知识点大全-第8章《平面向量》典例版-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑沪教版高中数学知识点大全典例版——第8章平面向量第8章平面向量.18.1向量的概念和线性运算.18.1.1向量的概念.18.1.2向量的加法和减法.18.1.2.1向量加法的平行四边形法则.18.1.2.2向量加法的三角形法则.28.1.2.3向量加法的运算律.28.1.2.4向量的减法.28.1.3实数与向量的乘法..28.1.3.1实数与向量乘法的定义.28.1.3.2向量平行的充要条件.28.1.3.3实数与向量乘法的运算律.38.1.3.4向量的单位向量.38.2向量的数量积.58.2.1向量的投影.58.2.1.1投影向量的概念.58.2.1.2向量的夹角.58.2.1.3向量的数量投影.58.2.2向量的数量积的定义与运算律.68.2.2.1数量积的定义.68.2.2.2数量积的运算律.68.2.2.3向量数量积的变形公式与结论.78.2.3*极化恒等式..88.3向量的坐标表示.108.3.1向量基本定理.108.3.1.1向量基本定理108.3.1.2*三点共线的“爪型结论”.118.3.1.3*等和线128.3.2向量的正交分解与坐标表示.148.3.3向量线性运算的坐标表示.158.3.4向量数量积与夹角的坐标表示.178.4向量的应用.198.4.1证实不等式.198.4.2定比分点公式.198.4.3三角形面积公式.198.4.4*飞驰定理.198.4.4.1飞驰定理:198.4.4.2飞驰定理的推论:208.4.5*三角形的四心与向量有关的结论..208.4.5.1外心208.4.5.2重心.218.4.5.3内心.218.4.5.4垂心.211.松念既有大小又有方向5.向量的坐标表示模.1.2.1单位向量模为1设a=x1,y1b=x2,y2零向量模为0.0a⊥b⇔x1x2+y1y2=0a//ba=−bcos<a⇔SΔBOC:SΔCOA,SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2C第8章平面向量8.1向量的概念和线性运算8.1.1向量的概念（1）既有大小又有方向的量叫做向量(vector).常用有向线段(directedline-segment)表示向量,在物理学中常称为矢量.向量的两个要素:大小(一个非负实数)与方向（2）仅有数值（可以是随意实数）而没有方向的量称为数量（scalar），又称为标量.（3）向量a的大小叫做a的模(modulus),记作a.（4）模为1的向量叫做单位向量(unitvector).规定模为0的向量叫做零向量(zerovector),记作0,可以认为它具有随意方向.（5）倘若两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行.a//b表示a与b平行,规定0倘若两个向量同方向且具有相同的模,它们就是同一个向量即为相等的向量.按照向量相等的定义,零向量都是相等的.常常通过证实共起点的两向量平行来证实三点共线.（6）倘若一对平行向量a与b具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称b为a的负向量,记作b=−8.1.2向量的加法和减法8.1.2.1向量加法的平行四边形法则设给定两个不平行的向量a、b,倘若以O为起点,分离作OA=a,OB=b,那么以OAOB为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的向量我们把这种作向量和的主意叫做向量加法的平行四边形法则(parallelogramlaw)8.1.2.2向量加法的三角形法则若以O为起点作向量OA=a,再以A为起点作向量AC=b,则衔接起点O与尽头C得到向量OC,它就是a、异常地,a+08.1.2.3向量加法的运算律交换律a+b结合律a+b提醒:平行四边形法则要求参加加法的两个向量的起点相同,三角形法则要求参加加法的两个向量的首尾相接.可推广到A1A2+A28.1.2.4向量的减法已知向量a+b=c,那么向量b叫做向量c与向量a的差,记作求向量差的运算,叫做向量的减法.向量的减法满意c−a8.1.3实数与向量的乘法8.1.3.1实数与向量乘法的定义实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.