专题16-数列(解答题)(12月)(人教A版2019)(解析版)

专题16数列（解答题）1．已知等差数列的前项和为，，，且，，成等比数列．（1）求和；（2）设，数列的前项和为，求证：．【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列的公差为，首项为，由，得，则所以解得，，所以，．（2）因为．所以．因为单调递增．所以，综上，．【名师点睛】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列：或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an=(−1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2．为等差数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）；（2），时，的最小值为．【解析】（1）设的公差为，由，，即，解得，所以．（2），，所以当时，的最小值为．3．已知数列的前项和为，，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：．【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为①，所以②，①-②得，；所以数列是首项和公比都为的等比数列，于是，．（2）由（1）得，所以，所以．又易知函数在上是增函数，且，而，所以．【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型．4．已知数列前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，当时，，，当时上式也符合．所以．（2）由题意知，可设则．5．从①前n项和②且这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列中，，________，其中．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，其中m，，且，求m的最小值．（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）【试题来源】广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期联考【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】选择①：（1）当时，由，得．当时，由题意，得，所以．经检验，符合上式，所以．（2）由，，成等比数列，得，由（1）得，即．化简，得．因为m，n是大于1的正整数，且，所以当时，m有最小值5．选择②：（1）由，得，所以数列是等差数列．设数列的公差为d．因为，，所以．所以．（2）因为，，成等比数列，所以，即．化简，得．因为m，n是大于1的正整数，且，所以当时，m有最小值5．【名师点睛】，检验是否符合通项是解题的关键．6．在数列中，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的前项和．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），，．因为，数列是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得，，的前项和7．为等差数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）；（2），时，的最小值为．【解析】（1）设的公差为，由，得，解得，所以的通项公式为；（2）由（1）得，又，所以当时，取得最小值，最小值为．8．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，设公比为，则，整理得，由于，即，即，因为，所以解得，所以．（2）由于，所以．9．已知数列是公差不为零的等差数列，，且满足，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使得最小的的值．【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（文）【答案】（1）；（2）7【解析】（1）设数列的公差为，因为，，，成等比数列，所以，即，整理得，解得或（舍去）．故．（2）当时，，当时，，因为，当时，，当时，，而且，，因此，所以使得最小的为7．10．已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，（1）求数列，的通项公式．（2）若，求．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理）【答案】（1），；（2）．【解析】（1）因为为等差数列，且，所以可设公差为d，则，所以，．因为，所以，解得或．又等差数列各项均为正数，所以不合题意，舍去，所以．因为为等比数列，且，所以可设公比为，则．因为，所以，解得，满足各项均为正数，所以．（2）由（1）知，所以．所以．11．在等比数列中，已知，．（1）求数列的通项；（2）在等差数列中，若，，求数列前项和．【试题来源】甘肃省临夏州临夏中学2019-2020学年高二（上）第二次月考（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，由题设知，，因此；（2）由（1）可得，，公差，．12．已知数列满足，．设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和为．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由，可得，即则数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可得，，，，则有，两式作差得．13．在数列中，，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列的前n项和为，且对任意正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）证明见详解；（2）．【解析】（1）由，得．则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）得．当时，．当时，适合．所以，所以．因为是关于的递增数列，且，所以也关于单调递增，从而的最小值为．因为恒成立．所以，解得．即实数的取值范围是．【名师点睛】根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围．14．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设是公比为正数的等比数列的前项和，若，，求．【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文）【答案】（1）；（2）254．【解析】（1）设等差数列的公差为，因为．所以，，解得，所以；（2）设等比数列的公比为，则，，解得或，因为公比为正数，所以，所以．15．已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．（1）求数列和的通项公式；（2）若的前项和，求的取值范围．【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】（1），；（2）．