2022-2023学年上海九年级数学上学期课时同步练第22章：相似性（单元测试）（解析版）

第22章：相似性（单元测试）

一、单选题

1.如图，已知AB〃CD〃EF,那么下列结论正确的是（)

ADCE-CDADrCEDF

B.C.----------D.-----------

BEADDF-BCEFAFCBDA

【答案】D

【解析】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例：根据上述分析，••判断即可.

r\pA/）

【解答】根据平行线分线段成比例定理，

故选D.

【点评】考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.

2.如图IJ/I2//I3,直线AC与DF交于点0,且与L，12,%分别交于点A,B,C,D,E,F,则下列

比例式不正确的是（)

ABDErADAO

A.----=-----B.c绰组D.—=—

BCEFBO-EO•OCOFCFAC

【答案】D

【解析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上

内容判断即可.

【解答】解：A.l,//12//13,

:・AR黑=D股F，故本选项正确;

BCEr

B.1J4//13,

:.A黑R=D岩F，故本选项正确;

BOEO

CL//"1，

:•黑=笑，故本选项正确;

OCOr

D.l,//12//13,

:.A第D=A黑O，故本选项错误;

CrAC

故选:D.

【点评】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.

3.已知两个相似三角形的面积比为4:9,周长和是40cm,则这两个三角形的周长分别是（）

A.16cm和24cmB.14cm和26cm

C.18cm和22cmD.20cm利20cm

【答案】A

【解析】先设两个三角形的周长分别是X、y,根据题意可得关于x、y的方程组，解即可.

【解答】设两个三角形的周长分别是x、y,

那么有x+y=40①,

x1=1,②，

y

解关于①②的方程得

x=16,y=24,

故选：A.

【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

4.如图，△ADES^ABC,若AD:DB=3:4,则DE:BC等于（）

B.4:3C.3:7D.4:7

【答案】C

【解析】根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可.

【解答】解：AD:DB=3A

：.AD:AB=3:7f

：.DE:BC=3:lf

故选:C.

【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.

5.如图，已知AABC中，尸是边AC上的一点，连接8P,以下条件不能判定△ABPs/SACB的是（）

c

ABACAC_BC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.

AB~AB~~AP

【答案】D

【解析】已知了△ABP和△ACB中有一个公共角，那么可再找出一组对应角相等或夹公共角的两边对应成

比例，即可得出△ABPs/\ACB的结论.

【解答】解：由图得：N4=NA,

ABAC

:.当ZABP=ZC^ZAPB=ZABC或一=—时，△ABP^/^ACB.

APAB

故选:D

【点评】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

6.如图，ZkABC中，点。在线段BC上，且△A8CS/\OBA,则下列结论不正确的是（）

A.AB2=BC・BDB.AB2=AC^BD

C.AC*BD=AB^ADD.AB^AC=AD*BC

【答案】B

【解析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角.

【解答】V

.AB_BC_AC

’•茄一花一茄

:.AXBOBD,AC*BD=AB^ADfW=4O・BC,

故选B.

7.如图，在.ABC中，DE//BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E,若EC=1,AC=3,则DE:BC的

值为（）

2]_2

A.B.C.D.

3243

【答案】A

【解析】由DE〃BC,可得△ADEs^ABC,然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE：BC的值.

【解答】YDE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.DE_AE

••而一就‘

VEC=1,AC=3,

，AE=AC-EC=2,

.AE_2

••.

AC3

・DE_2

**BC-3'

故选A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

8.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影胡由B向A走去，当走到。点时，她

的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得5C=4米，C4=2米，则树的高度为（）

A.6米B.4.5米C.4米D.3米

【答案】B

【解析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答.

【解答】如图：VBC=4,AC=2,

AAB=2+4=6,

VCD^BE,

/.△ACD^AABE,

AC：AB=CD：BE,

A2：6=1.5：BE,

/.BE=4.5m,

・,・树的高度为4.5m,

故选B.

ACB

【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的

相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想.

9.在三条线段b,c中，”的一半等于6的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么这三条线段的和

与b的比等于（）

A.1:6B.6:1C.1:3D.3:1

【答案】D

【解析】依题意可得：=?=设W=9=：=k，继而可根据比例的性质得出答案.

