人教A版高中数学第四章《指数函数与对数函数》易错题训练 (38)(含答案解析)

第四章《指数函数与对数函数》易错题专题训练(38)

题号一二三总分

得分

一、单选题(本大题共11小题，共55.0分)

1.已知实数xeR,则“ln(x+l)<0"的必要而不充分条件是()

A.-1<%<0B.%<0C.%<—1D.%>0

2.已知集合”={%|8/—6x+l<0},/V={x|ln(3x-l)<0},则MnN=()

A.{x|i<x<|)B.[x|;<x<|]

c-D-{xli<x<D

3.若集合4={y|y=M-2},B-{x|log2x<1}，则ACB=()

A.(-00,2)B,[-2,4-00)c.[-2,2)D.(0,2)

4.下列结论正确的是()

A.若/(x)在区间[a,b]上连续不断，且/'(x)在(a,b)内没有零点，则/(a)•/(b)>0.

B.命题“三角形的内角和是180。”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.

C.“a=2”是“(a-l)(a-2)=0”的必要不充分条件.

D.给定两个命题p,q,若p是q的充分不必要条件，则「p是「q的必要不充分条件.

5.已知p:log2(x-1)<1,q:x2-2x-3<0,则p是4的()条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

6.已知集合M={%"一5%—6<0},N={“y=>一1},贝式)

A.M曝NB.N呈MC.M=ND.M呈©N)

7,已知命题p:Vx€R,3*>2汽命题q：若△ABC中，a=5,b=8,c=7,则无.后？=一20，则下

列命题正确的是()

A.pAqB.(->p)AqC.pV(-iQ)D.(~ip)V(rq)

8."a>b"是"k>gT«>log*"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.函数/'(久)=标-1+3(£1>0,力£1片1)的图象经过定点()

A.(1,0)B.(0,3)C.(1,3)D.(1,4)

10.关于x的方程%2+机工+1=0在[0,2]内有解，则实数m的取值范围()

A.(—oo,-2]B.[2,+oo)C(―8,—|]D.[|>+°°)

11.若集合4={x|y=lg(3x-/)},B=例丫=1+.，尢e4卜则4n(CRB)等于()

A.(0,2]B.(2,3)C.(3,5)D.(-2,-1)

二、单空题(本大题共7小题，共35.0分)

12.若函数八%)=1咤4(。+2')的图象过点(0，)，则实数a的值为.

13.若命题p"任意xe[0.2],a-l>靖成立"为真命题，则a的取值范围为.

14.函数/(工)=-31)的单调递增区间是.

15.函数1/二则!(12+:"-4)的单调递减区间是.

16.函数/•(%)=[/S0，的零点个数为

17.函数f(%)=kg式6-%-/)的单调增区间为.

3

18.有一两岸平行的河流，水速为1,小船的速度为近，为使所走的路程最短，小船应朝与水流方

向成度角的方向行驶.

三、解答题(本大题共12小题，共144.0分)

19.全集U=R,集合4={x|lg(x-3)W0},B={x|WwO}•求：

⑴QB；

⑵(CMCIB.

20,设a>0且aKl,函数y=a/-2x+3有最大值，求函数/'(x)=k)ga(3—2x)的单调区间.

21.已知loga(3a—l)恒为正，求实数a的取值范围.

1+,03

22.(l)i+Wlog23-log34+lgO.Ol-InVe+2^；

(2)已知1=2,求1的值.

1-tanal+sinacosa

23.已知集合4={x[(x+l)(x-2)W0},B={x[l<Q<16},C=(x\x2+(2a-5)x+a(a-

5)<0},U=R.(1)求4DB和(Cu4)UB；

(2)若ADC=4求实数a的取值范围.

24.设全集U=R,集合A={x|-1<x-m<5},B={x6<2x<4}.(1)当m=1时，求An(QjB).

(2)若AUB=A,求实数?n的取值范围.

25.己知全集U=R,集合4={幻5<xW6},B={x|3%-a<其中a为实数(1)当a=当时，求

力UB；

(2)若(CRB)n2力。，求a的取值范围

26.ln(-x24-6x4-17)>0,q:x2-4x+4-m2<0(m>0).

