第5章 离散信号与系统的时域分析

信号与系统第5章

离散信号与系统的时域分析第5章

离散信号与系统的时域分析5.1

离散时间基本信号5.2

卷积和5.3

离散系统的基本概念5.4

离散系统的响应X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第5章

离散信号与系统的时域分析本章在进一步介绍离散时间信号和离散时间系统概念的基础上，讨论LTI离散时间系统的时域分析方法。本章主要内容u离散时间基本信号的介绍u离散卷积和的定义及性质u离散时间系统的基本概念u离散时间系统的零输入响应和零状态响应学习方法：注意离散系统分析方法与连续系统分析方法的联系、区别、对比。两者有并行的相似性，但也存在一些重要差异。和连续信号与系统时域分析对照，温故而知新。X长沙理工大学

电气与信息工程学院第5章

离散信号与系统的时域分析信号与系统5.1

离散时间基本信号f(t)⑴

模拟信号：时间和幅值均连续的信号，现实中的信号均为模拟信号。⑵

连续时间信号：时间连续的信号（函数值可连续也可不连续），有时不严格区分模拟信号与连续时间信号的概念，统称为连续信号。tOf(k)⑶

离散时间信号（序列）：只在离散的时间点上有定义的信号，通常由模拟或连续时间信号经取样得到，简称离散信号。k⑷

数字信号：时间离散、幅度可量化的离散时间O

21

3信号。思考：序列只在特定离散点取得样值，意味着可能丢失原连续信号的部分信息！取样间隔越小，丢失的信息量越少，那么取样间隔要小到何种程度，才能保留原信号的全部信息？（取样定理）X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统等间隔T取样省略T连续

f(t)¾

¾

¾

¾¾®

f(kT)¾

¾

¾®

离散

f(k)

k

=0,±1,±2,...离散信号的表示方法有以下几种：(3)

图形表示(1)

表达式形式ì

2

,k

³

0kf

(k)4f

(k)

=í0,k

<

0î线段的长短表示各序列值的大小(2)

序列表示ìü2......f

(k)

=

...,0,0,

1

,2,4,8,...íý1îk=0•þ(4)

数据表格形式1-

2

-

O

1

2ktk0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7u(tk)

1.2

1.4

1.3

1.7

1.1

1.9

1.8一个离散信号可以表示一个其自变量本来就是离散的现象，例如在有关人口统计数据、年犯罪率统计、银行存款利息计算、每天股票市场指数变化等等。X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号序列的三种类型信号与系统f

(k)单边序列：...序列的非零值点具有起点或终点，即f

(k)

=

0,k

<

k0

,右单边序列f

(k)

=

0,k

>

k0

,左单边序列ìkOíîf

(k)......双边序列：在

-

¥

£

k

£

¥

内，f

(k)都可能

¹

0kOf

(k)有限长序列：¹

0,k1

£

k

£

k2=

0,其它kìf

(k)íîOk1k2kX长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统离散时间信号的运算f

(k)

=

f

(k)

+

f

(k)1．相加：2．相乘：12f

(k)

=

f

(k)×f

(k)12f

(k)

=

af1(k)f

(k)

=

f1(k

-

m)

右移位3．数乘：4．移位：f

(k)

=

f1(k

+

m)

左移位f

(k)f

(0)f

(1)f

(k

-

1)f

(0)f

(-

1)f

(-

1)f

(1)f

(3)f

(3)231

1-

o31-

o

1

2

4kkf

(2)f

(2)X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统¥åf

(k)

=

f1(-k)f

(k)

=

f

(n)5．反折：6．差分：7．累加：1n=-

¥前向差分：Df

(k)

=

f

(k+1)

-

f

(k)后向差分：Ñf

(k)

=

f

(k)

-

f

(k-

1)采用较多Ñf

(k)

=

Df

(k

-

1)kæ

ö(

)

(

)