246246

【解答】由题意得：^=7=7-

246

ahc

设一=—=—=k,则有a=2k,b=4k,c=6k,

246

.„,a+b+c2k+4k+6k_

所er以^—；一=——77——=3：1-

b4k

故选D.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.

10.若△ABCsaAB'C,则相似比k等于（）.

A.AB：AB

B.ZA：NA'

C.SAABC：SAABC

D.△ABC周长：△ABC，周长

【答案】D

【解析】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即

2

可求解.VAABC-AA-BV,...相似比k=AB：AB=aABC周长：△ABC周长，/：=SaABC：SAA.B.C..

故选D.

考点：相似三角形的性质.

若DE〃BC,AD=3,BD=6,AE=2,则AC的长为()

C.6D.8

【答案】C

ADAp

【解析】已知DE〃BC,根据平行线分线段成比例定理可得最=会，代入数值即可求AC的长.

ABAC

【解答】：DE〃BC,

.ADAE

'-AC

VAD=3,BD=6,AE=2,

32

7+6~~AC

/.AC=6.

故选C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，截得的线段对应成比例.

12.如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE=2：5,途接DE交AB于F,则4ADF

C.3：2D.25：4

AD

【解析】由题意可证△ADFs^BEF可得△ADF与ABEF的面积之比=(—)2,由BE：CE=2：5可得

BE

BE：BC=BE：AD=2：3,即可求△ADF与△BEF的面积之比.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形,

；.AD〃BC,AD=BC,

VBE：CE=2：5,

ABE：BC=2：3GPBE：AD=2：3,

VAD/7BC,

.,.△ADFS/XBEF,

5=（吗2=2

SgEFBE4

故选A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，利用相似三角形面积比等于相似比的

平方求解是本题关键.

13.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6,DB=7,则BC的长是()

A.屈B.773C.y/134D.7130

【答案】D

【解析】

连接CA、CD,根据翻折的性质可得弧CD所时的圆周角是NCBD,再根据AC弧所得的圆周角也是NCBA,

然后求出AC=CD,过点C作CELAB于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=gAD,根据直

径所对的圆周角是宜角可得NACB=90。，然后求出△ACE和^CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求

出CE2,再求出BE,然后利用勾股定理列式计算即可求出BC.

根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是/CBD,

•弧AC所对的圆周角是NCBA,ZCBA-ZCBD,

...AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），

过点C作CE_LAB于E,

贝I]AE=ED=yAD=1x6=3,

，BE=BD+DE=7+3=10,

：AB是直径，

ZACB=90°,

VCE±AB,

ZACB=ZAEC=90°,

ZA+ZACE=ZACE+ZBCE=90°,

:.ZA=ZBCE,

.,.△ACE^ACBE,

.AECE

♦♦___一__，

CEBE

即CE2=AE«BE=3x10=30,

在RSBCE中，BC=>JBE2+CE2=>/102+30=V130，

故选D.

【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅

助线并求出AC=CD是解题的关键.

14.若3x=2y,则x：y的值为（）

A.2：3B.3：2C.3：5D.2：5

【答案】A

【解析】根据比例的基本性质，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两

项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积逆推即可得到答案.

【解答】；3x=2y,：y=2：3,故答案选A.

【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.

15.如图，AO是直角三角形ABC斜边上的中线，AE_LA。交C8延长线于E,则图中一定相似的三角形是

A.△AEDACBB.^AEB与AACDC.ARAE与△ACED.AAEC与ADAC

【答案】C

【解析】易知△ACC为等腰三角形，根据等腰三角形底角相等的性质可得/C=NZMC,易证

ZDAC,即可证明/C=N84E,即可证明△AEB与△ACO全等.

【解答】•••在直角三角形中，斜边上的中线为斜边长的一半，

：.AD=BD=CD,.*.△AOC为等腰三角形，

ZBAE+/BAO=90。，ZDAC+NBAQ=90。，

NBAE=ZDAC,

：.ZC=ZBAE,

,:NE=NE，

：.^BAE^/\ACE,所以答案选C.

【点评】本题主要考查相似三角形的证明，同时考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证/C=/8AE

是解题的关键.