【解析】（1）令，则，所以，令，则，所以，因为，所以，设数列的公比为，则，所以．因为，①当时，，②由①-②得，所以，当时也成立，所以，（2）由（1）可知，所以，因为随着的增大而增大，当时，，当时，，所以的取值范围是．【名师点睛】数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法．要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和．16．已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，，求数列的通项公式．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当n=1时，，所以a1=2．当时，因为①，②，①-②得，即所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以．（2）因为，所以当时，，……，，，相加得．当n=1时，，所以．【名师点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a(n+1)=an+f(n)或者a(n+1)-an=f(n)的关系式，其中f(n)可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法．17．已知正项数列的前项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，又有，，两式相减得，因为，所以，又，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为，公差为，所以；（2），所以．【名师点睛】常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．18．已知数列中，，．（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）由得，即，又，所以是以是为首项，为公比的等比数列．所以，即．（2），所以，．两式相减得，所以，所以．令，易知单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，所以．综上所述．【名师点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围．19．已知为等差数列的前项和，满足，，为数列的前项和，满足，．（1）求和的通项公式；（2）设，若数列的前项和，求的最大值．【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）【答案】（1），，；（2）9．【解析】（1）为等差数列，因为，，所以，，解得，，所以．因为，所以当时，；当时，．综上，，．（2），所以，所以，因为，当时，为关于的递增数列，，，所以的最大值为9．【名师点睛】已知数列的通项和前项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①，②，③an+1＝an+n-8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的Sn存在最大值，则求出最大值；若问题中的Sn不存在最大值，请说明理由．问题：设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝4，_________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】选①因为，a1＝4，所以{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以．当n为奇数时，，因为随着n的增加而减少，所以此时Sn的最大值为S1＝4．当n为偶数时，，且．综上，Sn存在最大值，且最大值为4．选②因为，a1＝4，所以{an}是首项为4，公差为的等差数列，所以．由，得n≤25，所以Sn存在最大值，且最大值为S25（或S24），因为，所以Sn的最大值为50．选③因为an+1＝an+n-8，所以an+1-an＝n-8，所以a2-a1＝-7，a3-a2＝-6，…，an-an-1＝n-9，则，又a1＝4，所以．当n≥16时，an＞0，故Sn不存在最大值．21．已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，或【解析】（1），则，设，则，，，故，，，故数列为等差数列．（2），，故．成等差数列，则，即，化简整理得到：，即，，故，且，故或，故或．22．在①成等差数列；②；③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）已知是数列的前项和．若，，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的通项公式．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以，化简得，若选择①：因为成等差数列，所以即，解得，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以；若选择②：因为，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以；若选择③：因为，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以；（3）由（1）得，则，所以当时，，当时，满足上式，所以．23．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列的前项和为，，对任意的，都有_________；等比数列中，对任意的，都有，，且，问：是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由．【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】答案见解析【解析】设等比数列的公比为．因为对任意的，都有，所以，解得或．因为对任意的，都有，所以，从而．又，所以．显然，对任意的，．所以，存在，使得对任意的，都有，即．记，．下面分别就选择①②③作为条件进行研究．①因为对任意的，都有，即．又，即，所以，从而，所以数列是等比数列，公比为，得，即．所以，从而．由，得，当时，，所以，当或2时，取得最大值，即取得最大值．所以对任意的，都有，即，，所以存在，2，使得对任意的，都有．②因为对任意的，都有，即，所以数列是等差数列，公差为2．又，所以．所以，从而．由，得当时，；当时，，所以，当时，取得最大值，即取得最大值．所以对任意的，都有，即．所以存在，使得对任意的，都有．③因为对任意的，都有，所以，从而，即．又，所以，且，从而数列是等比数列，公比为2，得．所以，从而，所以，所以，当时，取得最大值，即取得最大值．所以对任意的，都有，即．所以存在，使得对任意的，都有．24．已知数列的前项和为，且（1）求和的值；（2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（3）设，，求数列的前项和．【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）；；（2）证明见解析，；（3）．【解析】（1），得，当时，，所以，解得．（2）由，，两式相减得，即，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得．（3），，则=，得3×，上两式相减得2×1+=，得．