四川省泸州市五年2018-2022年中考数学真题分类汇编

05解答题-四川省泸州市五年(2018-2022)中考数学真题分类汇编

九.二次函数综合题(共5小题)

21.(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系x%中，已知抛物线尸af+x+c经过/(-2,0),B(0,4)

两点，直线x=3与x轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)经过点。的直线分别与线段四，直线x=3交于点〃E,且△龙。与△族的面积相等，求直线班1

的解析式；

(3)一是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段况'和直线x=3上是否分别存在点F,。使B,F,G,

一为顶点的四边形是以跖为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(2021•泸州)如图，在平面直角坐标系x%中，抛物线y=-工了+3户4与两坐标轴分别相交于A,B,

42

C三点.

(1)求证：/心方=90°；

(2)点〃是第一象限内该抛物线上的动点，过点〃作x轴的垂线交力于点交x轴于点反

①求如郎的最大值；

②点G是〃'的中点，若以点C,D,£为顶点的三角形与相似，求点。的坐标.

23.(2020•泸州)如图，已知抛物线经过4(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式;

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(2)经过点6的直线交y轴于点〃，交线段力。于点色若BD=5DE.

①求直线切的解析式；

②已知点0在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在/右

侧，点"是直线独上的动点，若是以点0为直角顶点的等腰直角三角形，求点。的坐标.

24.(2019•泸州)如图，在平面直角坐标系X。中，己知二次函数尸a/+bx+c的图象经过点火0),

C(0,-6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线尸-工广卬将的面积分成相等的两部分，求卬的值；

3

(3)点8是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点〃是直线x=2上位于x轴下方的动点，点£■是第四

象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x=2右侧.若以点£为直角顶点的△质与△月%相似，求

点后的坐标.

25.(2018•泸州)如图，已知二次函数y=af-(2a-3)户3的图象经过点4(4,0),与y轴交于点8.在

4

x轴上有一动点CQm,0)(0</z<4),过点C作x轴的垂线交直线四于点E,交该二次函数图象于点D.

(1)求a的值和直线48的解析式；

(2)过点〃作》于点凡设XACE,△麻的面积分别为S，£,若$=4£,求m的值；

(3)点〃是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段上的动点，当四边形班’"是平行四

边形，且第周长取最大值时，求点C的坐标.

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一十.全等三角形的判定与性质（共4小题）

26.（2021•泸州）如图，点〃在四上，点£在然上，AB^AC,NB=2C,求证：BD^CE.

（2020♦泸州）如图，AC平分NBAD,AB=AD.求证：BC=DC.

D

28.（2019•泸州）如图，AB//CD,4〃和比1相交于点0,OA^OD.求证：OB=OC.

------------7B

29.（2018•泸州）如图，EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证：ZA=ZC.

一十一.平行四边形的性质（共1小题）

30.（2022•泸州）如图，E,尸分别是。4池的边被切上的点，已知求证：DE=BF.

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DFC

一十二.切线的性质(共2小题)

31.(2021•泸州)如图，△/笈是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交胡的延长线于点凡儿•是00

的直径，连接比

(1)求证：NACF=NB；

(2)若AB=BC,ADLBC于点D,FC=A,FA=2,求的值.

32.(2020•泸州)如图，班?是00的直径，点，在。。上，力〃的延长线与过点6的切线交于点C,£为线

段上的点，过点£1的弦于点"

(1)求证：4c=/AGD；

(2)已知比'=6,CD=4,且宓=24F,求切的长.

一十三.圆的综合题(共1小题)

33.(2022•泸州)如图，点C在以的为直径的。。上，CD平分NACB交00千点、D,交四于点笈过点〃

作。。的切线交CO的延长线于点F.

(1)求证：FD//AB-,

(2)若4C=2&,BC=心求切的长.

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一十四.相似三角形的判定与性质（共2小题）

34.（2019•泸州）如图，四为00的直径，点?在团的延长线上，点。在。。上，且P/=PB・PA.

（1）求证：户C是③。的切线；

（2）已知a0=20,⑶=10,点〃是标的中点，DELAC,垂足为笈DE交AB于点、F,求价'的长.