16.如图，在菱形ABCQ中，点E为边A。的中点，且NABC=60。，AB=6,BE交AC于点、F,则AF=()

C.2.5D.3

【答案】B

【解析】根据四边形ABC。是菱形，证出△AEFsaBCF,然后利用其对应边成比例即可求得AF与CF的

比，又易知必ABC为等腰三角形，AC=AB=6,即可求出A尸的长度.

【解答】•••四边形48C。是菱形，.•.4O〃BC,AD=BC,

根据定理“两直线平行，内错角相等“可知NAEF=/CBF,

又VZBFC=ZEFA,ABFCs/\EFA,

：.AF:CF=AE:CB=1:2,

又,.•△ABC中AB=8C,NA8C=60。,

.♦.△ABC为等边三角形，

：.AF+FC=BC=AB=6f

.♦.AF=；AC=gx6=2,所以答案选B.

【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，菱形的性质和比例的应用；熟练掌握菱形的性质,

证明三角形相似并口.用相似比求出线段长度是解决问题的关键.

17.若ad=bc,则下列各式中不正确的是（）

【答案】B

【解析】由〃"=乩，根据比例变形，即可求得答案，注意排除法的应用.

【解答】'：ad=hc,4项正确；r=£'B项错误；-=C项正确；自=；,。项正确.所以

cdbacabd

答案选B.

【点评】此题考查了比例的性质，需要注意比例的变形.

18.王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等.已

知梯子最上面一级踏板的长度AiBi=0.5m,最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m.则A3B3踏板的长度为（）

B.0.65mC.0.7mD.0.75m

【答案】A

【解析】根据梯形中位线定理和相似三角形的性质解答.

因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，

所以A$B4为梯形A1A7B7B1的中位线，

根据梯形中位线定理，

A4B4=g(A1B1+A7B7)=1(0.5+0.8)=0.65m.

作AIC〃BIB4,

贝I]DB3=CB」=AiBi=O.5m,

A4C=0.65m-0.50m=0.15m,

于是

A&_AyD

*=天，

2_AQ

3-0J5J

解得A3D=O10m.

A3B3=O.10m+0.50m=0.60m.

故答案为A.

【点评】本题考查的知识点是梯形中位线定理和相似三角形性质的应用.解题关键是找出相似的三角形.

19.己知：如图△43c中，AF:FC=1:2,且那么等于（）

【答案】B

FMAF1

【解析】首先过点F作FM〃BC,交AE于M,然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得钎=亍=

与粤=空=1，则可求得BE：EC的值.

BEBD

【解答】过点F作FM〃BC,交AE于M,

VAF：FC=1：2,

AAF：AC=1：3,

.FM_AF_1

•・正一就一5

・・・EC=3FM,

VBD=DF,

.FMDF

..---=---=],

BEBD

；.BE=FM,

ABE：EC=1：3,

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

20.如图，AD//BE//CF,直线4、4与这三条平行线分别交于点A、B、C和点。、E、F,若"=2,

AC=6,DE=1.5,则。F的长为（）

【答案】C

【解析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案.

【解答】VAD//BE//CF,

.ABDE

（■---=---,

ACDF

,•*AB=2,AC=6,DE=1.5,

.21.5

6DF

，DF=4.5,

故选C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键.

21.如图，在AABC中，点D是AB边上的一点，若/ACD=/B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为3,则

△BCD的面积为（）

A

D

A.12B.9C.6D.3

【答案】B

【解析】由/ACD=/B、/CAD=NBAC可得出△ACDs/^ABC,根据相似三角形的性质结合S/kACD

=3,可求出SAABC的值，将其代入SABCD=SAABC-SAACD中即可求出结论.

【解答】解:VZACD=ZB,NCAD=NBAC,

AAACD^AABC,

*5-Be=（如二=4

,.,SAACD=3,

•,-SAABC=4«SAACD=12,

•'•SABCD=SAABC-SAACD=9.

故选B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出SAABC的值是解题的关键.

22.如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重

合），CN1DM,与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列四个结论：@ACNB^ADMC；®OM=ON；

©△OMN^AOAD；@AN2+CM2=MN2,其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】据正方形的性质，依次判定△CNB丝Z\DMC,AOCM^AOBN,根据全等三角形的性质以及勾股

定理进行计算即可得出结论.

