全称量词与全称命题

§3全称量词和存在量词复习回顾什么是充分条件?什么是必要条件?什么是充要条件?在给定的真命题“若p则q”中，如果pq,则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果pq且qp,则p是q的充要条件．填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”。1）sinA>sinB是A>B的___________条件。2）在锐角ΔABC中，sinA>sinB是A>B的

________条件。既不充分又不必要充要条件全称量词与全称命题分析理解在数学中,常常见到下列形式的命题:(1)所有正方形都是矩形;(2)每一个有理数都能写成分数形式;(3)如果直线垂直于平面内的任意一条直线,那么直线垂直于平面;(4)任何实数乘0都等于0;(5)一切三角形的内角和都等于180度.在上式的命题条件中,我们发现都有“所有”，“每一个”“任何一个”“任意一个”“一切”等这样的描述．定义全称量词：像上面的描述，在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题举例：全称命题符号记法：命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。解：（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题。例1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。归纳：——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）强调在某些全称命题中,有时全称量词可以省略.如:末位数字是偶数的整数能被2整除;正方形是矩形;球面是曲面.练习：2

判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）1课本P13总结:什么是全称量词?什么是全称命题?如何来判断一全称命题的真假性?存在量词与特称命题分析理解在还有一些数学命题中,反映的是对个体或整体一部分的判断.如:(1)有些三角形是直角三角形;(2)如果两个数的和为正数,那么这两个数中至少有一个是正数;(3)在素数中,有一个是偶数;(4)存在实数,使得.定义存在量词:在以上命题中,“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．特称命题：这样含有存在量词的命题叫作特称命题．例如,命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数;有的向量方向不定;存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;有一些实数不能取对数.例题讲解例１，判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题：（１）奇数是整数；（２）偶数能被２整除；（３）至少有一个素数不是奇数．解：（１）“奇数是整数”是指“所有的奇数都是整数”，所以它是全称命题．（２）“偶数能被２整除”是指“每一个偶数都能被２整除”，所以它是全称命题．（３）“至少有一个素数不是奇数”是特称命题．１，下列命题为特称命题的是（）A偶函数的图象关于y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C不相交的两条直线是平行直线D存在实数大于等于3练习Ｄ２，下列特称命题中真命题的个数是（）①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A0B1C2D3Ｄ３，判断下列特称命题的真假有一个实数,使存在两个相交平面垂直于同一条直线;有些整数只有两个正因数.小结什么是存在量词，特称命题．全称命题和特称命题有什么区别？全称命题与特称命题的否定引入判断下列命题是全称命题还是特称命题,并说明命题的真假:(1)所有的奇数都是素数;(2)数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数;(3)5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0.均是全称命题,且都为假命题.分析理解从另一个角度来看以上问题,可知(1)只需指出“有一个奇数不是素数”就可以说明“所有奇数都是素数”这个全称命题是错误的．(2)只需指出“数列{1,2,3,4,5}中有一项不是偶数”就可以说明“数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数”这个全称命题是错误的．(3)只需指出“５个数{-2,-1,0,1,2}中有一个数不大于0”就可以说明“5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0”这个全称命题是错误的．抽象概括由上述例可知：要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．强调全称命题的否定是特称命题问题判断命题是全称还是特称命题，并指出真假．命题(1)(2)均是特称命题．且是假命题．分析理解上述两命题的判断可由另一个角度来考查:(1)中只需指出中的每一个数都不能被3整除,就可以说明原命题是错误的.(2)也需只指出“方程的每一个根都不是负的”就可说明原命题是错误的．抽象概括由上述例可知：要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．强调特称命题的否定是全称命题．例题讲解例２，写出下列全称命题和特称命题的否定:(1)三个给定产品都是次品;(2)方程有一个根是偶数.分析(1)“三个给定产品都是次品”这是一个全称命题,要否定它,只需说明“在这三个给定产品中，有一个产品不是次品”即可．(2)“方程有一个根是偶数”这是一个特称命题，要否定它，只需说明“方程的每一个根都不是偶数”即可．解:(1)命题“三个给定产品都是次品”的否定是：三个给定产品中至少有一个是正品；(2)命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程的每一个根都不是偶数．同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题全称命题特称命题①所有的x∈M，p(x)成立②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成立④任选一个x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x0∈M，使p(x)成立②至少有一个x0∈M，使

p(x)成立③对有些x0∈M，使p(x)