(1)若p为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

27.已知THGR,命题p；存在X。€[—1,1],使涔m<(J—1成立;命题q；”方程=

1表示焦点在y轴上的椭圆。”

(1)若P为真命题，求小的取值范围

(2)若p/\q为假pvq为总，求m的取值范围。

28.已知等比数列{即}的各项均为正数，其前n项和为又，若&2・。4=9,且£=10.

(1)求数列{即}的通项公式;

(2)若勾=1呜册+1，数列也｝的前n项和为加求满足今+於+5+•••+*>?的最小正整数的值.

,2l3lnJ

29.计算：

------12

1/3\3/I\-3

⑴/厂("1jn品)+(瓦)

30.已知集合4={%|-1<x<3},集合B={x|-2<x<2).

(/)求ADB,(Cfi?l)nB

(口)当尤6(CRZ)nB时，求函数/(%)=23r的值域.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

根据ln(%+1)<0"=0<X+1<1=—1<X<0,再集合充分条件必要条件的定义判断即可求

解.

解：“ln(x+1)<0"=0<x+1<1=-1<%<0,

:•，，x<0”是“ln(x+1)<0"的必要不充分条件，

故选B.

2.答案：C

解析：

本题考查集合的交集、一元二次不等式的解法、对数不等式的解法，体现了数学运算的核心素养.解

一元二次不等式化简集合M，解对数不等式化简集合N,然后由交集的定义可得答案.

解：由8x2—6x+l<0,得:<%<去

M={xJ；<x<；}.

由ln(3x-l)<0,得［<%<|,

・•・N={%<x<|}.

AMClJV={x||<x<.

故选C.

3.答案：D

解析：

本题考查了描述法、区间的定义，二次函数的值域，对数函数的定义域和单调性，交集的运算，考

查了计算能力，属于基础题.

可以求出集合4,B,然后进行交集的运算即可.

解：4={y|y2-2},B={x|0<x<2},

■■Ar\B=(0,2).

故选。.

4.答案：D

解析：

本题考查充分必要条件的判定以及命题真假的判定，注意四种命题之间的关系.

解：4若/(a)=0或/(b)=0,则结论不正确；

B.命题“三角形的内角和是180。”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是180。"，B错误；

C.“a=2”是“(a-l)(a-2)=0"的充分不必要条件，错误；

D若p是q的充分不必要条件，则由p可得q,由q不能得p，所以由「q可得「p,由「p不能得「q,

所以「p是rq的必要不充分条件，正确.

故选。.

5.答案：A

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的

关键，比较基础.

求出p,q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解:由10g2(X-1)<1,

得：0<x-l<2,B|J1<x<3,

即p：1<x<3,

由/—2x—3<0得—1<x<3,

即q：—1<x<3,

••.p是q的充分非必要条件，

故选4.

6.答案：B

解析：

本题考查集合间的关系，属基础题.

分别化简集合M,N,结合选项即可得到答案.

解：由题意M=[-1,6],N=(0,6],

所以N茎M,

故选B.

7.答案：B

解析：

本题主要考查了命题真假的判定与运用，涉及指数函数及其性质运用，余弦定理，向量数量积运算，

属于基础题.

判断命题P：匕€凡『>2’为假命题，命题q为真命题即可求解.

解：命题〃：匕€/7,3’>2，由指数函数图像及其性质可得，当x<0时，<23即命题p为假

命题；

命题q：若△4BC中，a=5,b=8,c=7,由余弦定理得cosC=。之+卢-。?=25+64-49=工,

2ab2x5x82

即戏=a-6cos(7r-C)=5x8x=-20,故命题q为真命题.

命题(rp)Aq为真命题，

故选B.

8.答案：B

解析：

本题考查对数函数的性质及充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

当02a>b或a>02b时，log7a>log7b无意义;由log7a>log7b能推出a>b,即可判断.