【解答】解：；正方形ABCD中，CD=BC,NBCD=90。，

.,.ZBCN+ZDCN=90°,

又；CN_LDM,

.,.ZCDM+ZDCN=90°,

，NBCN=NCDM,

又：NCBN=/DCM=90°,

/.△CNB^ADMC（ASA）,故①正确；

:△CNB彩△DMC,可得CM=BN,

又：NOCM=/OBN=45°,OC=OB,

.,.△OCM^AOBN(SAS),

AOM-ON故②正确，

VAOCM^AOBN,

AZCOM=ZBON,

/.ZMON=ZCOB=90°,

.'.△MON是等腰直角三角形，

VAAOD也是等腰直角三角形，

.,.△OMN^AOAD,故③正确，

：AB=BC,CM=BN,

；.BM=AN,

又；RSBMN中,BM2+BN2=MN2,

AAN2+CM2=MN2,

故④正确；

,本题正确的结论有：①②③④，

故选D.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，考查了学生对综

合知识的运用能力.

23.如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：及，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF,

把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90。，得到矩形ABFE,连结E，B,交AF于点M,连结AC,交EF于点

N,连结AM,MN,若矩形ABCD面积为8,则△AMN的面积为()

A.4及B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】先根据已知条件判定△EABs^ABC,得出NA,BE=NACB,进而判定AC〃BE,连接BN,则

△AMN的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到

△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论.

【解答】如图：

由折叠可得，BE=yBC=AF,而AB：BC=I：6，

lnr「

AAF=2_V2>

AB~~2

由旋转可得，AF=AE,,AB=AB,

・NE_y/2

-TJ•.AB5/2

乂・---=---，

BC2

.A!E_AB

・・^F-正'

又・.'NE'A'B=NABC=90。，

AAEWB^AABC,

/.ZA'BE^ZACB,

，AC〃BE,

连接BN,则△AMN的面积=△ABN的面积，

由题可得，N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，

•••△AMN的面积为aABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，

AAAMN的面积=,x8=2,

4

故选C.

【点评】本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的

关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线.解题时注意：平行线之间的距离处处相等.

24.下列说法不正确的是（）

A.含30角的直角三角形与含60角的直角三角形是相似的B.所有的矩形是相似的

C.所有边数相等的正多边形是相似的D.所有的等边三角形都是相似的

【答案】B

【解析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.

【解答】A.含30。角的直角三角形可知另一个锐角为60。，与含60。角的直角三角形是相似的，故不符合题

息；

B.若一个矩形的长与宽的比为2：1,另一个矩形的长与宽的比为3：1,则这两个矩形就不相似，故B选

项符合题意；

c.所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；

D.所有的等边三角形都是相似的，正确，故不符合题意，

故选B.

【点评】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.

二、填空题

25.如图所示，D,E分别在△ABC的边A8、AC上，QE与BC不平行，当满足条件时，有

△ABCSAAED.

【答案】或N4E£)=NB或一=—

ACAB

【解析】由于ZDAE^ZCAB,则/ADE=NC或可根据有两组角对应相等的两

4DAF

个三角形相似判定△ABCsaAEO；当喂=二三时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个二

ACAB

角形相似判定△ABC^>/\AED.

【解答】:OE与8c不平行，AZD^ZB,而ND4E=NCA8,.•.当NAOE=/C或NAEO=N8时，

△ABC^/XAED.

AnAp

把=/xABCsXAED.

ACAB

ADAF

故答案为^ADE=乙C或/AEZ)=ZB或=.

ACAB

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹

角对应相等的两个三角形相似.

26.己知AABCSADEF,ZA=4,/C=ZF且AB:DE=1:2,则EF:BC=.

【答案】2:1

【解析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比.

【解答】解：:△ABCs△£)£：/,ZA=Z£>,ZC=ZF,

.ABACBC

"DE~DF~EE'

'：AB:DE=i:2,

：.EF:BC=2:\,

故答案为：2:1.

【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.

27.假期，爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500000

的地图上测得所居住的城市距A地32cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为km.

【答案】160

【解析】设小明所居住的城市与A地的实际距离为xh",根据比例尺的定义列出方程，解方程求得x的值

即可.

【解答】设小明所居住的城市与A地的实际距离为xkm,

132

根据题意可列比例式为

500000-xx10’

解得x=160.

