新疆博湖县高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

2023-2024学年第二学期期中考试试卷高一数学（问卷）一、单选题（每题5分，共45分）1.设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（）A.2 B. C.-2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据三点共线可得向量共线，利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】由题意，且，因为三点共线，所以存在实数，使得,所以，即，解得.故选：A.2.已知，，，且与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的数量积表示、向量数量积的运算律可构造方程求得结果.【详解】，，与垂直，，解得：.故选：C.3.已知实数，且复数的实部与虚部互为相反数，则复数对应的点在复平面内位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数加减乘除四则运算化简复数，求得实部与虚部，依题求出的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】，其实部为，虚部为，依题有，解得，所以，其对应的点为，位于第二象限.故选：B.4.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】先利用向量平行求出，再利用模长公式可得答案.【详解】因为，，且，所以，，.故选：B.5.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（）.A.12 B.12C.6 D.【答案】D【解析】【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.【详解】因，由斜二测画法可知，则，故为等腰直角三角形，故，故矩形的面积为，所以原图形的面积是，故选：D6.如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，相减可得几何体的体积．【详解】旋转后所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，如图所示：其中圆柱与圆锥的底面半径都等于圆柱的高等于，圆锥的高等于，底面圆的面积为，圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以所得几何体的体积为．故选：C7.用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（）A.1 B.2 C. D.2【答案】D【解析】【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解.【详解】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高.故选：D.8.在边长为2的正方形中，为的中点，则（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】由平面向量数量积的运算律求解即可.【详解】因为四边形是边长为2的正方形，所以，，.故选：D.9.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（）A.8 B.12 C.22 D.24【答案】C【解析】【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果.【详解】易知：，，且，.由故选：C二、多选题（每题错选得0分，少选得2分，全对得5分，共15分）10.下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量的共线定理及基底的概念一一判定选项即可.【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，因为，，，则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD11.设复数，则下列命题结论正确的是（）A.的实部为1 B.复数的虚部是2C.复数的模为 D.在复平面内，复数对应的点在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.【详解】，所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；，故C正确；在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，故D正确.故选：ACD.12.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A.正三棱锥高为3 B.正三棱锥的斜高为C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为【答案】ABD【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，故,故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分，共20分）13.若复数是纯虚数，则实数__________．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算以及纯虚数的定义即可求解.【详解】因为是纯虚数，所以，且即.故答案为：14.已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为______．【答案】【解析】【分析】球的截面的性质由勾股定理求解截面圆半径即可.【详解】由球的性质可得截面为圆面，则截面圆的半径为，故面积为，故答案为：15.已知向量，，则，则实数________.【答案】2【解析】【分析】根据向量坐标运算求，结合向量平行坐标表示求.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故答案为：.16.已知复数满足，则的最大值是__________.【答案】6【解析】【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而表示复数对应的点到点的距离，最大的距离为，即的最大值是.故答案为：.四、解答题17.在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求△ABC的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.【小问1详解】由及正弦定理得因为，故．又∵为锐角三角形，所以．【小问2详解】由余弦定理，∵，得解得：或∴的周长为．18.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.【小问1详解】原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；【小问2详解】，，，.19.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解.【详解】如图所示，画出正三棱台，其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点，则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形，,,所以,所以此三棱台表面积,20.正四棱台两底面边长分别为2和4．（1）若侧棱长为，求棱台的表面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设分别为上，下底面的中心，分别取的中点，利用梯形求出斜高，从而求出表面积；（2）根据已知条件求出斜高,再由直角梯形求出四棱台的高.【小问1详解】如图，设分别为上，下底面的中心，分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高，，则棱台的表面积.【小问2详解】两底面面积之和为，正四棱台的侧面积为，解得，正四棱台的高.21.在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求：（1）截去的三棱锥的表面积；（2）几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）判断出4个三角形的形状，再由表面积的求法求解即可；（2）先求出截去三棱锥后剩下几何体的体积，再减去三棱锥的体积即可.【小问1详解】易知三棱锥中，，是边长为的等边三角形，都是直角边为2的等腰直角三角形，故三棱锥的表面积为；【小问2详解】如图，设截去三棱锥后剩下几何体的体积为，则，又三棱锥均和三棱锥体积相同，则.22.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图l，底面处于水平状态）．将容器放倒（如