它的模λa当λ>0时,λa的方向与a相同;当λ<0时,λa异常地,当a=0或λ=0时,8.1.3.2向量平行的充要条件向量b与非零向量a平行的充要条件是:存在实数λ,使得b典例(向量平行的充要条件)(2023年年嘉定一模10)已知非零向量a、b、c两两不平行,且ax,y∈R，则x+2【解析】∵a//b+c ∴存在λ∈R,使得b+c=λa⇒b+xa8.1.3.3实数与向量乘法的运算律设a、b是向量,λ、μ∈R8.1.3.4向量的单位向量与非零向量a同方向的单位向量叫做向量a的单位向量,记作a0,有a0注重:非零向量的单位向量是唯一的,与其平行的单位向量有两个.向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算(linearoperation).从一个或几个向量出发,通过线性运算得到的新向量称为本来那些向量的线性组合(linearcombination).典例(向量模的几何意义)1.已知向量a=cosα,sinα,b=cosc−a−b=1【解析】由题意,a=b=1,且a与b夹角为结合图像,如图,OA=OD=∴OC≤OD+CD2.已知平面向量a,b,c,e满意a=3,e=1,b−a=13.(2023年年年上海卷12).已知a1,a2,且对于随意的i=1,2,及j=1【答案】6【解析】设OA1=a1,OAj=1,2,⋯,k有则有A1Bj等于1或者2,且所以点Bj,j=1,2,4.(2023年年金山一模10)向量i、j是平面直角坐标系x轴、y轴的基本单位向量,且a−i+a【答案】6【解析】按照题意,i=1,0,j=0,1,设a=x,y,按照a−i+a−2j=5的几何意义,x,y轨迹是一条线段(图中5.(2023年年崇明一模12)已知AB为单位圆O的一条弦,P为单位圆Ofλ=AP−λABλ∈R的最小值为m,当点段AB【答案】46.(2023年年闵行一模11)已知平面向量a,b,c,对随意实数t,都有a=3,c【解析】由题意,b−a⊥a,b∴A、B、C、O在以∴cos∠∴8.2向量的数量积8.2.1向量的投影8.2.1.1投影向量的概念倘若向量AB的起点A和尽头B在直线l上的投影分离为点A′和B′,那么向量A′B′叫做向量A典例(向量的投影)1.已知点A1,2,B3,4,C8.2.1.2向量的夹角以一点O为起点,作OA=a,OB=b,我们把射线OA、OB的夹角称为向量a与8.2.1.3向量的数量投影易知OB′故向量b在向量a方向上的投影为bcos⟨在上式中,实数bcos⟨a,b⟩称为向量b在向量a方向上的数量投影.它是一个数量,其绝对值等于向量b在向量a方向上的投影的模.当⟨a,b⟩<π2典例(数量投影)(2023年年黄浦一模11)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为尽头的向量分离为a1.a2,a3,a4,a5,若ai与aj的夹角记为【解析】由ai⋅cosθij几何意义,表示向量ai在向量a5=AF,结合图像可知,ai⋅cosθij的最大值为方向上的投影,∴a3⋅cos8.2.2向量的数量积的定义与运算律8.2.2.1数量积的定义设a与b是两个非零向量,定义a与b的数量积(scalarproduct)a⋅b=abcos⟨a,b⟩约定a⋅a简记为a2,即为规定零向量与随意向量的数量积为0.a⋅b的几何意义:a⋅b等于其中一个向量a的模a与另一个向量b在向量a的方向上的数量投影b8.2.2.2数量积的运算律设a、b和c是向量,λ向量数量积的交换律:a⋅b向量数量积对数乘的结合律:λa⋅向量数量积对加法的分配律:a⋅b典例(数量积的运算)(2023年年黄浦一模12)已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2,点【解析】302+OPA+A3∴8.2.2.3向量数量积的变形公式与结论(1)cos⟨a（2）a⊥b当且仅当a（3）a⋅b≤ab典例(利用定义求数量积)1.边长为2的正△ABC【答案】-2(注重夹角)2.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60∘,点D,E分离【答案】43.(2023年年上海卷理14)在锐角△ABC中,tanA=12,D为BC边上的一点,△ABD与△ACD面积分离为2和4,过D作【答案】−【解析】由题可知,cos∠ESS△ABCDE⋅DE⋅典例(利用数量投影求数量积)1.如图所示,圆M,N公共弦AB长为3,则2.