【名师点睛】已知条件是和的关系的，可用来求通项公式．如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法．25．设数列的前项和为，且．（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列中，，，求数列的前项和．【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）【答案】（1）证明见解析；；（2）．【解析】（1）证明：当时，，当时，①，②，由①－②得，，即，故数列是以2为公比，首项为的等比数列，，得．（2）由题得，故是以2为公差，2为首项的等差数列，．．【名师点睛】本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法．26．已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项和，求证：．【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模）【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，所以，则当时，满足上式，所以．（2）①，②，①-②得，化简得，所以，又，所以．【名师点睛】本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般．（1）当数列满足时，可采用累乘法求通项公式；（2）当数列，其中和分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和．27．已知数列满足，且，数列满足，且，()．（1）求证：数列是等差数列，并求通项；（2）解关于的不等式：．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）由，且知，，故有得，所以数列是等差数列，由于，所以，即；（2）由得，，由累乘法得，则不等式可化为，即，令，则．当时，，不符合；当时，，符合；当时，，符合；当时，，符合；当时，，不符合；而当时，故当不符合；综上所述，．28．已知数列的前项和为，数列满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，，求满足的最大整数．【试题来源】浙江省杭州地区重点中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）因为①，时，②，由得，所以，当时，，符合，所以，因为，所以，当时，也符合，．（2）因为，，所以，，，，，所以即．所以满足的最大整数n为7．29．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn．（1）若{an}是等差数列，求k的值；（2）若a＝1，k＝－，求Sn．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）若是等差数列，则对任意，，即，所以，故.（2）当时，，即．所以，故，所以，当n是偶数时，，当n是奇数时，，综上，．30．已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，由，解得，所以，，故数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以，所以．【名师点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法．31．已知等比数列满足，．（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”；（2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和．【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意可设公比为，则，得，得或，所以数列是“数列”．（2）设数列的公差为，易得得，所以，得，由（1）知若，则，所以，若，则，所以，所以①，所以②，①②得，所以，所以．32．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）；（2）【解析】是各项均为正数的等差数列，，，成等比数列．所以，即，整理可得，若选①：，则，即，由可得代入可得，解得或（舍），所以，所以，若选②：，即，代入得，即解得或不符合题意；若选③：，则，，代入可得解得或不符合题意；综上所述：，，（2），当为偶数时，，当为奇数时，，所以．【名师点睛】本题得关键点是分别由条件①②③结合，，成等比数列计算出和的值，由是各项均为正数的等差数列，所以，，第二问中正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分为奇数和偶数讨论．33．已知函数f(x)=(a为常数，a>0且a≠1)（1）在下列条件中选择一个条件___(仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{an}为等差数列，并说明理由；①数列{f()}是首项为4，公比为2的等比数列；②数列{f()}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f()}是首项为4，公比为2的等比数列的前n项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若a=2，b=(n∈)，求数列{．}的前n项和，【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1）选①，理由见解析（2）【解析】（1）②③不能推出数列{an}为等差数列，①能推出数列{an}为等差数列．若选①，数列{f()}是首项为4，公比为2的等比数列，所以f()，解得，故数列{an}为等差数列，若选②，数列{f()}是首项为4，公差为2的等差数列，所以，即，解得，故数列{an}不为等差数列，若选③，数列{f()}是首项为4，公比为2的等比数列的前n项和构成的数列，因为首项为4，公比为2的等比数列的前n项和为，所以，解得，显然数列{an}不为等差数列．（2）由（1）及a=2可得，所以，，，两式相减可得，．34．已知各项都大于1的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn－4n＋1＝an2：数列{bn}的前n项和为Tn，bn＋Tn＝1．（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn＝anbn，若对任意的n∈N*．不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，试求实数λ的取值范围．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（理）【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）由题可知，①②，由②-①得，，，故或，又，（舍）或，若，则有，而，所以，不满足题意，所以，故，，，两式相减得，，又，，是等比数列，首项为，公比为，（2）设由（1）得，，相减得，，又，可化为，即，又，，．35．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn>成立的n的最小值．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（理）【答案】（1）；（2）6．