35.（2018•泸州）如图，已知4?,“是。。的直径，过点。作。。的切线交4?的延长线于点只。。的弦

"交四于点月且加'=根

（1）求证：cd=OF,OP；

（2）连接"交位于点G,过点G作加肥于点〃，若％=4&,P44,求励的长.

36.（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C,〃两点间的距离.在河的岸边与切平行的直线跖

上取两点4B,测得/力仁45°,NABC=37：/颂=60°,量得A?长为70米.求C,〃两点间

的距离（参考数据：sin37"弋旦，cos37°七乌，tan37°

554

一十六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

37.（2018•泸州）如图，甲建筑物乙建筑物」%的水平距离加为90），且乙建筑物的高度是甲建筑物

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高度的6倍，从£（4,E,6在同一水平线上）点测得〃点的仰角为30°,测得。点的仰角为60°,求

这两座建筑物顶端G〃间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）.

一十七.解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）

38.（2022•泸州）如图，海中有两小岛C,D,某渔船在海中的/处测得小岛C位于东北方向，小岛〃位于

南偏东30°方向，且4〃相距10前〃已该渔船自西向东航行一段时间后到达点6,此时测得小岛C

位于西北方向且与点8相距队历谶储e.求8,〃间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.

39.（2021•泸州）如图，46是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信

号，此时测得。点位于观测点力的北偏东45°方向上，同时位于观测点8的北偏西60。方向上，且测

得C点与观测点A的距离为25&海里.

（1）求观测点与。点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点6的正南方向且与观测点一相距30海里的〃点处，在接到海轮的求救信号

后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间.

40.（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C,D,某渔船在海中的1处测得小岛，位于东北方向上，且相距

2。近nmile,该渔船自西向东航行一段时间到达点6处，此时测得小岛。恰好在点6的正北方向上，且

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相距50nmile,又测得点6与小岛〃相距20疾nmile.

（1）求sin/43»的值；

（2）求小岛G〃之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.

一十八.条形统计图（共1小题）

41.（2021•泸州）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品.为了解该农副

产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：

16141317151416171414

15141515141612131316

（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；

（2）上述样本数据的众数是,中位数是；

（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额.

42.（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价

值观.某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了加名学生在某个休息日做家务的劳动时间作

为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图.根据题中已有信息，解答下列问题：

劳动时间t（单位：小时）频数

0,5«112

W.5a

1.5«228

2Wt<2.516

2.5WW34

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（1）ni=,a=；

（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2WtW3范围的学生有多少人？

（3）劳动时间在2.5W/W3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流

劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率.

A：0.5<t<l

B：l<t<1.5

C：1.5<t<2

D：2<t<2.5

E：2.5<r<3

43.（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了〃辆该型号汽车耗

油以所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图.根据题中已有信

息，解答下列问题:

频

16

14

12412玄<12.5

10

8B:12.5<x<13

6

4C:13<x<13.5

2

0D:13.5<JC<14

£:14<x<14.5

（1）求〃的值，并补全频数分布直方图；

（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车.试估计耗油以所行驶的路程低于13痴的该型号汽车的辆数；

（3）从被抽取的耗油以所行驶路程在12Wx<12.5,14<x<14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽

取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率.

44.（2019•泸州）某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：。C）,整理后分别绘制成如

图所示的两幅统计图.

根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是℃,中位数是℃；

（2）求扇形统计图中扇形4的圆心角的度数；

（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的

概率.

45.（2018•泸州）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个

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方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取"名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据(参与

问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统

计图.由图中提供的信息，解答下列问题：

(1)求〃的值：

(2)若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；

(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，

求恰好抽到2名男生的概率.