二小明所居住的城市与A地的实际距离为160km.

故答案为160.

【点评】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键.

28.已知：AABCSAA'B'C',若A8=2,A'8'=4,则AABC与"’8'C’的相似比为,它们的

面积比为.

【答案】1:21：4

【解析】本题可根据相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解.

【解答】•.,△ABC^AA'B，C，,

.'.△ABC与△A'B'C'的相似比为AB：AB，=1：2；

它们的面积比为AB2：AB2=1：4.

【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应

中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

29.若AABCS^DEF,且对应高线的比为2:3,则它们的面积比为.

【答案】]4

【解析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可得解.

【解答】VAABC^ADEF,对应高线的比为2：3,

.,•它们的相似比为2：3,

・••它们的面积比为（：2）2=]4.

故答案为?4.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相

似比的平方的性质.

30.若4ABC的三条边长的比为3：5：6,与其相似的另一个△ABC的最小边长为12cm,那么△ABC

的最大边长是.

【答案】24cm

【解析】设4的最大边长是xcm,根据相似三角形的对应边的比等于相似比及^ABC的三条边长的

比即可列方程求解.

【解答】设△的最大边长是xcm,由题意得

36

=—»

12x

解得x=24,

则^ABC，的最大边长是24cm,

故答案为：24cm.

【点评】本题是相似三角形的性质的基础应用题，难度一般，主要考查学生对相似三角形中大边对大边、

小边对小边性质的掌握和运用能力.

31.如图，两条直线被第三条直线所截，DE=百，EF=#，AB=1,贝ijAC=

【答案】>/2+1.

【解析】由h〃b〃b,可得匹=丝=里=也，可得空=*=,由此即可解决问题.

EFBCV62AC2+V2

【解答】解：：h〃12〃13,

.DEAB也及

.ABV2

；.AC=^£=A/2+1.

故答案为忘+1.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

32.已知：如图，在AASC中，^ACB=90,CD1AB,垂足是。，BC=#，BD=1.则A£>=

【解析】根据勾股定理可求出CD的长，由NA+NACD=90。，NBCD+NACD=90。可证明NA二/BCD,即

可证明△BCD^AACD,根据相似三角形的性质求出AD即可.

【解答】BC=>/6,BD=1.

•・CD=(6-1=\[s,

VZA+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°,

AZA=ZBCD,

VZBDC=ZCDA=90°,

AABCD^AACD,

AAD：CD=CD：BD,

=5.

BD

故答案为5.

【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比

例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

33.如图，AB||EF||DC,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,AB=8,贝ijEF=

【答案】7

【解析】延长AD、BC交于G,根据平行线分线段成比例可得GD：GA=5：8,进一步得到DC：EF=5：7,

依此即可求解.

【解答】延长AD、BC交于G.

：AB〃EF〃DC,DC=5,AB=8,

，GD：GA=5：8,

VDE=2AE,

AGD：GE=5：7,

ADC：EF=5：7,

解得EF=7.

故答案为7.

【点评】考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的

直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

34.函数y=x?—2x-2的图象如图所示，观察图象，使）亚/成立的x的取值范围是

【答案】x<-l^x>3

【解析】观察图象，根据直线y=l上方的函数图象所对应的自变量的取值即可解答.

【解答】解：观察图象可得，直线y=l上方的函数图象所对应的自变量的取值为烂-1或xN3.

故答案为：xW-1或xN3.

【点评】本题考查了二次函数图象与不等式之间的关系，判断出yR的自变量的取值是直线y=l上方的函

数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键.

35.已知P是x轴的正半轴上的点，AAZJC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图,

则位似中心户点的坐标是

【解析】根据位似图形的概念，连接AG,与CE的交点即是点P.根据相似三角形的性质求得0P的长,

即可得点P的坐标..

.,.△ACD与△GOE的位似比是2：1,

.\AD：0G=2：1,

・・・△ADC是等腰直角三角形，

AAD±x轴，

・・・AD〃OG,

AAOPG^ADPA

・・・PD：OP=2：1,

VOD=2,

，OP=2,

3

2

...位似中心P点的坐标是（§,0）.

故答案为（；2，0）.

【点评】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键.

36.如图，己知平行四边形A3CD中，过点8的直线与AC相交于点E、与AO相交于点尸、与C。的延长

线相交于点G,若BE=5,EF=2,则FG=.