(

)f

k

®

f

ak

,

或

f

k

®

f8．展缩：ç

÷aè

ø注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。在离散时间信号处理中经常会涉及类似的展缩运算（称为抽取（下/减采样）与插值（上/增采样））。¥å2E=

f

(k)9．序列的能量：k=-¥X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统序列的展缩f

(k)例：已知f

(k)波形，请画出6kæ

ö54321f

(2k),

f

波形。ç

÷2è

øO

1

2

3

4

5

6kæk

ö2è

øf

(2k)fç

÷642654321O

1

2

3

4

5

6O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12kk插值（上/增采样）抽取（下/减采样）X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统5.1.2

离散时间基本信号d

(k)1.单位脉冲序列与单位阶跃序列0,k

¹

01ìd

(k)

=(1)单位脉冲序列í1,k

=

0îk-

1

O

10,k

¹

k0ìd

(k

-

1)(k

k

)d

±

=时移性抽样性í∓01,k

=

kî10f

(k)d

(k)

=

f

(0)d

(k)O

1

k注意：d(

)与单位冲激信号d(

)的区别d

用面积

(强度)表示，(

®

，幅度为¥

)(t)t

0;d

在

=

取有限值(不是面积)。(k)

k

0X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统利用单位序列表示任意离散时间信号f

(k)ìüïï(

)f

k

=

1,1.5,0,-

3,íý•ïïîþ1.5k=02=

d

(

+

)+

d

(

)-

d

(

-

)k

1

1.5

k

3

k

2-

1o134ke(k)-

31...1

k

³

00

k

<

0ìe(k)

=(2)单位阶跃序列íîO-11

2

3ke(k)可以看作是无数个单位脉冲序列之和:¥åe(k)

=d

(k)

+d

(k-

1)

+d

(k

-

2)

+d

(k

-

3)

+…

=

d

(k-

n)n=0d

(k)

=

e(k)

-

e(k-

1)k

与

k

是差和关系，不是微商关系。d

(

)

e

(

)X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统(

)(W

j

)ü0f

k

=

Asin

k

+2．正弦序列统称为正弦序列ý(

)(W

j

)0余弦序列：f

k

=

Acos

k

+þ(W

)sin

kW0

:正弦序列的数字角频率2π0sin(w0t)AO当W

＝

,

则序列每隔10个010点重复一次正弦包络的数值。1510k正弦序列是否一定是周期的？-

A(

)

(W

j

)若离散正弦序列

f

k

=

sin

k

+

是周期序列，则满足0(

)

(

)f

k

+

N

=

f

k，N

称为序列的周期（任意正整数）。(

)WjW

j

(

)即

f

k

+

N

=

sin[

(k+

N

)

+

]

=

sin(

k

+

)

=

f

k00W0

N

=

2p

m（m为整数）欲使上式成立，则应有X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统2p

N

T=

=

为有理数时，正弦序列才是周期序列。W

m

T只有当0s其中，Ts

和

T

分别是采样周期和正弦序列的周期。下列信号是否为周期序列，若是，求周期。4p2(1)

sin(

0.2p

k);

(2)

sin(

k);

(3)

sin(

k)115（1）W0

=

0.2p，

则有：sin(0.2p

k)12p

2pNmsin(w0t)==

10

=W

0.2p100o15k所以N

=

10

，即周期为

10。（2p

中

有10个W0）-1X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统4π2πW011

11

N（2）W

=

，

则有：=

2π

=

=

,

所以周期

N

=11

。0114π

2

m4psin(

k)113

4

59

101

26

7

81122k一个周期2p（3）

=

5p

是无理数，W0所以为非周期的序列。X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统离散信号

sin(W

k

+j

)与连续信号

sin(w

t

+j

)

的关系与区别：00(

)

(w

j

)f

t

=

sin

t

+0离散采样点

kT（T为抽样周期）上的正弦值ss(

)

(wj

)f

kT

=

sin

kT

+s0s令

Ω

=

w

T，离散正弦信号00

s(

)