夕用活动视实践

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参考答案与试题解析

九.二次函数综合题（共5小题）

21.（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系x%中，已知抛物线尸af+x+c经过/（-2,0）,B（0,4）

两点，直线x=3与x轴交于点C

(1)求a,c的值;

（2）经过点。的直线分别与线段四，直线x=3交于点〃E,且%与△仇方的面积相等，求直线朦

的解析式;

（3）一是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段况'和直线x=3上是否分别存在点凡G,使3,F,G,

一为顶点的四边形是以跖为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）把/（-2,0）,5（0,4）两点代入抛物线尸af+x+c中得：（4a-2+c=0

Ic=4

'J

解得：《标方；

c=4

（2）由（2）知：抛物线解析式为：尸-工产+矛+4,

2

设直线4?的解析式为：y=kx+b,

则｛2k+b=0,解得"k=2,

Ib=4Ib=4

的解析式为：尸2户4,

设直线膜的解析式为：尸吟

.•.2田4=加¥,

当x=3时，y=3/»,

:.E（3,3卬）,

・・,△劭。与△〃酸的面积相等，CELOC,

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••工・3・(-344

222-m

9/z/2-18zzz-16=0,

・・・(3研2)(3/72-8)

：.m=--,nk=—（舍）,

{33

・,・直线"的解析式为：y=-lx；

3

（3）存在,

B,F,G,户为顶点的四边形是以跖为一边的矩形有两种情况:

设尸（看,-L?+£+4),

2

:.BP=FG,/PBF=/BFG=9V,

"CFM/BFO=/BFS/0BF=/CFM/CGF=40B抖/PBH=9N,

:./PBH=/0FB=/CGR

♦：/PHB=ZFCG=90°,

：./\PHB^/\FCG(44S),

:.PH=CF,

：.CF=PH=t,OF=3-t,

♦：4PBH=/OFB,

嘲噜'即二

方t+t+4-4

解得：力=0（舍），fe=b

AF（2,0）；

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②如图2,过点G作侬:Ly轴于M过点户作灯吐x轴于M

*：40FB=4FPM,

/.tanZOFB=tanZFPM,

.OB=FM叩4_3

.旗市’/寺2+t+J

解得：t尸1两,s上②I（舍），

44

...尸（返正卫，o）；

4

综上，点少的坐标为（2,0）或（义亟二11,0）.

4

22.（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系x%中，抛物线y=-2¥+3户4与两坐标轴分别相交于A,B,

42

C三点.

（1）求证：N4==90°；

（2）点〃是第一象限内该抛物线上的动点，过点〃作x轴的垂线交比1于点£,交x轴于点厂.

①求峪跖的最大值；

②点G是〃1的中点，若以点4D,£为顶点的三角形与△/0C相似，求点〃的坐标.

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【解答】解：(1)尸-户4中，令*=0得尸4,令尸。得为=-2,X2—8,

42

：.A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

OA—2,OB=8,OC=4,AB—10,

.*./d=Of+"=20,BE=0百+0-=80,

.•.〃+弘=100,

而力)=1()2=100,

：.Ad^Bd=AB,

.•.N〃》=90°；

(2)①设直线筑解析式为尸4x+b,将8(8,0),C(0,4)代入可得：/0=8k+b

I4=b

b=4

直线比"解析式为尸--x+4,

2

设第一象限〃(卬，贝ij£(m,-A®+4),

422

:.DE=(_J^m2+3研4)-(--/zA4)---m+2m,BF—8-m,

4224

:.DE+BF=(-工福+2加+(8-M

4

=-」橘+研8

4

2

=-A(w-2)+9,

4

当加=2时，侬跖的最大值是9；

②由(1)知/力龙=90°,

班/烟=90°,

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:勿'_Lx轴于凡

物=90°,

ZCAB=NFEB=ZDEC,

(-)当力与£对应时，

以点C,D,£为顶点的三角形与△/1%相似，只需空=幽或怨=旭，

DECECEDE

而G为〃•中点，4(-2,0),C(0,4),

：.G(-1,2),04=2,AG=娓,

由①知：DE=--rn+2/z?,EQm,-—z^-4),

42

CE=J(o-m)2+[4-(蒋m+4)]"=~~~ir，

当怨=幽时，——=唐一，解得勿=4或加=0(此时〃与C重合，舍去)

DECE12gV5

T+2m-m

：.D(4,6),

当空=幽时，■—,解得"=3或皿=。(舍去)，

CEDEV512工0

—mqm+2m

：.D(3,空)，

4

•.•在Rt△加T中，C是胆中点，

OG=AG,

：.ZGA0=Z60A,即/05=/初，

：.ZDEC=ZGOA,

(二)当。与£对应时，

以点GD,C为顶点的三角形与相似，只需空=5_或毁=或，

DECECEDE

,/OG=AG,

0A=0G与处=超答案相同，同理怨=5＞与或丝=也答案相同,

DECEDECECEDECEDE

综上所述，以点GD,6为顶点的三角形与△40G相似，则〃的坐标为(4,6)或(3,至).

