人教版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案

高中数学（选修2—1）

教＜

孔德友

庐江县第三中学

命题及其关系

第一课时1.1.1命题

一、教学目标：1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题,

能判断命题的真假；能把命题改写成“若P，则q”的形式；2、过程与方法：多让学生举命题

的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与

价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命

题的真假。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

三、教学过程

（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？

（二）、探析新课

1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？

（1）若直线a〃b,则直线a与直线b没有公共点.（2）2+4=7.（3）垂直于同一条直线的两个平

面平行.（4）若/=1,则x=l.（5）两个全等三角形的面积相等.（6）3能被2整除.

2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么

事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫

做命题.

命题的定义的要点：能判断真假的陈述句.

在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的

定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.

4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？

（1）空集是任何集合的子集.（2）若整数a是素数，则是a奇数.（3）指数函数是增函数吗？

（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行.（5）正2）2=-2.（6）x>i5.

让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关

键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、

感叹句均不是命题.解略。

引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出

一些定理、推论的例子来看看？

通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题.

过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和

推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部

分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

5、命题的构成一一条件和结论：定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成.在

数学中，命题常写成“若p,则q”或者“如果p,那么q”这种形式，通常，我们把这种形式

的命题中的P叫做命题的条件,q叫做命题结论.

6、练习、深化：指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假.

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数.（2）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分.

（3）若a>0,b>0,则a+b>0.（4）若a>0,b>0,则a+b<0.（5）垂直于同一条直线的

两个平面平行.

此题中的（1）（2）（3）（4）,较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q,

并能判断命题的真假。其中设置命题（3）与（4）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更

深刻地理解命题的定义一一能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。

此例中的命题（5）,不是“若P,则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生

一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”.解略。

过渡：从例2中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结

论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题.

7、命题的分类一一真命题、假命题的定义.

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做真

命题.

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做

假命题.

强调：（1）注意命题与假命题的区别.如：“作直线AB”.这本身不是命题.也更不是假命题.

（2）命题是一个判断，判断的结果就有对错之分.因此就要引入真命题、假命题的的概念，强

调真假命题的大前提，首先是命题。

8、怎样判断一个数学命题的真假？（1）数学中判定一个命题是真命题，要经过证明.（2）要判

断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.

9、练习、深化：例3：把下列命题写成“若P,则q”的形式，并判断是真命题还是假命题:

（1）面积相等的两个三角形全等。

（2）负数的立方是负数。

（3）对顶角相等。

分析：要把一个命题写成“若P,则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若

条件，则结论”即“若P,则q”的形式.解略。

（三）、课堂练习：P42、3

（四）、课堂总结师生共同回忆本节的学习内容.

1.什么叫命题？真命题？假命题？2.命题是由哪两部分构成的？

3.怎样将命题写成“若P,则q”的形式.4.如何判断真假命题.

教师提示应注意的问题：1.命题与真、假命题的关系.2.抓住命题的两个构成部分，判断一些

语句是否为命题.3.判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明.

（五）、作业：P9：习题1.1人组第1题

五、教后反思：

第二课时1.1.2四种命题四种命题的相互关系

一、教学目标：1、知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，

掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假.2、过程与

方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有

创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力.3、情感、态度与价值观：通过

学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题

和解决问题的能力.

二、教学重点与难点

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系.

难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分

析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假.

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习引入：初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

（二）、探析新课

1、思考、分析：问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间

分别有什么关系？（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数.（2）若f（x）是周期函数，则f（x）

是正弦函数.（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数.（4）若f（x）不是周期函数，则

f（x）不是正弦函数.

2、归纳总结：问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论.紧接结合此例给出四个命题的概

念，（1）和（2）这样的两个命题叫做互逆命题，（1）和（3）这样的两个命题叫做互否命题,

（1）和（4）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

3、抽象概括：定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题

的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命

题叫做原命题的逆命题.让学生举一些互逆命题的例子。定义2：一般地，对于两个命题，如果

一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命

题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.让学生举一些互

否命题的例子。定义3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题

的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做

原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题；（2）同时否定原命题的条件

和结论，所得的命题就是它的否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命

题就是它的逆否命题.强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4、四种命题的形式：让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若P,则q”的形式，则它的逆

命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若P,则q.则：逆命题：若q,则P.

否命题：若rp,则rq.（说明符号的含义：符号叫做否定符号.“「p”表示p的

否定；即不是P;非P）逆否命题：若fq,则rp.

5、练习巩固：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

(1)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

(2)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除；

(3)若x2=l,则x=l；

(4)若整数a是素数，则是a奇数。

6、思考、分析：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此间，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。②原命题为真，它的否命题不

一定为真。③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真

假真

假真

假假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具

有相同的真假性.