(W

j

)f

k

=

sin

k

+0ì

ω

单位：弧度

/

秒，连续域的模拟角频率ï0区别:íΩ0

单位：弧度

，离散域的数字角频率ïîX长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统3．指数序列（1）单边实指数序列

f

(k)=

a

(k)keake

(k)ake

(k)a

>

10

<

a

<

111-

1

O123344-

1

O1234kkkake

(k)ake

(k)a<

-1-

1

<

a<

011-

1

O12-

1

O12

34kX长沙理工大学

电气与信息工程学院5.1离散时间基本信号信号与系统（2）复指数序列(

)(

)

(

)W0

0=jW0k=W

+A[cos

k

j

sin

k

]f

k

Aejargëé

f

(k)ùû(

)

(

)f

k

=

f

k

e复序列用极坐标表示：f

(k)

=

Aarg

é

f

(k)ù=

W

kë

û复指数序列：4．Z

序列0(

)f

k

=

z，

其中z为复数k若令

z

=

z

ejW，

则有=

z

k

ejWk

=

z

k

(cosWk+

jsin

Wk)f

(k)=

zkZ

序列可以看成是复指数序列。X长沙理工大学

电气与信息工程学院第5章

离散信号与系统的时域分析信号与系统5.2

卷积和5.2.1

卷积和的定义¥å(

)(

)

(

)2f

k

=

f

(k)*

f

(k)

=

f

m

f

k

-

m121m=-

¥为f

(k)与f

(k)的卷积和运算，简称卷积和；12注意：求和是在虚设的变量

m下进行的，

m为求和变量，k为参变量。结果仍为k

的函数。若f1

(k)为因果序列，¥åf

(k)*

f

(k)

f

(k)

(k)*

f

(k)=e=

(

)

(

-

)f

i

f

k

i121212i=0若f

(k)、f

(k)均为因果序列，12kåf

(k)*

f

(k)

=

f

(k)e(k)*

f

(k)e(k)

=

f

(i)

f

(k-

i)121212i=0X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.2

卷积和信号与系统在求卷积和时经常用到的几个重要关系式：ìNa

=1ïïN

-

11-

aNïån(1)有限项求和公式：

a

=对任意复数

a

¹

1íïï1-

an=02pj()0a

=

eïNî¥1åan

=(2)若|a|<1，则(3)若|a|<1，则1-

an=0¥aånan

=(1-

a)2n=0X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.2

卷积和信号与系统离散卷积和的计算方法：可用于求无限长序列的卷积和1.解析式法2.图解法主要适合于求有限长序列的卷积和3.矩阵计算法4.对位相乘求和法5.利用性质

可用于求无限长序列的卷积和实际应用中序列的长度往往都是有限的！X长沙理工大学

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卷积和信号与系统例5.1

f

(k)=a

ke

(k),

f

(k)=bk

e

(k)，求

f

(k)*f

(k)。1212解：因为

f

(k)

和

f

(k)均为因果信号，故12m¥kkaæ

öåååm

k-

mkf

(k)*

f

(k)

=

f

(m)

f

(k

-

m)

=

a

b

=

bç

÷1212bè

øm=-

¥m=0m=0根据有限项求和公式可得ì1-

(a

b)k+1解析式法kï

ba

¹

b,k

>

0ï

1-

a

bf

(k)*

f

(k)

=íïï12bk

(k

+1)

a

=

b,k

>

00k

<

0îe

(k)*e

(k)

=

(k

+1)e

(k)同理可求得：1-

ak+1ke

(

)*e

(

)

=ke

(

)a

k

k1-

aX长沙理工大学

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卷积和信号与系统5.2.2

卷积和的图解机理（图解法）¥å由卷积和的定义：

f

(k)

=

f

(i)

f

(k

-

i)12i=-¥卷积过程可分解为四步：（1）换元：

k

换为

i

，得

f

(i)，

f

(i)，画出图形；12（2）翻转：由

f

(i)

