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）＞（2）该方案是否具有实施价值？

6.（2020.辽宁省初三其他）某水果店经销A、B两种水果，A种水果进货单价比B种水果进货单价多2元，

花50元购进A种水果的数量与花40元购进B种水果的数量相同.在销售过程中发现，A种水果每天销售

量是丫人与销售价x（元）满足关系式力=”+20,B种水果，每天销售量力与销售价元）满足%=%+14

（1）求A、B两种水果的单价.

（2）已知A种水果比B种水果的销售价高2元/千克，且每天A、B水果均有a千克坏掉.设B水果售价

为t元/千克，每天两种水果的总利润为W元，求W与t的函数解析式，并求出当a的取值在什么范围内，

水果店有可能不赔钱？

考点3：应用二次函数的建模问题

典例：（2020.浙江省中考真题）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.

科学原理：如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m）,如果在离水面竖直距离为h

（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单

位：cm）与h的关系为s?=4h（H—h）.

应用思考:现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水，

在离水面竖直距高hcm处开一个小孔.

（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同，求a,b

之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.

方法或规律点拨

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.

巩固练习

1.（2020•河北省初三一模）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠

军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神.如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运

动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球忖（图中点A）

离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点8）越过

球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米,

则排球运动路线的函数表达式为（）

,，高度/米

2.24''、、、、

、、

、、

。C%（地面）

1485

y-------X2H——X+—

75152

1428514285

V=—X------x+一y=—X+—XH----

C.75152D.75152

2.（2020•吉林省初三一模）如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20/",如果水位上升

3〃?达到警戒水位时，水面的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以

0.2%/〃的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过力水位达到桥拱最高点O.

3.（2020•吉林省初三二模）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离44机处跳起投篮，球沿条抛物

线运动，当球运动的水平距离为2.4小时，达到最大高度4〃?，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面

的高度为务〃，则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度h为

4.（2020•东北师大附属明达学校初三二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥

面相交于AB两点,拱桥最高点C到AB的距离为4九AB=\2m,D,E为拱桥底部的两点，且DEI/AB,若

的长为1a〃，则点E到直线AB的距离为—m.

5.（2020.吉林省初三一模）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面/为4

米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米.

6.（2020•内蒙古自治区初三月考）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，

32Q1

（、y=—x+3x+1

其身体（看成一点）的路线是抛物线5的一部分，如图所示.

。）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高6c=34米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？

考点4：应用二次函数解决实际问题

典例：（2020.江苏省中考真题）小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第xmin时，小

丽、小明离地的距离分别为＞"、丫2m,凹与x之间的数表达式X=T80X+2250,%与x之间的函

数表达式是八.

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m.

（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

方法或规律点拨

此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.

巩固练习

1.（2020•绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学初三其他）超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，

果冻高为4cm,底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽

可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米.（不计重合部分）

A.253B.288C.206D.245

2.（2020.山西省中考真题）竖直上抛物体离地面的高度'（加）与运动时间’（S）之间的关系可以近似地用公

式'=-5『+卬+%表示，其中%（⑺是物体抛出时离地面的高度，%（加/s）是物体抛出时的速度.某人

将一个小球从距地面L5加的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A.23.5/wB.22.5m21.5/WD.20.5/77

3.（2020•湖南省中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却

比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定

条件下，“可食用率”P与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：P=c

b,c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳

时间为（)

0.9---f

0.8T：

0.6「一1

!----1----►

o34----5r

A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟

4.（2020•河南省初三其他）小明以二次函数y=2x2—4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款

杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为（）

5.（2020•河北省中考真题）用承重指数卬衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质

同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数卬与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当兀=3时，

W=3

（1）求W与x的函数关系式.

（2）如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设

薄板的厚度为％（厘米），0=%一%

X

①求。与X的函数关系式:

②X为何值时，。是%的3倍？

（注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围）

6.（2020•山东省中考真题）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，

它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m,宽4B=3〃z,抛物线的最高点E到BC的距离为4m.

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用'=表示，求该抛物线的函数表达式；

（2）现将A型活动板房改造为3型活动板房.如图②，在抛物线与AO之间的区域内加装一扇长方形窗户

FGMN,点G,"在A。上，点N,尸在抛物线上，窗户的成本为50元已知GM=2m,求每

个8型活动板房的成本是多少？（每个8型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户尸GMN

的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的3型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，

每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个3型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价〃（元）

定为多少时，每月销售3型活动板房所获利润卬（元）最大？最大利润是多少？

专题22.3实际问题与二次函数

典例体系

、知识点

④据题意，结合函数图象求出函数解析式；

实物抛

②确定自变量的取值范围；

物线③根据图象，结合所求解析式解决问题.