由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系

呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系.

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

7、总结归纳

若P,则q.若q,则P.

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,

可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.

（三）、例题分析：例4：证明：若p2+q2=2,则p+qW2.

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若d+/=2,则p+qW2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明

它的逆否命题“若P+q>2,则p2+/六2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的.

证明：若p+q>2,则

p。+qJ=—［（p—q）（p+q）>—（p+q）2>—X2?=2

222

所以p2+q?#2.这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习巩固：证明：若aZ-F+Za-4b—3#0,则a-b#1.

（四）、课堂总结：（1）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（2）两个命题互为逆否命题，他

们有相同的真假性；（3）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（4）原命

题与它的逆否命题等价：否命题与逆命题等价.

（五）、作业P9：习题1.1A组第2、3、4题

五、教后反思：

第三课时1.充分条件与必要条件

一、教学目标：1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题

的充分条件、必要条件.2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养

学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们

的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育.

二、教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念.（解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详

细讲述概念，最后再应用概念进行论证.）

难点：判断命题的充分条件、必要条件

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

(一)、创设情境

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.

那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？

因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关

系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题一充分条件与必要条件.

(二)、活动尝试

问题1:前面讨论了“若P则形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说

明条件和结论有什么关系？

(1)若x=y,则x=y(2)若ab=0,则a=0(3)若x>l,则x>l(4)若x=l或x=2,

则x-3x+2=0

推断符号“=”的含义：“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q,也就是说，如果p

成立，那么q一定成立，记作p=q,或者q=p；如果由p推不出q,命题为假，记作p,q.

简单地说，“若P则q”为真，记作1^^(或巳与)；“若P则q”为假，记作P#q(或q0p)•

(三)、师生探究

命题(1)、(4)为真，是由p经过推理可以得出0,即如果p成立，那么q一定成立，此时可

记作“°ng”，命题(2)、(3)为假，是由。经过推理得不出q,即如果0成立，推不出q成立，

此时可记作“力q.”

说明：“p=q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件.就是以保证g成立，

即表示“P蕴含q”。

(四)、归纳概括

L什么是充分条件？什么是必要条件？

一般地，如果已知那么就说：〃是q的充分条件；g是O的必要条件；如果己知

且那么就说：。是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知种S那么就说：p

不是q的充分条件；q不是P的必要条件；

回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.

命题(1)中因X=y=>/=/,所以“X=y”是“/=/”的充分条件，“丁=「”是“x=y”的必

要条件；x=^x=y,所以“/=/’不是"x=y”的充分条件，“x=y”不是"V=y’的必要

条件；

命题(2)中因a=0=>ab=0,,所以“a=0”是“ab=0”的充分条件.“ab=0”是“a=0”

的必要条件.ab=0#>a=0,所以“ab=0”不是“a=0”的充分条件，“a=0”不是“ab=

0"’的必要条件；

命题(3)中，因“x>l=所以“x〉l”是的充分条件，“&1”是“x>l”的必要条件.给1/

x>i,所以ax>r不是“*>i”的充分条件，“x>i”不是ax>r的必要条件.

命题4)中，因x=l或x=2o/—3x+2=0,所以“x=l或x=2”是“9一3*+2=0”的充要

分条件.

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性

可分为四类：(1)充分不必要条件，即P=>q,而q士犯(2)必要不充分条件，BP：p-而q=p.

(3)既充分又必要条件，即p=q,又有(4)既不充分又不必要条件，即p令q,又有q#p.

2.充分条件与必要条件的判断：(1)直接利用定义判断：即“若pnq成立，则p是q的充分条

件，q是P的必要条件”.(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题关系判断：“p=q”的等价

命题是即“若rq=~lP成立，则P是q的充分条件，q是P的必要条件”。

(五)、巩固运用

例1指出下列各组命题中，P是q的什么条件，q是P的什么条件：

(1)P：尸1=0;q：(尸1)(户2)=0.(2)p：两条直线平行；q：内错角相等.

(3)p：a>b；q：a>8(4)p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.

分析：可根据“若P则q”与“若q则P”的真假进行判断.

解：⑴由p=>q,即xT=0=(rl)(x+2)=0,知p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⑵由p=q,即两条直线平行O内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；

⑶由pAq,即a>b^>a>1),知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件：qAp,即3>-a>b,

知q不是P的充分条件，P不是q的必要条件.综述：P是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q=p,即四边形是正四边形二>四边形的四条边相等，知q是P的充分条件，P是q的必要

条件.由p-q,即四边形的四条边相等交四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p

的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判

断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.