(2023年年奉贤一模16)若正方体A1Ax∣x=AA.1B.2C.3D.4【答案】A3.菱形ABCD的边长为2,∠A=60∘,M为DC【答案】94.已知OA=1,OB=3,且OA,OB的夹角为150∘,点C【答案】1当MC与OA同向时,OC在OA在△AOB∴AB=7∴∴5.已知A、B为平面上的两个定点,且AB=2.该平面上的动线段PQ的端点P、Q,满意AP≤【答案】608.2.3*极化恒等式在△ABC中,M为边(1)AB⋅(2)AM⋅结论:在平行四边形中,四条边的平方和等于对角线的平方和.典例(利用极化恒等式求数量积)1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上两个三等分点,【答案】7【解析】设B由极化恒等式得BA⋅B解之得x2=138, 2.正方形ABCD的边长为4,O是正方形ABCD的中央,过中央O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,【解析】-7,设OQ=定理,可知点Q在直线BC上,P为OQ中点,P∵PO3.已知正方形ABCD边长为，使PE⋅PF=λ【解析】−1,4.(2023年年普陀一模11)设P是边长为22的正六边形A1A2A3A4A5A6的边上的【解析】取MN中点=PCPCmin即PM⋅8.3向量的坐标表示8.3.1向量基本定理8.3.1.1向量基本定理倘若e1与e2是平面上两个不平行的向量,那么该平面上的随意向量a,都可唯一地表示为e1与e2的线性组合,即存在唯一的一对实数λ与μ,使得给定平面上的一组向量,倘若平面上的随意向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合,那么就称这组向量是平面向量的一个基.那么向量基本定理还可以表述成:平面上随意两个不平行的向量都组成平面向量的一个基.典例(向量基本定理)1.(2023年年松江一模11)已知向量q,e2是平面α内的一组基向量,O为α内的定点,对于α内随意一点P,当OP=xe+ye2时,则称有序实数对x,y为点①线段A、B的中点的广义坐标为x②A、B两点间的距离为x③向量OA平行于向量OB的充要条件是x④向量OA垂直于向量OB的充要条件是x其中的真命题是___.(请写出所有真命题的序号)①③【解析】由题知OA=x1e1+y1e①若线段AB的中点为C,则OC则Cx1+x②由AB=AB=x1−x③若OA//OB⇔存在非零实数k,有O即x1−④若O=x1x2+y2y2+2.(2023年年普陀一模16)设θ是两个非零向量a、b的夹角,若对随意实数t1,则下列判断准确的是()(A)若a决定,则θ唯一决定(B)若b决定,则θ唯一决定(C)若θ决定,则b唯一决定(D)若θ决定,则a唯一决定【答案】D8.3.1.2*三点共线的“爪型结论”(1)“爪”字型图:在△ABC中,D是BBD:CD=m:n,则异常地,倘若AD是BC边上的中线,则A（2）对任向来线AB外一点O,点P在直线AB上⇔存在实数λ,使O典例(爪型结论)1.在△ABC中,已知CD=2DB,P若△ABC的面积为3,∠A【解析】43⋅CP=mCA+49CC2⋅12.已知平面向量a、b、c满意a=1,b=ca−λ【解析】如图所示,OB=∴点A在以O为圆心,1为半径的圆上.λb+1−λc表示OD(a即求AD的取值范围.∵OODmin−OA≤∴a−λb−13.(2023年年青浦一模12)已知平面向量a、b、c满意a=1,b=c=2,且b【解析】如图所示,OB=∴点A在以O为圆心,1为半径的圆上.λb+1−λc表示OD(a即求AD的取值范围.∵OODmin−OA≤∴a−λb−18.3.1.3*等和线平面内一组基OA,OB及任一向量若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线A①当等和线恰为直线AB时,k=②当等和线在点O和直线AB之间时,k∈③当直线AB在点O和等和线之间时,k∈④当等和线过点O时,k=0⑤若两等和线关于点O对称,则定值k互为相反数;⑥定值k的绝对值大小与等和线到点O的距离成正比.典例（等和线）1.在平行四边形ABCD中,E、F分离是CD、BC【答案】432.(1)给定两个模长为1的向量OA和OB,他们的夹角为120∘,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+【答案】2（2）如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=120∘,点PAP=xAB+【答案】23933.