【答案】10.5

【解析】根据平行四边形可得AD〃BC、AB〃CD,由此可得△AEBs/iEGC,△AEF-ABEC,利用其

对应边成比例可求出EG的长，再用EG减去EF即可求得FG的长.

【解答】VAD/7BC,

.,.△AEF^ABEC,

.AEEF

"~EC~~BE'

又：AB〃CD,

.,.△ABE^AEGC,

.AEBE

•(------=-------,

ECEG

.EFBE

"~BE~~EG7

将BE=5,EF=2,代入求得EG=12.5,

:.FG=EG-EF=12.5-2=10.5.

故答案为10.5.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到

转=会是解决问题的关键.

BEEG

37.如图，五边形A，£与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为若五边形ABCDE的，面积为

20cm2,那么五边形48。〃£的面积为cm2.

【解析】

试题解析：；五边形AB'CDE与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为《，

.••五边形ABCDE的面积与五边形ABCDE的面积比为：1：4,

五边形ABCDE的面积为20cm2,

...五边形AB'CDE的面积为：5.

考点：位似变换.

38.如图，矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,延长AE与BC延长线交于点F,则

【解析】作EHLAB于H.根据EC〃AB,可得一=—,设AD=BC=a,则AB=CD=2a,想办法求出

FBAB

EC即可解决问题.

【解答】解：作EHJ_AB于H,

•••四边形ABCD是矩形,

，ND=NDAH=NEHA=90°,

，四边形AHED是矩形，

.♦.AD=BC=EH,DE=AH,

：AB=2BC,设AD=BC=a,则AB=CD=2a,

在RsAEH中，AE=AB=2a,EH=AD=a,

,AH=yjAE2-EH2=百a,

，EC=BH=2a-Ga,

：EC〃AB,

.,.△FEC^AFAB,

.FCEC_la-yfia_2->/3

,■市一通一―2a2~,

故答案为：纪叵

2

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利

用参数解决问题，属于中考常考题型.

39.如图，〃个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点,M2,M3,…分别为边q层，

B县,B'B、，…,瓦耳“的中点，△旦G必的面积为Z\B2aM2的面积为邑，…，的面积为

S“，则s“=.（用含〃的式子表示）

1

【答案】4（2n-l）

【解析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Mi,M2,M3,…Mn分别为边B山2,B2B3,

B3B4,…,BnBn+i的中点,即可求得△BlClMn的面积,又由BnCn〃BlCl,即可得△BnCnMnSaBlClMn,

然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案.

【解答】：〃个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Ml,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,

B3B4,…,BnBn+l的中点，

S,=—xB,C,xB.M.=—xlx—=—,

'2''1'224

1133

SXBCXBM

^C,M2=~11\2:/又以万二屋

5邢泗,=3xB]GxBM=gxlxg=；,

1177

S/CM=5、g£'3附4=/xlx/=T

C_।AA/_1i2/1—1_2/7—1

SAB1cM,=]X4GXB[M,I=—xlx---=--—

•:BnCn〃BC,

**.ABnCnMnSdBlClMn,

riY

・s7JgM，—2

・・'"M,.J通GM「（丽_2^1，

<2>

**〃4（2〃-l）.

故答案为4（2n-l[

【点评】考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.

40.点尸是AABC的边AB上一点，过P点的直线/与A"C的边界的另一个交点为。，则使AAPD与AABC

相似的直线/可能有（把正确的结论的代号都填上）.

①1条；②2条；③3条；④4条.

【答案】④

【解析】根据题意画出图形，过点P作PD〃BC,PF〃AC,作/APE=/C,ZBPG=ZC；可得这样的直线

一共有4条.

【解答】如图所示，

GF

①过点P作PD〃BC,则△APDs^ABC：

②作NAPE=/C,则AAPEsZ\ACB；

③过点P作PF〃AC,则4PBF^AABC；

④在NBPG=NC,则^PBGs/XCBA.

故答案为④.

【点评】此题考查了相似三角形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

41.如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2,点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1,连接FD与

【解析】过点F作FE〃BD,交AC「点E,求出箓=喘，得出FE=1BC,根据己知推出CD=^，根据

平行线分线段成比例定理推出筮=普，代入化简即可.