例2（补）如图1,有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的

什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.

⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红

点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.

解法1（直接判断）：⑴：“A为绿色=B为绿色”是真的，，由定义知，“A

为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.

⑵如图2（1）,\•“红点在8内=红点在A内”是真的，.•.由定义知，“红点在

B内”是“红点在A内”的充分条件；”红点在A内”是“红点在B内”的必

要条件.

解法2（利用逆否命题判断）：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不

为绿色”.；“B不为绿色=>A不为绿色”为真，“A为绿色”是“B为图2(2)

绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.

⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”.如图2（2）,•.•“红点不在A

内=红点一定不在B内”为真，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；”红点在A内”

是“红点在B内”的必要条件.

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.

先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，

说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.

它符合上述的“若p则q”为真（即p=q）的形式.

再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，

A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：

有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即1q=rp）的形式.

总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必

要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.

例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.

给定两个条件P,q,要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x|x满足条件q},B={x

满足条件p}①A=B,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②B=A,则p为q的充要条件，q

为P的充要条件；

（六）、回顾反思

本节主要学习了推断符号“=”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与

必要条件的方法.（1）若p=>q（或若1q=~lP），则P是q的充分条件；若q=p（或若

1q）,则P是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：

①P是q的充分而不必要条件；②P是q的必要而不充分条件；

③P是q的充要条件；④P是q的既不充分也不必要条件。

（七）、练习巩固：P12练习第1、2、3、4题

（八）、作业：PM：习题1.2A组第1（1）（2）,2（1）（2）题

注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：

①P是q的充分而不必要条件；②P是q的必要而不充分条件；③P是q的充要条件；④P是

q的既不充分也不必要条件.

五、教后反思：

第四课时1.2.2充要条件

一、教学目标

1.知识与技能目标：（1）、正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件,

既不充分也不必要条件的定义.（2）、正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既

不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,.

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质.

3.情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养

积极进取的精神.

二、教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件.

三、教学过程

（一）、复习提问

1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出的含义

2.指出下列各组命题中，“p=q”及“qnp”是否成立

(1)P：内错角相等q：两直线平行

(2)p：三角形三边相等q：三角形三个角相等

(二)、探析新课

1、(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义：

一般地，如果既有p=q,又有q=>p>就记作：pOq。

这时，P既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说P是q的充分必要条件，简称充要

条件

点明思路：判断P是q的什么条件，不仅要考查pnq是否成立，即若p则q形式命题是否正

确，还得考察q=p是否成立，即若q则p形式命题是否正确。

2,辨析题：(学生讨论并解答，教师引导并归纳)

思考：下列各组命题中，P是q的什么条件：

1)P：x是6的倍数。q：x是2的倍数

2)p：x是2的倍数。q：x是6的倍数

3)p：x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数

4)p：x是4的倍数q：x是6的倍数

总结：1)p=q且qW>p则p是q的充分而不必要条件

2)q=>p且p#>q则p是q的必要而不充分条件

3)p=>q且qnp则q是p的充要条件

4)p#>q且qW>p则p是q的既不充分也不必要条件

强调：判断P是q的什么条件，不仅要考虑P=q是否成立，同时还要考虑q=P是否成立。

且P是q的什么条件，以上四种情况必具其一.

3、巩固强化

例题：指出下列各命题中，p是q的什么条件：

1)p：x>lq：x>2

2)p：x>5q：x>-l

3)p：(x-2)(x-3)=0q：x-2=0

4)p：x=3q：X2=9

5)p：x=±1q：x2-1=0

解：1)Vx>l^>x>2但x>2=x>lp是q的必要而不充分条件

2)Vx>5=5>x>-1但x>TW>x>5；.p是q的充分而不必要条件

3)V(x-2)(x-3)=0W>x-2=0但x-2=0=>(x-2)(x-3)=0

，p是q的必要而不充分条件

4)VX=3=>X2=9但X?=9W>X=3p是q的充分而不必要条件

5)x=±1^>x2-1=0且x?=l=>x=±l.'.p是q的充要条件

通过例题引导同学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若AqB但B不包含于A,即A是B

的真子集，则p是q的充分而不必要条件；若AnB但A不包含于B,即B是A的真子集，则p

是q的必要而不充分条件；若AqB且B[A即A=B则p是q的充要条件；若A不包含于B,且

B不包含于A,则p是q的既不充分也不必要条件

总结判断P是q的什么条件：方法1：考察pnq及qnp是否成立。即：判断若P则q形式命

题及若q则p形式命题真假.方法2：集合观点

4、拓展联系：1)请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件

P是q的既不充分也不必要条件；P是q的充要条件

2)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”