④分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

实际问⑤研究自变量的取值范围；

题中求⑥确定所得的函数；

最值④检验X的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

⑤解决提出的实际问题.

②根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

结合几

⑤根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

何图形

⑥利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题

二、考点点拨与训练

考点1：二次函数与面积问题

典例：（2020.江苏省初三二模）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总

长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设8C

的长度为X米，矩形区域A5C。的面积为y米2.

⑴求证：AE=2BE.

⑵求丁与x之间的函数关系式，并写出自变量》的取值范围；

（3）、为何值时，丁有最大值？最大值是多少？

3,

--%2+30x（0<%<40）……

【答案】（1）见解析；（2）y=4；（3）当x=20时，>有最大值，最大值为300平方

米

【解析】解：0）；三块矩形区域的面积相等，

二矩形AEED面积是矩形BCFE面积的2倍，

又：£产是公共边，

AE=2BE,

（2）设BE=a,则AE=2at

•・•8a+2x=80，

80—2x

.「=8,AB=3a,

々„80-2尤3

v=3ax-3------x=——x+30x

二84

a=-x+40>0,

•-•x<40，

•()<x<40

333

/y=—X2+30X=——(X-20)2+300(0<X<40)——<0

44,且二次项系数为4

.•.当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米.

方法或规律点拨

此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.

巩固练习

1.(2020•山东省初三一模)如图，在足够大的空地上有一段长为a(a>50)米的旧墙MN,某人利用旧墙和

木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADSMN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.

(1)若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

1//，，，，//，//.，N

AD

BC

【答案】(1)AD的长为90m或者10m；(2)矩形菜园面积S的最大值为1250m2.

【解析】

(1)设AB=xm,则BC=(100-2x)m,

根据题意得x(100-2x)=450,解得xl=5,x2=45,

当x=5时，IOO-2x=9O,

当x=45时，100-2x=10；

答：AD的长为90m或10m；

(2)设AD=bm,

119

S=-/;(100-M=--(6-50)+1250

二矩形菜园面积22

Va>50,

则b=50时，S有最大值，最大值为1250m2.

2.(2020•湖北省初三学业考试)如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围

成一个矩形花园ABCD墙长为6m,设A8=Xm.

（1）若花园的面积为14〃?2,求工的值；

（2）花园的面积能否为40，/?为什么？

2

（3）若要求花园的面积大于24机,求8的取值范围.

9

【答案】（1）2；（2）花园的面积不能为40〃广，理由详见解析；（3）4VH6.

16-x一

x------=14

【解析】（1）由题意列方程：2,

解得用=14,々=2,

由于％=14>6不合题意，所以尤=2.

（2）设花园的面积为>加2,依题意有：

y=Fy=-^U-8）2+32

2,即2,

）的最大值=32,

2

花园的面积不能为40斤.

y^--（x-8）2+32

（3）由（2）知2

24=--(X-8)2+32

当丁=24时，有2解得玉=12,%=4,

2

:花园的面积大于24机,.\4<^<12,

又；墙长为6m,...OCXN，

•••%的取值范围是4<%W6.

3.（2019•吉林市第二十三中学初三月考）用38ni长的竹篱笆建一个矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成,

其它用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2机的门(门用其他材料制成)，问怎样围竹篱笆，使得养

鸡场占地面积最大？最大面积是多少？

__<1___

【答案】平行于墙的一边为20m,垂直于墙的一边为10m时，养鸡场占地面积最大，最大面积是200m工

【解析】

解：设垂直于墙的一边为则另一边为38—2x+2=(4()—2x)m,面积为

y=%(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200

二'与％=10时，养鸡场的面积有最大值200m2,

即平行于墙的一边为20m,垂直于墙的一边为10m时，养鸡场占地面积最大，最大面积是200m?

4.(2020•广东实验中学越秀学校初三月考)如图，用一段长为40〃7的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃

ABCD,墙长24也设A3长为X”?,矩形的面积为S〃汽

(1)写出S与x的函数关系式;

(2)当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？

(3)当花圃的面积为150加时，A8长为多少米？

【答案】(1)S=-2x2+40x；(2)当x=10时，所围成的花圃面积最大，最大值为200"科(3)当花圃的面

积为150标时,AB长为15米.