解：当02a>b或a>02b时，log7a>log7b无意，义,

••・充分性不成立；

又,：log7a>log7b等价于a>b>0,能得出a>b,

必要性成立.

a>b是"log7a>log7b"的必要不充分条件.

故选B.

9.答案：D

解析：

本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题.

令x-1=0,即x=1时，y=a°+3=4,故可得函数y=ax~l+3(a>0,且a丰1)的图象必经过

定点.

解：令X—1=0,即x=l时，y=a°+3=4,

二函数y-a"1+3(a>0.且a*1)的图象必经过点(1,4).

故选D

10.答案：A

解析：

本题考查方程的根与函数零点的关系，以及用导数的方法求函数的最值.当x=0时，显然不成立，当

“6(0,2]时，分离变量，利用极值研究零点即可.

解：当x=0时，显然不成立，

当％6(0,2]时，由于方程%2+TH%+1=0可转化为m=—嚏—%,xE(0,2],

当0V%V1时，y'>0,

当1<%<2时，y'<0.

所以当x=l时，函数y=取唯一的极大值，也是最大值.

则%nax=-2,所以y<—2.即m<—2.

故选A.

11.答案：A

解析：

本题主要考查了集合的运算，属于基础题.

分别化简集合4,B,即可求出结果.

解：由3x—%2>0,得一x(x-3)>0,即0<x<3,

故A={x|0<x<3},

则B=(2,5),

所以CRB=[y\y<2或y>5},

则AC(CRB)=(0,2].

故选：A.

12.答案：1

解析：

本题考查对数的运算，属于基础题.

代入点的坐标，即可得a.

解：函数/'(X)=log4(a+2x)的图象过点(0,3，

则/(0)=log4(a+1)=点即a+1=2,

Aa=1.

故答案为1.

13.答案：5+1,+8)

解析：

本题主要考查的是不等式恒成立问题，属于基础题.

可结合函数y=e，,xe[0,2]的最值求解.

解：因为对任意x€[0.2],y=ex<e2,

所以若命题P"任意“e[0.2],a-1>靖成立"为真命题，

则a—12e2,a2e?+1,

故答案为归2+1,+8).

14.答案:(-V3,-l)U(V3,+oo)

解析：

本小题主要考查复合函数的单调性，考查利用导数来求解函数单调区间的问题.注意到函数/(%)的解

析式中含有对数函数，所以首先的第一步就是求得函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的

单调性.在求导得到内部函数的单调性后，利用复合函数同增异减可求得函数的单调区间.

由于函数中含有对数，故先求出定义域，然后对y=/-3x进行求导，在定义域范围内得出其单调

区间，再根据复合函数单调性“同增异减”可求得最后的单调性.

解：因为/(”=尻(13一3工)，

由/-3x=x(x2-3)>0,解得xe(-V3,0)U(V3,+oo).

f'(%)=3x2—3=3(x+l)(x—1),

故当尸(x)>0,即x6(-8,-1)u(1,+8),函数/(x)为增函数,

由于y=Inx是定义域上的增函数,

故函数/(工)=皿，一：虹)的单调递增区间是(一祗—1)U(迎+8).

故答案为：(-V3,-1)U(V3,+00).

15.答案：(1,+8)

解析：

本题考查了复合函数的单调性，由/+3》-4>0求得函数的定义域，利用复合函数的单调性求出

函数y=log；(/+3/-4)的的单调递减区间.

解：由/+3%-4>0,解得x<-4或x>l,

故函数的定义域为(一8,-4)U(1,+oo),

在(一8,-1)上，函数t=/+3%一4是减函数，

由复合函数的单调性得"k>g;(『+：”葡是增函数，

在(1,+8)上，函数t=x2+3%-4是增函数，

由复合函数的单调性得ylog：(3+-3)是减函数.

故函数…1啊(>+必..4)的单调递减区间是(1,+8),

故答案为(1,+8).

16.答案：2

解析：

本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数/(X)=产4°

令/一3=0,令g(%)=x-2+lnx,x>0,由零点判定定理即可得出结果.