中选出适当一种填空：①"aeN”是“awz”的

②是“abW0”的____________________________

(3)"X2=3X+4”是“x=j3x+4”的

④“四边相等”是“四边形是正方形”的

3)判断下列命题的真假：①“a>b”是^abb2”的充分条件；②“a>b”是“a?>b2”的必要

条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a件”是ftac2>bc2”的充分条件

(点题：举反例在说明p#>q或qr>p时应用)

(三)、巩固提高：(学生讨论，师生共同完成)

1、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的

什么条件？

2、求证：关于X的方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是ac<0

X一]

3、已知P：1------&2,q：x2-2x+l~m2^0(m>0)且-ip是-iq的必要而不充分条

3

件，求实数m的取值范围。

（点题：依据：若P则q命题与其逆否命题若「q则「P同真假，由且」pW>「q,

知p=q且qW>p）

（四）、小结（学生回顾所学内容并小结，教师补充完善）

（1）充要条件：若pnq且q=P则P是q的充要条件

（2）判断p是q的什么条件，不仅要考察pnq是否成立，还要考察q=p是否成立

（3）判断pnq是否成立，

思路1:判断若p则q形式命题真假；思路2：若p则q形式命题真假难判断时判断其逆否命

题真假；思路3：集合的观点

（五）、作业：P14：习题1.2A组第1（3）（2）,2（3）,3题

五、教后反思：

简单的逻辑联结词

第五课时1.3.1且与或

一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑

联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题。2.过程与方法目标：在

观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养.3.情感态

度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神.

二、教学重点与难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内

容。难点：1、正确理解命题“PAq”“PVq”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“P

八q”“PVq”.

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、引入：在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑.具有一定逻辑知识是

构成一个公民的文化素质的重要方面.数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数

学比初中更强调逻辑性.如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常

犯逻辑性的错误.其实，同学们在初中己经开始接触一些简易逻辑的知识.

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非:在生活用语中，我们也使用这些联

结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”

“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母P，q,r,s,…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结

论q的区别）

（二）、探析新课

1、思考、分析：问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？

（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。

学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题,

在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例

子？

例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。

命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

2、归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pAq读作“P

且q”。

一般地，用联结词“或”把命题P和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pVq,读作

“P或q”。

命题"pAq”与命题“pVq”即，命题“P且q”与命题“P或q”中的“且”字与“或”字

与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗？

（1）若xGA且xGB,贝iJxWADB。（2）若xdA或xGB,则xGAUB。

定义中的“且”字与“或”字与两个命题中的“且”字与“或”字的含义是类似。但这里的逻

辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同

时兼有，同时满足，逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解

上是排斥你我都去这种可能.

说明：符号“八”与“C”开口都是向下，符号“V”与“U”开口都是向上。

注意：“P或q”，“P且q”，命题中的“P”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，

逆否命题中的“P"，"q”是一个命题的条件和结论两个部分.

3、命题“pAq”与命题“pVq”的真假的规定

你能确定命题“p/\q”与命题“pVq”的真假吗？命题“p/\q”与命题“pVq”的真假和命

题P，q的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子中命题P，q以及命题p/\q的真假性，概括出这三个命题的真假之间

的关系的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（D组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。

第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。

PqPAq

真真真

真假假PqpVq

假真假真真真

假假假真假真

假真真

假假假

一般地，我们规定：

当P，q都是真命题时，p/\q是真命题；当p,q两个命题中有一个命题是假命题时，pAq

是假命题；当P，q两个命题中有一个是真命题时，pVq是真命题；当p,q两个命题都是假命题

时，pVq是假命题。

（三）、例题

例1：将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“pAq”与“pVq”的形式，并判断它

们的真假。

（1）P：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.

解：（l）pAq：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形

的对角线互相平分且相等.

pVq:平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形的对角

线互相平分或相等.

由于P是真命题,且q也是真命题,所以pAq是真命题，pVq也是真命题.

（2）pAq：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分.也可简写成菱形的对角线互相垂直

且平分.

pVq：菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分.也可简写成菱形的对角线互相垂直或平

分.

由于P是真命题,且q也是真命题,所以pAq是真命题，pVq也是真命题*

（3）pAq：35是15的倍数且35是7的倍数.也可简写成35是15的倍数且是7的倍数.

pVq:35是15的倍数或35是7的倍数.也可简写成35是15的倍数或是7的倍数.

由于P是假命题，q是真命题，所以pAq是假命题，PVq是真命题.

说明，在用“且"或"或"联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变.

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。

（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2W2.

解略.

例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）?是A的子集且是A的真子集；（3）

集合A是AAB的子集或是AUB的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角

形全等.