【解答】解：过点F作FE〃BD,交AC于点E,

BCAB

VAF：BF=1：2,

.AF1

••=—,

AB3

.FE1

••-=—,

BC3

即FE=-BC,

3

VBC：CD=2：1,

ACD=^BC,

VFE/7BD,

.FNFE飞入2

・•丽一而一［口「一3

2

即FN：ND=2：3.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定

的代表性，但是一定比较容易出错的题目.

42.如图，AAEB和AFEC是否相似？为什么？

【答案】AAEB和ACEF相似

【解析】相似，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，即可证明.

【解答】△AE8和ACEF相似.理由如下：

•；EF：4E=24：32=3：4,EC：BE=2\：28=3：4,：.EF：AE=EC：BE.

又•：NCEF=NAEB（对顶角相等），...△AE8s/\FEC（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记各种判定方法是解题的关键，题目比较简单，是中考常见题

型.

43.如图，若AADESAABC,OE和A3相交于点£>,和AC相交于点E,DE=2,BC=5,S^c=20,

求SJDE.

【答案】y.

【解析】先求出AAOEAABC的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.

【解答】解：

.e.c一42

••°^ABC•0^,ADE-l万g），

25

**•20:SQADE=，

解得

【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

44.己知，在△ABC中，三条边的长分别为2,3,4,△ABC的两边长分别为1,1.5,要使△，

求^ABC中的第三边长.

【答案】2.

【解析】此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可.

试题解析：已知在AABC中，•:条边的长分别为2,3,4,△AB'C'的两边长分别为1,1.5,可以看出，△A'B'C

的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使&ABCsaAB'C'需两三角形各边对应成比例，则第三边

长就为4的一半即2.

RDAT71RFAF

45.AABC中，。为BC上的一点，==2,E是4。上一点，芸=；，求当，黑的值.

DCED4EFFC

B

iBE

【答案】AF:FC=-,—=14:1.

6EF

【解析】作DG//AC交BF于G,如图，已知把BD：DC=2：1和AE：ED=1：4,通过作平行线建立FC、

AF与DG的关系，GF与BF的关系，EF与EG的关系，即可求得答案.

【解答】作DG//AC交BF于G,如图，

.BD2

*BC~3*

.・DG//CF,

.BGDGBD2

*-CF-BC-3?

31

\FC=-DG,GF=-BF,

23

:DG//AF,

.EF_AF_AE_1

*GE-DG-ED-4

\AF=-DG,EF=-EG,

44

iRE

•・AF:FC=—,—=14:1.

6EF

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线、把它们的比转移到同•条

线段上.

46.如图，MN//PQ//BC,且?=等=。。.

(1)梯形MNQP与梯形尸8CQ是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；

⑵若=30"/.求梯形MNQP的面积•

【答案】（1）梯形MNQP与梯形PBCQ不位似；理由见解析；（2）段.

【解析】（1）分别求出梯形MNQP与梯形PBCQ的对应边的比，根据位似变换的概念进行判断即可;

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出SAAPQ和SAAMN,计算得到答案.

【解答】（1）梯形MNQP与梯形PBCQ不位似，

•4QQC,

32

AN:NQ:QC=3：2:1,

•；MN//PQ//BC,

.NQMP_2MN_AN_3

*'QC-PB--AQ-5'

梯形MNQP与梯形PBCQ不位似;

（2）MN//BC,

S’AMN:S’ABC=（二76=7，又S.ABC=30,

AL4

S—15

°AMN-

A~2

・.•MN//PQ,

AN2_915

♦・AAMN♦、AAPQ-（AQ）~~25,乂S&AMNT

125

・・SjPQ

-6~

，梯形MNQP的面积=SAAPQ-SAAMN=y.

【点评】本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形的面积比等于相

似比的平方是解题的关键.

47.正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.在图中正方形

网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE

（1）以DE为一边做格点4DEF与△ABC相似；

（2）直接写出^DEF的面积.

【答案】（1）作图见解析；（2）7.5.

【解析】（1）由于每个小正方形边长为1,先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=6,BC=〃，

AC=不，DE=5,根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF,使DF=5,EF=；

（2）根据三角形的面枳公式求解即可.

【解答】（1）如图所示，AD