反转得

f

(–i)；22（3）平移：

将f

(–i)平移

|k|得到

f

(k–i)，若k>0，右移，22若k<0，左移；（4）乘积：

f

(i)f

(k–

i)；12（5）求和：

i

从

–∞到∞对乘积项求和。注意：k

为参变量。演示下面举例说明。X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.2

卷积和信号与系统f1(

i

)22例：f

(k)、

f

(k)如图所示，已知121.5-11.5f(k)=f

(k)*f

(k)，求f(2)=？112ii¥013-2-2å=-f

(i)

f

(2

i)解：f

(2)12f2(

i

)i=-¥f2(–i

)f2(2–i)1（1）换元（2）

f

(i)反转得

f

(–

i)-1012322（3）

f

(–i)右移2得

f

(2–i)22（4）

f

(i)乘

f

(2–i)12（5）求和，得

f(2)=

4.5X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.2

卷积和信号与系统5.2.3

卷积和的矩阵计算法若有两个序列

f

(k)和

f

(k)，试求

f(k)=f

(k)*f

(k)。1212X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.2

卷积和信号与系统(2)对位相乘求和法ìüìüïïïï已知

f

(k)

=

3,

4,

0

,

6,

0

，f

(k)

=

0,

2

,

1,

5,

0

，íîýíý12••ïïïïþîþk=0k=0求：y(k)=

f

(k)*

f

(k)1

2f1(k)f2(k)3，

4，

0，

62，

1

，

5×

————————15，20，

0，

30步骤：①两序列右对齐（注意去掉为0的值）②逐个样值对应相乘但不进位3，

4，

0，

66，

8，

0，

12+

————————————6，11，19，32，6，30③同列乘积值相加（注意k

=0的点）所以

y(k)={

6，11，19，32，6，30}↑k=0X长沙理工大学

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卷积和信号与系统说明：有限长序列卷积和

y(k)的非零元素个数(

)设

y

k

=

f

(k)*

f

(k)12f1(k)f2

(k)y(k)LA个非零元素如果：LB个非零元素L

=

L

+

L

-

1个非零元素那么：如果：ABf

(k)序列非零区间：k

£

k

£

k，112f

(k)序列非零区间：k

£

k

£

k234y(k)序列非零区间：(k

+

k

)£

k

£(k

+

k

)那么：1324X长沙理工大学

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卷积和信号与系统5.2.4

离散卷积和的性质性质1系统级联f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)(1)交换律1221[](2)结合律

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)123123[](3)分配律

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)*

f

(k)1231213(

)

d

(

)

d

(

)

(

)性质2

f

k

*

k

=

k

*

f

k

=f

(k)系统并联性质3

时移性质则

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)

=

y(k

-

k

-

k

)

=

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)1122121221性质4

取样特性f

(k)*d

(k

-

k

)

=

f

(k-

k

)

=

f

(k

-

k

)*d

(k)000卷积和不存在微分、积分性质。X长沙理工大学

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卷积和信号与系统例5.4

已知序列

f1

(k)

=

2-

(k+1)

(k

+1)

和

f

(k)

=

(k

-

2)

，ee2试计算卷积和

f

(k)*

f

(k)

。121-

ak+1解：由keee，令

a=1/2，则(k)a

(k)*

(k)

=1-

ak-

kee

(

)

ee-

ke2

(k)*

(k)

=12(k)*

(k)

=

(2

-

2

)

(k)设

g(k)

=

2-

k

e(k)*e(k)

，由时移性质，可得-

(k+1)ee(k

+1)*

(k

-

2)

=

g(k

+1-

2)

=

g(k

-

1)f

(k)*

f

(k)

=

212-

(k-

1)e-

ke=[2

-

2

]

(k

-

1)

=

2(1-

2

)

(k

-

1)性质5

筛选特性

f

(k)d

(k)

=

f

(0)

d

(k)f

(k)d

(k

-

k

)

=

f

(k

)

d

(k

-

k

)000常用序列的卷积和公式见教材222页。X长沙理工大学

电气与信息工程学院第5章

离散信号与系统的时域分析信号与系统5.3

离散系统的基本概念定义：激励、响应均为离散时间信号的系统，称为离散系统。离散系统的输入输出关系可y(k)f

(k)离散系统表示为

y(k)

=

T[

f

(k)]图5.9

离散系统的输入输出模型f

(k)

®

y(k)简写为符号“T”和“→”表示系统对输入信号的变换作用。1.