解略.

（四）、练习：P20练习第1,2题

（五）、课堂总结：（D掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”

解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题

PqPAqPVq

真真真真

真假假111.

假真假真

假假假假

（六）、作业：P20：习题1.3A组第1、2题

五、教后反思：

第六课时1.3.2非

一、教学目标

1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问

题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题

2.过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严

密性品质的培养.

3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积

极进取的精神.

二、教学重点与难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.

难点：1、正确理解命题“「P”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“「P”.

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

二、教学过程：

（一）、思考、分析

问题1:下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；

（2）①方程Y+x+ro有实数根。②方程x'+x+FO无实数根。

学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定.

（二）、归纳定义

1、定义：一般地，对一个命题P全盘否定，就得到一个新命题，记作「P；读作“非P”或

“P的否定

2、命题“「p”与命题p的真假间的关系

命题“『p”与命题p的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子中命题P与命题-p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系

的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。

第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。

由此可以看出，既然命题是命题P的否定，那么与P不能同时为真命题，也不能同时为假

命题，也就是说，

若P是真命题，则Fp必是假命题；若P是假命题，则Fp必是真命题；

3、命题的否定与否命题的区别：让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什

么区别？

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在

解题时应分请命题的条件和结论。

例：如果命题p:5是15的约数，那么命题「p：5不是15的约数；

P的否命题：若一个数不是5,则这个数不是15的约数。

显然，命题P为真命题，而命题P的否定「P与否命题均为假命题。

(三)、例题分析

例1?写出下表中各给定语的否定语。

若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个

??????

其否定语分别为

分析：“等于”的否定语是“不等于”；“大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的

否定语是“不是”；“都是”的否定语是“不都是”；“至多有一个”的否定语是“至少有两

个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”。

例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假

(1)p：y=sinx是周期函数；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集。

解析：(1)「P：y=sinx不是周期函数；假命题；(2)「P：322；真命题；(3)^P：空集不

是集合A的子集；假命题。

(四)、练习巩固：P20练习第3题

(五)、小结(1)正确理解命题“fp”真假的规定和判定.(2)简洁、准确地表述命题

P”.

(六)、作业P20：习题1.3A组第3题

五、教后反思:

第七课时简单的逻辑联结词（一）或且非

一、教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.

二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。

教学难点：对“或”的含义的理解；

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、创设情境：前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框

架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。

问题1:下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式

①11>5②3是15的约数吗？③是整数④x〉8

（二）、活动尝试

①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为③是3是15的约数，则为真；

③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为则为真；

例如，x<2,x-5=3,（x+y）（x-y）=O.这些语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前,

是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们

不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命

题的概念就可以了•

（三）、师生探究

问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3）后不是有理数；

上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显

是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。

命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：AUB={x|xCA或xGB}的“或”意义相同.

命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：ACB={x|xdA且xWB}的“且”意义相同.

命题（3）中的“非”显然是否定的意思，即“0不是有理数”是对命题正是有理数”进行否

定而得出的新命题.

（四）、抽象概括

1.逻辑连接词：命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

2.复合命题的构成：简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题.

复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

3.复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.

复合命题的构成形式是：P或q；P且q；非p.

即：p或q记作p?qP且q记作p?q非p（命题的否定）记作?p

释义：“P或q”是指P,q中的任何一个或两者.例如，"x《A或x€B"，是指x可能属于A但不属

于B（这里的“但”等价于“且"），x也可能不属于A但属于B,x还可能既属于A又属于B（即

x^AUB）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.

"p且q"是指p,q中的两者.例如，"x^A且xGB",是指x属于A,同时x也属于B（即XGAOB）.

“非P”是指P的否定，即不是P.例如，p是“x€A”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即

xeA）.

（五）、巩固运用：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相

交

解：（1）中的命题是p且q的形式，其中P：24是8的倍数；q：24是6的倍数.

（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.

（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。

例2:分别指出下列复合命题的形式（1）827；（2）2是偶数且2是质数；（3）乃不是整数；

解：（1）是"pvq”形式，p：8>7,q：8=7；（2）是“p/\q”形式，p:2是偶数，q：

2是质数；（3）是“一p”形式，p：乃是整数；

例3：写出下列命题的非命题：（l）p:对任意实数X,均有X2—2X+1）0；（2）q：存在一个实数x,

使得《一9=0（3）“AB〃CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”.

解：（1）存在一个实数x,使得X?—2x+lV0；（2）不存在一个实数x,使得（-9=0；

（3）AB不平行于CD或AB/CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是:

△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形.

复合命题的构成要注意：（1）“P或q”、“P且q”的两种复合命题中的p