二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类（原卷版）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数2、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅注：一元二次不等式与一元二次函数关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．4、简单的分式不等式的解法(1)eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0).(2)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，,cx＋d≠0.))总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解．图示如下：思考eq\f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？eq\f(x－3,x＋2)≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？答案eq\f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价；eq\f(x－3,x＋2)≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．6、利用不等式解决实际问题的一般步骤（1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．（3）求解所列出的不等式(组)．（4）结合题目的实际意义确定答案．7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．(2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0).③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：分式不等式整式同解不等式eq\f(y1,y2)＞0与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＜0))同解；与y1y2＞0同解eq\f(y1,y2)＜0与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＞0))同解；与y1y2＜0同解eq\f(y1,y2)≥0与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≥0，,y2≠0))同解eq\f(y1,y2)≤0与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≤0，,y2≠0))同解特别地，形如eq\f(y1,y2)＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为eq\f(y1－ay2,y2)＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0)；))一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0).))(2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．13、解不等式应用题的步骤考点一一元二次不等式的解法考点二含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论（二）对判别式的讨论（三）对两根大小的讨论考点三根据一元二次不等式的解集求参数考点四简单的分式不等式的解法考点五一元二次不等式的恒成立问题考点六一元二次不等式的实际应用考点一一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合，，则．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于的不等式解集是．考点二含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式:.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知，，求关于的不等式的解集.（二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x的不等式.（三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若，解不等式．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若，解关于的不等式..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x的不等式：(1)(2)考点三根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（

）A．10 B．6 C．0 D．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（

）A． B．7 C． D．18．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（

）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以为的形式C．不等式的解集恰好为，那么或D．不等式的解集恰好为，那么23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；(2)当时，解关于x的不等式．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2考点四简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是．28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为．29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则．30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式.考点五一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．34．（2023秋·高一单元测试）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围;(2)解关于的不等式.考点六一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为元．37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个