离散时间系统的状态和状态变量离散时间系统在k0时刻的状态是指满足如下条件的数目最少的一组数据{x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}。

这组数据连同k

～k上1

02

0n

00的输入

f(k)就可以惟一地确定

k

时刻的输出

y(k)，而不需具体知道

k

0以前的输入情况。n

称为离散系统的阶数。X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.3

离散系统的基本概念信号与系统在实际工作过程中，系统的状态{x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}随1

02

0n

0k0不同而变化。把描述系统状态变化的变量称作状态变量，它是一组序列信号，记为{x

(k),x

(k),…,x

(k)}。12n2.

离散时间系统的响应设

k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称

k

以前的输入为历史输入信号，称

k

及

k

以后的输入为当前000输入信号或简称输入信号。u仅由

k0时刻的初始状态或历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为yx(k)；u仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为yf(k)。u将y

(k)

、

y

(k)之和

称作系统的完全响应，记为y(k)。xfX长沙理工大学

电气与信息工程学院5.3

离散系统的基本概念信号与系统3.

离散时间系统的分类线性系统时变系统时不变系统因果系统非线性系统非因果系统若

f

(k

)

®

y

(k

),

f

(k

)®

y

(k

)线性系统：1122则

af

(k)+bf

(k)

®

ay

(k)+by

(k)1212时不变系统：

若

f

(k)

®

y(k)则

f

(k

-

m

)

®

y(k

-

m

)00因果系统：若k

<

0时，f

(k)

=

0；那么k

<

0时，y(k)

=

0X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.3

离散系统的基本概念信号与系统例如，有三个离散时间系统的输入输出关系如下，判断其线性性和时变性：系统

1

y(k)=kf(k)系统

2

y(k)=|f(k)|线性时变系统；非线性时不变系统；系统

3

y(k)=2f(k)+3f(k-1)

线性时不变系统。4.

离散系统的输入输出数学模型一个n阶线性时不变离散时间系统，若其输入为f(k)，全响应为y(k)，那么，描述该系统输入输出关系的数学模型是

n阶线性常系数差分方程：y(k)

+

a

y(k

-

1)

+L+

a

y(k

-

n)n-

10=

b

f

(k)

+

b

f

(k

-

1)

+L+

b

f

(k

-

m)mm-

10式中，a

(i=0,

1,…,n-1)，b

(j=0,

1,…,

m)均为常数。ijX长沙理工大学

电气与信息工程学院第5章

离散信号与系统的时域分析信号与系统5.4

离散时间系统的响应线性常系数差分方程的解法1.迭代法2.时域经典法：齐次解+特解3.零输入响应

+

零状态响应(利用卷积求系统的零状态响应)时域法4.z变换法®

反变换®

y(k)变换域法5.4.1

离散系统的零输入响应

yx(k)输入信号

f(k)为零，就可得到求解零输入响应

yx(k)

的差分方程[即

f(k)=0时，

y(k)=yx(k)]，其一般形式为y

(k)

+

a

y

(k

-

1)

+L+

a

y

(k

-

n)

=

0xn-

1

x0

x时域求解法从略。X长沙理工大学

电气与信息工程学院5.4

离散时间系统的响应信号与系统5.4.2

离散系统的零状态响应

yf

(k)系统在初始观察时刻k0时的状态或者历史输入为零时，仅由k≥k0时加入的输入所引起的响应，称为零状态响应。其满足的差分方程为y

(