4

23.(2020•泸州)如图，已知抛物线y=a/+6x+c经过4(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)经过点8的直线交y轴于点。，交线段4C于点反若做=5必

①求直线即的解析式；

②已知点。在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点尸是该抛物线上位于第一象限的动点，且在/右

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侧，点户是直线劭上的动点，若是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标.

【解答】解：(1),抛物线尸a『+8x+c经过/(-2,0),B(4,0),

.•.设抛物线的解析式为尸a(92)(x-4),

将点C坐标(0,4)代入抛物线的解析式为尸a(广2)(x-4)中，得-8a=4,

抛物线的解析式为尸-—(广2)(x-4)=-A/+A+4；

22

(2)①如图1,

设直线461的解析式为y=kx+l),

将点力(-2,0),C(0,4),代入尸中，wJ-2k+b

lb7=4

.fk=2

"w=4,

直线47的解析式为y=2肝4,

过点r作用JLx轴于F,

：.OD//EF,

:.△B0MXBFE,

•・•—OB——BD,

BFBE

,：B(4,0),

♦：BD=5DE,

.BD_BD_5DE_5

"BF=BD+DE5DE+BE百

：.BF^—^OB=旦X4=il,

BD55

：.OF=BF-如=建-4=A,

55

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将x=-性■代入直线/Gy=2^+4中，得y=2X(-9)+4=工2,

555

：.E(-A,丝)，

55

设直线劭的解析式为y=mx+n,

4m+n=0

412，

「1

.m=-y

n=2

，直线物的解析式为y=-工x+2；

2

②I、当点发在直线/右侧时，

•••抛物线与x轴的交点坐标为4(-2,0)和6(4,0),

.♦.抛物线的对称轴为直线x=l,

.•.点。(1,1),

如图2,设点P〈X,-工V+x+4)(1＜才＜4),

2

过点尸作PG11于G,过点力作RH11于"

'.PG—x-1,GQ=-—x+x+4-1—--/+A+3,

22

■:PG11,

：./PGQ=9G°,

：./GPa/PQG=9Q°,

•.•△司次是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，

:.PgRQ,NPQR=9Q°,

：.ZPQG+^RQH=^°,

：.£GPQ=AHQR,

△夕偿△。必/CAAS),

RH=GQ=-—Z+JT+3,QH=PG=x-1,

2

：.R(-A?+A+4,2-x)

2

由①知，直线物的解析式为产=-工产2,

2

-A(-A/+A+4)+2=2-x,

22

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/.x=2或x=-4(舍),

当x=2时，y=-1/+户4=-工X4+2+4=4,

22

：.P(2,4),

n、当点"在直线/左侧时，记作〃，

设点户(x,-JL/+^+4)(1<A-<4),

2

过点户作，于6*,过点〃作/〃，/于

".P(J=x-1,GQ=-—x+x+4-1=-A/+A-+3,

22

同I的方法得，MPQG丝△。射H(A4S),

:.RH=GQ=-—x+x+3，QH=PG=x-L

2

:.R{1.x-x-2,x),

2

由①知，直线班的解析式为y=-LX+2,

2

-A(A/-A--2)+2=x,

22

；.x=-或x--\-A/13(舍)，

当x--时，尸-—x+x+4—2yfl3-4,

2

:.p（-1+值，2A/13-4）,

即满足条件的点尸的坐标为（2,4）或（-2^/13-4）.

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图1

24.(2019•泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数尸晟的图象经过点力(-2,0),

C(0,-6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线y=广加将△/①的面积分成相等的两部分，求加的值;

3

(3)点8是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点〃是直线x=2上位于x轴下方的动点，点少是第四

象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x=2右侧.若以点夕为直角顶点的与△HOC相似，求

点、少的坐标.