解：函数/(X)=『2°、祝

令/—3=0,解得x——V5或旧(舍去)，

令g(x)=x—2+lnx,x>0,

易知g(x)在(0,+8)为单调递增，

且g(l)=-1<0,5(2)=ln2>0,

•••g(x)在区间(1,2)有一个零点，

综上所述，函数/(%)=产工丫4°、0有2个零点，

故答案为2.

17.答案：(_Q)

解析：

本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是复合

函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解.先求函数的定义域，要求函数

y二一1一峭)的单调增区间，只要求解函数g(x)=6-％—％2在定义域上的单调递减区间即可.

解：由题意可得，6-x-x2>0

••・函数的定义域为一3cx<2

令g(x)=6—x—x2,

y=Eg招(工)

yk>gJ在长部(0,+8)上单调递减，

而g(x)=6-》一炉在(-3,一勺上单调递增，

在［-表2)上单调递减由复合函数的单调性可知，

函数"皿(6-r蹴)的单调增区间(一表2)

故答案为(心,2).

18.答案：135

解析：

本题考查平面向量的基本定理的应用，向量的三角形法则，是基础题.

画出示意图，为使小船所走路程最短，"次+"掰，应与岸垂直，然后解三角形，求出小船的行驶方向.

解：如下图，为使小船所走路程最短，D次+17朗应与岸垂直.

又I?次=|4B|=1,=|i4C|=Z.ADC=90°,

ACAD=45°

故答案为135

19.答案：解：(1)解不等式可得B={x|lWx<5},

所以QB={x\x<1,或xN5}.

(2)lg(x—3)<0=Igl=>0<x—3<1,

・•・A={x|3<%<4},

•••C(jA={x\x<3,或x>4},

A(C(/i4)CiB={x|l<%<3,或4<%<5}.

解析：本题考查集合的运算和不等式的解法，属于基础题.

(1)解不等式可得B,再由补集的定义可得答案；

(2)解对数不等式可得Z={x|3<x<4},再由集合的运算可得答案.

20.答案：解：设t=%2—2x+3=(%—l)2+2.

当％ER时，t有最小值，最小值为2.

・・・y=/—2%+3有最大值，

・•・0<QV1.

由f(x)=k)ga(3-2x),得3-2%>0,解得％<|,则其定义城为(—8,1).

设u(x)=3-2x,xe^-oo,0,易知a(x)在(一8,习上是减函数，

又0<a<1,

•••y=108/在(一8,|)上是增函数，

/(x)=loga(3-2x)的单调增区间为(-8,1),无单调减区间.

解析：本题考查对数型复合函数的单调性及最值问题，利用内外层函数同增异减是解题的关键.

由£=%2-2尤+3有最小值，结合y=a--2x+3有最大值，可得利用复合函数的单调性

即可得解.

21.答案:解：由题意知loga(3a-1)>0=logal.

当Q>1时，y=log。》在定义域上是增函数，

**•3a-1>1,

解得a>|,

・••a>1；

当0VQV1时，y=logaX在定义域上是减函数，

(3ci—1<1

’13a-1>O'

解得:<a<I，

.・一<a<2

33,

综上，实数a的取值范围是G，|)U(l,+8).

解析：本题主要考查对数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

由题意分类讨论a>1和0<a<1两种情况确定实数a的取值范围即可.

22.答案：解：⑴log—-logj4+IgO.Ol—ln\/e+21+l<,&3

=维里+IgW2—In*+2x2*啊3

1(/2lg：i6

o1,z-11

=2-Q2-----1-6=——；

22

(2)由112,得tanc\,

1—tHIKI2

2

IM1sina4-coera

所以；——:------=------------；—

1+sn八cosnsiira+cos-a+sinacosa

tan2a+1

taira+1+tanc

解析：本题考查了对数与对数运算和同角三角函数的基本关系，是基础题.

(1)由换底公式和对数运算法则计算即可；

(2)先得出,再将原式用匕me表示代入计算即可.

23.答案：解：⑴•・・A={x|(x+1)(%-2)<0}={x|-l<%<2},

B={x|l<(|)x<16]={x|-4<x<0},

AC\B=(x\—1<x<0}9

二(CM={x\x>2或x<-1),

(CiM)UB={x\x>2或x<0}.