如图所示,∠BAC=2π3,圆M与AAD=1,点P是圆M及其内部随意x,y∈R,则【答案】4【解析】如图所示,当P点位于右图位置时,x+y此时MA=当P位于线段MA与⊙M的交点时,可得最小值4.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若两定点A,B满意OA=OB【答案】165.(2023年年金山一模16)已知△ABC的外接圆圆心为O,∠A=120∘(A)12(B)23(C)3【解析】法一:设AB=则AO⋅A⇒⇒x+y=23+b3c法二:选D,由题意,OA=∴AO收拾得1−x∴平方得1−x即1−x∴1−x−y2即t−12≥t24,收拾得3t2−法三:如图所示,由等和线知识:x+y=AOA8.3.2向量的正交分解与坐标表示把向量a写成所在平面上两个不平行向量e1与e2的线性组合的过程称为a关于e1与e2的分解(decomposition)在e在平面直角坐标系中随意一个向量a关于x轴与y轴正方向上的单位向量i与j的正交分解a=xi+yj称为向量a在这个平面直角坐标系中的坐标分解(coordinatedecomposition),从而有序实数对x,y则称为向量向量的这种表示法称为它的坐标表示(coordinaterepresentation),可以直接用向量的坐标x,y作从原点O出发的向量OA=a,才干用A点坐标x,y表示向量a的坐标,把向量OA称为8.3.3向量线性运算的坐标表示设x1,y1、x2,y2xλ对平面上随意两点Px1,y1与Qx设a=x,y,则典例（坐标法求向量的模）1.已知向量m=1,1,向量n与向量m的夹角为34π（1）求向量n；（2）若向量n与q=1,0的夹角为π2,向量p=cosA,2cos2C2,其中A、C【答案】(1)n=0,−1或n=−1【解析】(1)设n=x,y,由m⋅n又因为向量n与向量m的夹角为34π,所以x联立①和②,解得:x=0y=−1或x=−1y（2）由n⊥q,知:n=0,−1,又因为从而A+C=2π3nn由0<A<2π3,得:π从而n+p所以n+p的取值范围是22.(2023年年上海春考11)已知A1、A2、A3An=1,2,3【答案】6【解析】设A1A2=x欲求A1A5的最小值,则必有A1A2与A3A4如图建系,设A10∴A1A52=−x22∴A1A5的最小值为3.(2023年年金山一模12)已知平面向量a、b满意条件:a向量c=λa+μbλ,μ∈R【解析】主意一:如图建系,a=cos∴c=λcosα,OD=∴DE∴由题意,D主意二:由α∈0,π2设cosβ=32λ−1cosαsin则c=518∴c的最小值为134.(2023年年黄浦一模11)已知平面向量a、b满意a=5,b=1,a⋅b=3,向量c=【答案】−【解析】法一:在平面直角坐标系中,记b=1,0,a=3再记点B1,0,A3,4,D−3k,−4的距离2k+25法二:由c⇒⇒⇒20λ2+44k+⇒⇒8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示给定两个坐标表示的向量a=x1,y1（1）它们的数量积a（2）夹角的余弦值cos（3）a⊥b的充要条件是x1x2+典例(向量的夹角)1.已知向量a=m−2,m+3,b=2m+【答案】若向量a与b的夹角为钝角,则a⋅b<0,且a与b不共线,则m−2解得−43<m<5典例(利用坐标法求数量积)1.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC中点,点F在边【答案】2以A为坐标原点,建系:B2,0,设Fx,y,由F在C再由AB⋅AF=2∴∴2.(2023年年上海春考10)在直角△ABC中,AC=BC=2,角C=π2,M为边AC的中点.若P在边AB【解析】主意一:如图建系,Px,主意二:M3.如图,在等腰梯形ABCD中,BC=3,∠C=45∘,高为a,E为AD的中点,P为折线段C−有两不等实根,则实数k的取值范围是___.【答案】72,8.4向量的应用8.4.1证实不等式柯西-施瓦兹不等式(Cauchy-SchwarzInequality)已知x1、x2、y1、8.4.2定比分点公式定比分点公式已知P是直线P1P2上一点,且P1P=λPP2(λ为实数,且λx2,y2.则点P的坐标x,y注:当λ=0时,点P与P1