【解析】解：(1)S=x(40-2x)=-2r2+40x,

即函数关系式为：S=-2N+4(k；

(2)由题意，得：0<40-比24,

解得8<r<20,

又由(1),得S=-2(x-10)2+200,

...当x=10时，所围成的花圃面积最大，最大值为200m2；

(3)由-2(x-10)2+200=150,

解得XI=5,X2=15,

V8<r<20,

...当花圃的面积为150小时，48长为15米.

5.(2020・莆田擢英中学初三零模)某农场拟用总长为60胆的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面

靠现有墙(墙长为40%),其中间用建筑材料做的墙隔开(如图).设三间饲养室平行于墙的一边合计用建

筑材料xm，总占地面积为ym2.

(1)求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？

【答案】(l)y=--x2+l5x；0<启40；(2)当x=30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225(m2).

4

【解析】(1)根据题意得，y=x-(60-x)=--x2+15x,

44

自变量的取值范围为：0V后40；

(2)Vy=--,r2+15x=--(x-30)2+225,

44

.,.当x=30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225(m2).

6.(2019•广东省初三期末)如图，某中学准备用长为20〃?的篱笆围成一个长方形生物园A8CQ饲养小兔,

生物园的一面靠墙(围墙最长可利用15优)，设AB长度为x(m),矩形ABC。面积为y(m2).

*----------15泄----------J

“一,，詈“，，V

5'--------------'C

(1)求出y与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；

(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积为多少？

【答案】(1)y=-2y2+20x(0〈烂g)；(2)当x=5时，面积最大为50M

【解析】解：(1)当长方形的宽AB=x时，其长BC=20-2x,

故长方形的面积y=x(20-2x)=-2x2+20x,

5

即y=-2x2+20x(0<x<-)；

（2）y=-Zr2+20x

=-2（x-5）2+50,

：-2<0,

...当x=5时，y取得最大值，最大值为50,

答：当x=5时，面积最大为504.

考点2：二次函数与营销问题

典例：（2020•辽宁省中考真题）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售

量丁（瓶）与每瓶售价8（元）之间满足一次函数关系（其中且x为整数），当每瓶洗手液的

售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.

（1）求V与x之间的函数关系式；

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为卬元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌

洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

【答窠】（1）、=-5"+15°（IO<X<15,且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售

该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元

【解析】解：（1）设了与x之间的函数关系式为丫="+"（ZH°）,根据题意，得：

‘12%+》=90

’14Z+b=80

>=-5

解得M=150,

与X之间的函数关系式为y=-5x+15°（|0<x<15,且X为整数）：

（2）根据题意，得：

w=（x—10）（—5x+150）

2

=-5x+200^-1500f

=-5（x-20）2+500

9

vfl=-5<0,

，抛物线开口向下，卬有最大值,

.•.当x<20时，卬随工的增大而增大，

v10<x<15,且％为整数，

，当x=15时，卬有最大值，

即卬=—5x（15—20）2+500=375

答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元.

方法或规律点拨

本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关

系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题.

巩固练习

1.（2020.眉山市东坡区苏辙中学初三其他）四川某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克

60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增

加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：

（1）为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克核桃应降价多少元？

（2）若该专卖店想获得最大利润W,核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？

【答案】（1）每千克核桃应降价6元；（2）核桃的单价应定为55元，最大利润是2250元.

【解析】

-x20

解：（1）设每千克核桃应降价x元，则每千克利润为（60-X-40）元，则每天销量为（100+2）

-x20

（60-X-40）（100+2）=2240,

解得，=4,X2—6,

1•要尽可能让利于顾客，

•••要尽可能让利于顾客，

每千克核桃应降价6元；

1x20

（2）设每千克核桃应降价y元，则每千克利润为（60-y-40）元，则每天销量为（100+2）

2x20

则W=(60->--40)(100+2)=-10(y-5)2+2250,

...当），=5时，W取得最大值，此时W=2250,

.\60-y=60-5=55,

该专卖店想获得最大利润W,核桃的单价应定为55元，最大利润是2250元.

2.（2020•浙江省初三月考）受新冠疫情影响；3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格，开始

上涨.如图1,前四周该蔬菜每周的平均销售价格）（元/kg）与周次工（》是正整数，l4x<5）的关系可近似

2

y=—x+〃

用函数5刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）从第5

xx

周的6元/依下降至第6周的5.6元/必;V与周次M5KxW7）的关系可近似用函数‘一lQ刻

画.