【解析】（1），，成等比数列，，设等差数列的公差为，则，，又，，即，又公差，，．（2）由（1）知，，，由可得，故要使得成立，则的最小值为6．36．已知等差数列的前n项的和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得解得所以数列的通项公式是；（2）由（1）知，则，①①式两边同乘以，得，②①②，得，所以．【名师点睛】（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．37．等差数列的前n项和为，已知，为整数，当且仅当时取得最大值．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可知，且，所以，解得，因为为整数，所以，所以的通项公式为．（2）因为，所以．38．已知是等比数列的前n项的和，成等差数列．（1）求等比数列的公比；（2）判断是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）或；（2）当时，不成等差数列，理由见解析；当时，成等差数列，证明见解析．【解析】（1）由题意有：，所以，因为，所以，即，解得或，所以或；（2）①当时，因为，所以时不成等差数列；②当时，知，所以．所以，所以时，成等差数列．综上：当时不成等差数列；当时，成等差数列．39．已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且，．（1）求q；（2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为，当时，试比较与的大小．【试题来源】河南省商丘市虞城县高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（文）【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）当时，若，则应有，这与矛盾，故．由，相除得，解得．（2）由题意知，，当时，．所以当时，；当时，；当时，．【名师点睛】常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与作比较；（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较．40．已知等比数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，由题意知，所以，即．所以，，即．（2），所以．①．②①－②得，所以．【名师点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解；在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．41．数列中，，．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．求证：．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，数列中，，，可得，即，又由，可得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，可得，所以．（2）由（1）可得，所以，数列的前项和为，因为，所以，所以，即．42．记等比数列的前n项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，；当时，，即，所以等比数列的公比是3，所以，即，得，故数列是首项为1，公比为3的等比数列，．（2）由（1）知，，故．则，，两式相减得，，故．【名师点睛】一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．43．已知数列的前n项的和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【试题来源】河南省商丘市虞城县高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，①当时，，解得；当时，②①②，得，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．（2）由（1）知，则，两边同乘以，得；两式相减得，所以．【名师点睛】满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出．44．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列，的前项相分别为，．①是否存在正整数．使得成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；②解关于的不等式【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1）；（2）①存在，5；②．【解析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，则，所以，解得，所以，所以即，解得，所以；（2）①假设存在正整数满足，则，所以，所以，解得，所以存在正整数满足题意；②由题意，，所以，即令，则，当且仅当时，，所以，又，，所以当且仅当时，，所以不等式的解集为．45．已知数列满足，其中是数列的前n项和．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，．i）求通项公式；ii）求证：．【试题来源】浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1）；（2）i）；ii）证明见解析．【解析】（1）由题意知，，，所以．（2）i）由题意知，，①，当时，，②则①-②得，得，③④，④-③得化简得，所以数列是等差数列，，，所以．ii）令．【名师点睛】本题考查了递推关系，等比数列的通项公式及前n项和公式，如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数．46．已知数列，，满足，，，．（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（2）若为等差数列，且，证明，．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）【答案】（1）；；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设知，解得或（舍，，，，，即，，，，，，，，，，，将以上式子相加可得，，，，又当时，也适合，；（2）证明：，，，公差，，，，，，，，，，，将以上式子相乘可得，，，，，又当时，也适合上式，，．47．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．（1）证明：数列{an}为等比数列；（2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，--------①所以当时，，解得，当时，，---------②由①-②并整理得，，由上递推关系得，所以，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，（2）由（1）得，因为，所以，所以，，两式相减得，即，整理可得．48．已知数列满足，，设，．（1）求证：是等比数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高