故抛物线的表达式为：y=lx-2x-G,

2

同理可得直线4c的表达式为：y=-3x-6；

y=-3x-6

(2)联立＜1,解得：x=-—(m+6)»

y=—8

直线尸-工户面与y轴的交点为(0,而,

3

宓胸=/X2X6=6，

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由题意得:,义,(m+6)(mf6)=3,

No

解得：m=-2或-10（舍去-10）,

m--2；

(3)；⑸=2,0C=6,.•.里=3

0A§

①当△比林c△力%时，贝|J巫旦_=3,

DE0A

如图1,过点小作夕U直线x=2,垂足为凡过点8作比J_跖，垂足为C,

贝ij险速_=贝i]6G=3外

EFED

设点6(22,k),则比=-4,FE=h-2,

则-k=3(A-2),即心=6-3力,

；点£在二次函数上，故：工方-2力-6=6-3力,

2

解得：力=4或-6（舍去-6）,

则点£（4,-6）；

②当△应以△/%时，型乂

ED0C3

过点£作位1直线x=2,垂足为M,过点6作8VL阳垂足为M

则Rt/\BEMRt/\EDM,贝i]BN_BE1,则NB=LEM,

EMDE33

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设点E(p,q),则BN=-q,EM=p-2,

则-g=2(p-2),解得：p=5W1也或’7(舍去)；

333

故点£坐标为(4,-6)或(且乜适，1V145)

39

25.(2018•泸州)如图，已知二次函数y=a¥-(2a-3)广3的图象经过点力(4,0),与y轴交于点民在

4

x轴上有一动点C(m,0)(0<z»<4),过点C作x轴的垂线交直线四于点E,交该二次函数图象于点〃

(1)求a的值和直线46的解析式；

(2)过点〃作〃EL/8于点凡设△力出△戚的面积分别为S,丽若S=48,求勿的值；

(3)点〃是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段15上的动点，当四边形〃£0/是平行四

【解答】解：(1)把点/(4,0)代入，得

0=a・4?-(2a-旦)X4+3

4

解得

a=-3

4

2

...函数解析式为：y=-Ax-^1x+3

设直线解析式为尸

把4(4,0),B(0,3)代入

f0=4k+b

lb=3

，色.

解得《4

b=3

直线4?解析式为：y=-^x+3

(2)由已知,

第20页共40页

点〃坐标为(…铝6-m+3)

点E坐标为（初，-二m+3）

4

：.AC=4-m

DE=(-&m2+^-m+3->-<m+3)=-4m2+3ir

44

'：EC//

•ACAO.4

ECOB3

-(4-m)

4

♦：NDFA=NDCA=90°,ZFBD=/CEA

：・4DEFS/\AEC

・・・S=4£

:.AE=2DE

(4-m)=2(V"+3m)

解得用=5，汲=4(舍去)

6

故加值为反

6

(3)如图，过点G做GM工DC于点帐设点G的横坐标为

4

同理用=-12+3。

・・•四边形分"是平行四边形

,-32Q=_32Q

,,—ih+3n丁n+3n

44

第21页共40页

整理得：(n-而[3(ntm)-3]=°

4

**m=^n

，研〃=4,即〃=4-r

:.MG=n-m=4-2m

由已知

•・•MG=—4

EM3

',EG=~r(4-2m)

4

2+-_

周长L=2[--ym+3ir7(4-2m)]=~■|私241n+]o

442

Va=-3<0

2

2a2X告3

77=4-

33

点坐标为（旦，A）,此时点/坐标为（工，11）.

3434

一十.全等三角形的判定与性质（共4小题）

26.（2021•泸州）如图，点〃在18上，点后在〃■上，AB=AC,/8=/C,求证：BD=CE.

【解答】证明：在跖与△力切中

2A=NA

-AB=AC，

ZB=ZC

：./\ABE^/\ACD(AS4).

：.AD^AE.

：.AB-AD=AC-AE,

：.BD=CE.

27.(2020•泸州)如图，AC平分/BAD,AB^AD.求证：BC=DC.