⑴求。涉的值.

）y（元兀/kg）

6.0-------------------1

------「.-y「I

5.6----------LF.

•I1

4.4-■1T।।

O156x

图I

但）若前五周该蔬菜的销售量优（侬）与每周的平均销售价格）（元/炊）之间的关系可近似地用如图2所示的

函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：

①求〃z与V的函数表达式；

②在前六周中，哪一周的销售额卬（元）最大?最大销售额是多少？

【答案】（1）1°；（2）①.=-257+250,②笫2周或笫3周销售额最大，最大销售额是624元

2

y=—x+a4.4=-+。

【解析】解：（1）把点（1,4.4）代入5得5解得4=4,

17

6.0=一一x52+5b+5b=—

把点(5,6.0)代入10得10；

a=4,b=—

10

(2)①设前五周加与y的函数表达式为〃

140=4.4〃+乡

*

根据图象得把(4.4,140)(6,100)代入得U°°=6p+。

〃=一25

V

解得1*7=250

.♦•阳与丁的函数表达式为帆=-253+250；

②当1WxW4时，

2

•/m--25y+250,y=—x+4

/./72=-10X+150

w=(-10x+150)■|犬+4)=-4丁+20x+600=-4(x一g)+625

,・F是正整数,

••・当x=2或3时，卬有最大值624；

「7…

y=-----xHx+5=6

当％=5时，1010

m=-25y+250=100

1,7

m=100,y=-----x2+—x+5

当5K%<6时,1010

(17、(7Y1245

w=100-----x2H—x+5=—10x~+70x+500=—10x—+------

I1010)I2)2

.・•”是正整数,5<x<6

.♦.当x=5时，w有最大值600。

综上所得：第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624兀.

3.（2020•四川省成都市七中育才学校初三二模）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，

因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元.已知按标价九

折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

（1）求该型号自行车的进价是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元,

每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

【答案】（1）1000元；（2）降价100元时每月利润最大，最大为32000元

【解析】解：（1）设进价为8元

则（1500x0.9-x）x8=（1500-100-x）x7

解得：x=l（）OO

二改型号自行车进价1000元

（2）设自行车降价工元，获利为丁元

y=（1500-1000-x）-f60+—xlO

则：I50J

（\\.

=（500-x）-x+60=—（x-500）（x+300）

I〉75

a=—<0

，对称轴：x=l（X）,5

..当x=100时，

=-|x（100-500）（100+300）_

答：降价100元时每月利润最大,最大为32000元.

4.（2020•湖北省中考真题）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，

该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周

的有关数据：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000

件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元

（1〈加〈6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取

值范围.

【答案】（1）y=-500X+12000；这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为

12元；（3）3<m<6.

【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b,

10000=4%+/?

<

代入（4,10000）.（5,9500）可得：［9500=5%+“，

7:=-500

解得："2000

即y与x的函数关系式为V=-500x+12000；

（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

根据题意可得：1500X+1200026000,

解得：3<X<12,

w=y（x-3）

=（-500x+12000）（x-3）

（27Y

=-500x——+55125

I2J

­*•3<x<12，

，当x=12时，w有最大值,w=54000,

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元.

（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

w=y^x-m-3）

=（-500x+12000）（x-3）

=-500x2+500（/〃+27）x—500x24（加一3）

由题意，当烂15时，利润仍随售价的增大而增大，

500（/n+27）>i5

可得：2x（-500）,解得：m>3,

•/1<m<6

3</n<6

故m的取值范围为：3<m<6.

5.（2020・无锡市天一实验学校初三三模）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地

P=--—（X-60）2+41

政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润100（万元）.当地政府

拟在“十三•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万

元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修

成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地

99~294

0=--（100-%）2+--（100-%）+160

销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润1005（万元）.

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）、（2）该方案是否具有实施价值？

【答案】（1）205万元；（2）3175万元；（3）有

【解析】解：（1）当x=60时，P的最大值为41万元，

，5年所获利润的最大值是：41x5=205（万元）；

（2）前两年：0WXW50,此时因为P随x的增大而增大，

2x--—（50-60）2+41=80

，x=50时，P最大为：L10°」（万元），

后三年：设每年获利y,设当地投资额为a,则外地投资额为100-a,

99r-r2294r-r

2=---[100-(100-a)]+^-[100-(100-a)]+160

—9小空a+16。

1005

l,/QQ294\

：.y=P+Q=----（。-60）-+41+a+160

-100V7I1005