安徽省泗县巩沟中学2025年高三3月质量检查数学试题含解析

安徽省泗县巩沟中学2025年高三3月质量检查数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．若单位向量，夹角为，，且，则实数（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－15．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．6．是的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．已知，则的大小关系为A． B． C． D．8．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（）A． B．C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得11．设点，，不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件12．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.14．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为________．15．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：满意度评分分组合计高一1366420高二2655220根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分评分70分70评分90评分90分满意度等级不满意满意非常满意假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.18．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点,是上异于,的点,.（1）证明:平面平面;（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．（1）证明：平面；（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．20．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.22．（10分）已知，，且.（1）求的最小值；（2）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：A.本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.2．D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法3．D【解析】

先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.故选：D此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.4．D【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.【详解】由于，所以，即，，即，解得或.故选：D本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.5．B【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得k的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选：B本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．6．B【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。【详解】设对应的集合是，由解得且对应的集合是，所以，故是的必要不充分条件，故选B。本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设，如果，则是的充分条件；如果B则是的充分不必要条件；如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件。7．D【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．8．A【解析】

根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，，则.故选:A.本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..9．A【解析】

由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．10．A【解析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．【详解】由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．设，则有，，，可得，．，，；，；，，，．综上可得，．故选：．本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.12．D【解析】

化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,故对任意的恒成立,,令,则,当,即时,该函数在上单调递减,则；当,即时,,当,即时,该函数在上单调递增,则,所以,当时,因为,,所以,解得；当时,,满足条件；当时,,且,所以,解得,综上,,故答案为:本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.14．【解析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.【详解】假设圆心关于直线对称的点为，则有，解方程组可得，所以曲线的方程为，圆心为，设，则，又，所以，，即，所以，故答案为：.该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.15．【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.16．0.42【解析】

高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.【详解】由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，高二家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为；2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为；3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为.由加法公式，知事件发生的概率为.故答案为：本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】

（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，由，可得，令，则只需，当时，；当时，；当时，；故当时，取得最小值，即的最大值为.（2）依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，则，所以，所示实数的取值范围是.本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.18．（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;（2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.在中，分别为的中点，所以，且.于是在中，，所以为直角三角形，且.因为，,所以.因为，，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,,,.设平面的一个法向量为,则即，取,得.设平面的法向量,则即，取,得.所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.19．（1）见解析（2）【解析】

（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．【详解】（1）证明：连接与交于，连接，因为是菱形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面．（2）解：取中点，连接，因为四边形是菱形，，且，所以，又，所以平面，又平面，所以．同理可证：，又，所以平面，所以平面平面，又平面平面，所以点到直线的距离即为点到平面的距离，过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，此时，为的中点，即，所以，所以．本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．20．（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（