不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析应用及参考复习资料

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析与应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上，的下界大于A（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于A例1、设f(x)2-22,当x[-1]时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;例3、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.例4、已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。2、主参换位法例5、若不等式对恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数，其中为实数．若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.例9、已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.4、数形结合例10、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是例11、当x(1,2)时，不等式<恒成立，求a的取值范围。二、不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.例12、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围例13、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．例14、已知函数（）存在单调递减区间，求的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式的解集为则例16、已知当的值域是,试求实数的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围2、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围3、设函数．对于任意实数，恒成立，求的最大值。4、对于满足2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。5、已知不等式恒成立。求实数的取值范围。6、对任意的，函数的值总是正数，求x的取值范围7、若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围。8、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。9、不等式有解，求的取值范围。10、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是M；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为N，求集合．11、①对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。②若不等式有解，求实数a的范围。③若方程有解，求实数a的范围。12、①若满足方程，不等式恒成立，求实数c的范围。②若满足方程，，求实数c的范围。13、设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．14、设函数，其中常数，若当时，恒成立，求的取值范围。15、已知向量=(，1)，=(1，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例1、解：a的取值范围为[-3，1]tg(t)o·1图1例2、解：等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.tg(t)o·1图1由于在上为增函数,则,所以例3、解：由得到：因为为奇函数，故有恒成立，tg(t)o·1图2又因为为R减函数，从而有tg(t)o·1图2设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.tg(t)o·1图3tg(t)o·1图3即，又∴(如图1)②当，即时,,即,∴,又,∴(如图2)③当时，恒成立.∴(如图3)故由①②③可知：.例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.的取值范围为.例5、解：例6、解：例7、解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。例8、解析:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.例9、解析：（1）（2）在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，，令得或(舍去)，当时,，当时，单调增函数；当时，单调减函数,当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。O综上，当时,；当时，。O例10、解析：对,不等式恒成立则由一次函数性质与图像知，即。例11、解：1<a2.例12、解：例13、第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或例14、解：，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是,而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是例15、解：6例16、解：是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即例17、解析：（1）设h(x)(x)(x)=2x2-3x2-12，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h(x)≥0.令h′(x)=6x2-612=0，得-1或2。由h(-1)=7，h(2)20，h(-3)45，h(3)9，故h(x)45，由45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)(x)(x)≥0在x[-3，3]有解，故h(x)≥0，由（1）知h（x）7，于是得k≥-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由g′(x)=6x2+104=0，得或-1，易得，又f(x)=8(1)2-8，.故令120≤-21，得k≥141。专项练习：1、解：2、解：3、解析：,对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。4、解：不等式即(1)2-21>0,设f(p)=(1)2-21,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：xy03即解得：∴x<-1或x>3.xy035、解：6、解：7、解：8、解：画出两个凼数和在上的图象如图知当时，当时总有所以9、解：不等式有解有解有解，所以。10、解：由又有解，所以．令恒成立．所以11、解：①②③12、解：①②13、解：由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，即，即在上恒成立．即，所以，因此满足条件的的取值范围是．14、解：（=2\*）由（=1\*I）知，当时，在或处取得最小值。则由