第22页共40页

B

D

【解答】证明：・・3C平分/物

：.ZBAC=ZDACf

又♦:AB=AD,AC=AC,

△ABM△ADC（夕IS）,

:・BC=CD.

28.（2019•泸州）如图，AB//CD,49和欧相交于点0,OA=OD.求证:OB=OC.

【解答】证明：・・38〃放

:./A=/D,4B=4C,

<ZA=ZD

在△力仍和中，ZB=ZC，

0A=0D

・•・△加修△%C（44S）,

：.OB=OC.

29.（2018•泸州）如图，EF=BC,DF=AQDA=EB,求证：ZA=ZC.

【解答】证明：・・・加=龙,

:.DE=AB,

在△力笈和△颇中,

rAB=DE

<AC=DF，

BC=EF

・・・△力比丝△加/(SSS),

：・4C=4F.

一十一.平行四边形的性质(共1小题)

第23页共40页

30.(2022•泸州)如图，E,b分别是口被力的边眼切上的点，已知求证：DE=BF.

【解答】证明：•••四边形1时是平行四边形，

：.AA=AC,AD=CB,

在△?!以,和△物'中，

rAD=CB

-ZA=ZC>

AE=CF

:.MAD的XCBF(%S),

：.DE=BF.

一十二.切线的性质(共2小题)

31.(2021•泸州)如图，是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交胡的延长线于点尸，A51是。。

的直径，连接空

(1)求证：/ACF=NB；

(2)若AB=BC,438c于点〃，此=4,FA=2,求4介花的值.

图1

是。。的切线,

.".ZOCF=90°,

第24页共40页

：.ZOCA+ZACF=90°,

'：OE=OC,

：・4E=40CE,

・・3£'是。。的直径，

・・・ND=90°,

：.40CA+/0CE=9G,

:./ACF=/0CE=/E,

•:/B=/E,

：2ACF=4B；

(2)解：Y4ACF=4B,/F=4F,

:.XACFsMCBF、

.C^=AF=AC

•旗不BC，

,:AF=2,CF=4,

•・.—4=—2,

BF4

:.BF=8,

：.AB=BC=8-2=6,AC=3,

'：ADVBC,

；.NADB=/ACE=9Q°,

,:乙A匕E,

：.l\ABD^/\AEC,

AAB=AD；gpAF'AD=ABXAC=6X3=18.

AEAC

32.(2020•泸州)如图，48是。。的直径，点，在。。上，49的延长线与过点6的切线交于点C,£为线

段/〃上的点，过点£的弦用，四于点//.

(1)求证：NC=NAGD；

(2)已知及7=6,CD=\,且密=2/£,求夕7的长.

【解答】（1）证明：如图，连接加,

第25页共40页

・・・/8是。。的直径，

:・NADB=90°,

：・/DAB+/DBA=9G°,

・・•比是。。的切线，

ZABC=90°,

：.ZC+ZCAB=^O°,

：・4C=/ABD,

■:/AGD=/ABD,

：.ZAGD=ZC；

(2)解：•:/BDC=/ABC=9G°,ZC=ZC,

:.XABCsABDC,

.BC_CD

••而随

-6=4

**AC-6，

：.AC=9f

22

J^VAC-BC=3遥，

'：CE=2AE,

."£=3,CE=6,

'：FHLAB,

J.FH//BC,

:.XAHESXABC,

•AHEHAE

*'AB=BC"AC"

.AH_EH_3

."〃=遥，£7/=2,

如图，连接/月BF,

是。。的直径，

AZ/1/=»=90°,

：.NAFmZBFH=/AF杀4FAH=9Q°,

：.AFAli=ABFH,

.FH=BH

"AH而’

第26页共40页

♦FH-275

"V5FH

：.FH=yp^,

G

一十三.圆的综合题（共1小题）

33.（2022•泸州）如图，点C在以四为直径的。。上，W平分交。。于点〃交力B于点、E,过点〃

作。。的切线交曲的延长线于点F.

（1）求证：FD//AB-,

（2）若AC=2疾,BC=4S，求外的长.

PD

【解答】（1）证明：连接OD.

