高中三角函数专题练习题(及答案)

高中三角函数专题练习题（及答案）一、填空题1．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________2．已知函数，圆的方程为，若在圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则的取值范围是______.3．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为________．4．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.5．在中，，为的外心，且有，，若，，则________．6．已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有个，下列说法正确的是___________.①在上有且仅有个零点；②在上有且仅有个极大值点；③的取值范围是；④在上为单递增函数.7．已知函数，：①函数的图象关于点对称；②函数的最小正周期是；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同；④函数在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________8．已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是______．9．若向量满足，则的最大值是___________.10．已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．在△ABC中，，F为△ABC的外心，则（

）A．-6 B．-8 C．-9 D．-1212．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．13．已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（

）A． B．f(cosA)≤f(cosB)C．f(sinA)≥f(sinB) D．f(sinA)≥f(cosB)14．已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（

）A．3 B． C． D．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．17．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（

）A． B． C． D．18．已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）19．已知函数若关于的不等式对任意恒成立，则实数的范围是（

）A． B． C． D．20．设函数，函数的对称轴为，若存在满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．三、解答题21．已知函数f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）写出函数f（x）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数f（x）的最大值；（3）当a＝1时，若函数f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．22．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；（2）求面积的最大值.23．如图，在中，，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求的面积.24．已知函数

若的最小值为-3，求m的值；当时，若对任意都有恒成立，求实数a的取值范围.25．已知函数,当时,函数的值域是.(1)求常数,的值;(2)当时,设,判断函数在上的单调性.26．已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的的值．27．函数（其中），若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）求的单调增区间：（3）求在的值域．28．已知函数(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)若求函数的值域．29．已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，，求集合；（2）若，求使得集合恰有两个元素；（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.30．函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值【参考答案】一、填空题1．2．3．4．5．6．②③7．②③④8．139．10．二、单选题11．A12．C13．D14．A15．D16．A17．A18．D19．C20．C三、解答题21．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k＝1008．【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令，t∈[1，]，则当时，，当时，，易知，分类比较、的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，则x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解.【详解】（1）函数f（x）的最小正周期为π．（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1＝asin2x﹣1＝a（sin2x+1），令t，t∈[1，]，当时，，当时，，∵即.∴，∵，，∴当时，最大值为；当，最大值为.（3）当a＝1时，f（x），若f（x）＝0，则即，∴当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，π，∴2015＝2×1007+1，∴k＝1008．【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.【详解】（1）由题意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,设,由余弦定理得：,∵为正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴为锐角,,,,∵∴当时,.【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.23．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）设，利用正弦定理表示出，求得，利用面积公式即可得解.【详解】（1）在中，，为内一点，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），设，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面积.【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.24．（1）；（2）【解析】【分析】(1)将函数化为，设，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2)对任意都有恒成立,等价于,然后求出函数的最值即可解决.【详解】（1），令，设，①，则，②，则，

③，则，.（舍）综上所述：.（2）对任意都有恒成立，等价于，，，，，，综上所述：.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.25．(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.【解析】【分析】（1）先求得,再讨论和的情况,进而求解即可；（2）由（1）,则,进而判断单调性即可【详解】解:(1)当时,,所以,①当时,由题意可得,即,解得,；②当时,由题意可得,即,解得,(2)由（1）当时,,,所以,所以,令,,解得,,当时,,则,所以函数在上单调递增,同理,函数在上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力26．（1）；（2）.【解析】(1)函数解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出的值域，进而求出的最小值与最大值..【详解】（1），因此，函数的最小正周期．（2）因为所以,，即，所以当，即时，，当，即时，.所以时，，时，.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.27．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依据题意可得函数周期为，利用周期公式算出，又函数过定点，即可求出，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数的单调区间；（3）利用换元法，设，结合在上的图象即可求出函数在的值域【详解】（1）因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为，由，得，又函数的图象过点，所以，即，而，所以，故的解析式为．（2）由的单调增区间是可得，解得故故函数的单调递增区间是．（3）设，，则，由在上的图象知，当时，当趋于时，函数值趋于1，故在的值域为．【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．28．（1）（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域.【详解】（1）由题得，所以函数的最小正周期为.（2）令,所以,所以函数的单调增区间为.（3），所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.29．（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，所以集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（