•.•加是。。的切线，

：.ODLDF,

平分N&Z,

AAD=DB«

ODLAB,

：.AB//DF-.

（2）解：过点。作OLLAB于点、H.

•.•四是直径,

四=90°,

♦：BC=®AC=2娓,

•■•^VAC2+BC2=｛（2^^+（麻）2=5,

第27页共40页

,/心.=2•BC=A-AB-CH,

22

...CH=2亚义立-=2,

5

.•.放=[BC2VH2=1，

：.OH=OB--1=3,

22

'：DF//AB,

：.4C0H=2F,

IZCHg/0DF=9G,

：./\CHO^/\ODF,

.CH=OH

*'0DDF,

一十四.相似三角形的判定与性质（共2小题）

34.（2019•泸州）如图，四为。0的直径，点户在四的延长线上，点。在。。上，豆PC=PB,PA.

（1）求证：是。。的切线；

（2）已知产。=20,阳=10,点〃是金的中点，DEVAC,垂足为a然交四于点凡求缺的长.

【解答】（1）证明：连接0G如图1所示:

,:Pd=PB，PA,即招=里

PCPB

,:匕—乙P,

第28页共40页

:•△PBCsXPCA,

：.APCB=APAC,

・・・47为。。的直径，

.,.ZJ6S=90°,

・•・//+/160=90°,

•：OC=OB,

：.4OBC=/OCB,

:./PCB"OCB=9S,

即OCLPC,

・・・/T是。。的切线；

(2)解：连接如，如图2所示：

V/?C=20,必=10,PE=PB・PA,

PC2902

:.必=匚匕-=0-=40,

PB10

:.AB=PA-PB=33

■:1\PBCS[\PCA,

・AC_PA_9

BCPC

设BC=x,则AC=2x,

在中，x+(2x)2=30)

解得：x=6娓，即比‘=6粕，

••,点〃是窟的中点，形为。。的直径,

/.ZAOD=W°,

'：DELAC,

...4跖=90°,

'：ZACB=90°,

：.DE//BC,

：.ADFO=AABC,

:.(XDOFSMACB,

.OF=BC^l

*'ODACT

：.OF=^OD=^~,即"'=生，

222

'：EF//BC,

.EF=AF=1

,•而ABT

第29页共40页

：.EF=—BC=^^-

35.(2018•泸州)如图，已知历，切是。。的直径，过点。作。。的切线交力6的延长线于点?，。。的弦

DE交AB于点、F,且DF=EF.

(1)求证：Cd=OF*OP-,

若AC=4&,PB=4,求677的长.

：.OCVPC,

：.APCO=^°,

•.36是直径，EF=FD,

：.ABVED,

：.AOFD=Z.OCP=^°,

'：AFOD=ACOP,

:.△0FMX0CP,

喘喂,—G

:.OE=OF*OP.

(2)解：如图作G匕8于M连接内C、EO.设，OC=OB=r.

第30页共40页

(4A/2)2+r=(T+4)2,

/.r=2,

。是直径，

：./CEF=4EFM=NCMF=gy,

...四边形£核是矩形，

:.EF=CM=±M，

3

22=

在Rt△愉中，^^VEO-EF-,

3

:.EC=20F=生,

3

'：EC//0B,

.EC=CG=_2

''OBGOT

GH//CM,

.GHOG2

"CM=OC=E，

5

一十五.解直角三角形的应用（共1小题）

36.（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C,〃两点间的距离.在河的岸边与切平行的直线用

上取两点4B,测得/的厂=45°,4ABC=M：/龙/=60°,量得48长为70米.求C,〃两点间

的距离（参考数据:sin37°一」,cos37°空,tan37°

554

【解答】解：过点G〃分别作C山打；DN1EF,垂足为，伏N,

第31页共40页

在Rt2\4监中，物a45°,

:.AQMC,

在林△〃依中，二•乙四0=37°,tan/45t=d,

BM

；.Bk―@—=^-CM,

tan373

"：AB=70=AM^BM=Qfi■冬CM,

3

.".GI/=30=aV,

在Rt△做「V中，VZ£®V=60°,

：.&V=―吗_=尊=10«（米），