(2)C={x\x2+(2a-5)x+a(a-5)<0}={x|-a<x<5—a},

若AnC=4,则4cc,

则

(-a<-1

15-a>2

解得1<a<3.

即实数a的取值范围为[1,3].

解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，也考查了一元

二次不等式及指数不等式的求解，属于基础题.

(1)先分别求出集合A,B,再根据集合的基本运算即可求AnB,(Cu4)UB；

(2)若=则4UC,则可得解之即可.

24.答案：解：A={x\—1<x—m<5},B={x\—1<x<2}；

(l)m=1时，A={x|0<%<6},且QB=[x\x<-1或x>2},

:.An={x\2<x<6}.

⑵•・•4U8=4・,・85,

・c高”解得黑工，

—3<m<0,

・,・实数m的取值范围为{%|-3WmW0}.

解析：本题主要考查了指数不等式的解法，集合的交集，并集，补集，属于中档题.

(1)当m=l时，求出集合4B,进而可得结果.

(2))由4UB=4得BUA,2^解不等式即可.

25.答案：解:(1)当。=当时，

B={工炉T<1}={碎广¥<:尸}={小-^<-2}=(-OC,H),

因为集合4={洲5<xW6},所以AU3(-x.6]；

(2)因为CR8=[x\3x-a>|}={x\3x-a>3-2}=口―2,+«>),

又因为(CRB)nA羊0,所以a-2W6,即aW8,

所以a的取值范围是(一8,8].

解析：本题考查指数型不等式的解法、集合的交、并、补混合运算和参数的取值范围，考查计算能

力，属基础题.

(1)当a=£时，解不等式化简集合B,再求并集即可；

(2)由CRB=3一2,+8),又(CRB)CM#0,则a-2W6即可求a的取值范围.

26.答案：解：⑴由皿――+6%+17)N0,^x2—6x—16<0,

解得一2

所以当p为真时，实数x的取值范围为[—2,8]；

(2)由——4%+4—m2<0(m>0),解得2—mSxS2+m(m>0),

：p是q成立的充分不必要条件，*[-2,8][2-m,2+m],

(m>0,

•••2—mW-2,(两等号不同时成立)，解得m26.

(2+m>8

所以实数m的取值范围是[6,+8).

解析：本题考查对数不等式的解法，一元二次不等式的解法，由p是q成立的充分不必要条件求参数，

属于中档题.

(1)根据对数不等式，去对数符号，化为一元二次不等式的解法即可得到答案；

(2)求出q为真命题时x的取值范围，由p是q成立的充分不必要条件，可列不等式组求解.

27.答案：(1)存在右€使得mwg)x°—l成立，

x-1

m4[(i)°-l]max=(|)-1=1,

命题p为真时，m<1.

(2)命题q为真，则2?n>7n2>o,

解得：0Vzn<2.

•・・pAq为假,pVq为真，

・・・p,q中一个是真命题，一个是假命题.

m<1

当P真q假时，则

m<0或m>2'

解得m<0,

当P假q真时，｛m>1

0<m<2>

解得1<m<2,

综上，m的取值范围为(—8,0]u(l,2).

解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，利用函数的单调性求最值，椭圆的

方程等知识点，属于中档题.

1

(1)当p为真命题时，m<-l]max=(i)--1=1,可得m的取值范围.

(2)若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p,q一真一假，进而得到答案.

28.答案：解：(1)由题意，可设正项等比数列｛即｝的公比为q,

则业项，吆工

v1-q01-q

包_=i+q4=10

・•・q4=9,q2=3,

•••q=V3.

3

又•・,a2•a4=&q-a^=a"—9,

:.9Q：=9,

即：al=1,

**,Q]=1.

•・.数列｛即｝的通项公式为即=1•(通尸T=3号.

(2)由(1),可知:

nn

bn=10g3«n+l=10g332=

Tn=b1+b2+--+bn

12n

=—।-----1_…—

222

1

=-X(1+2H------F九)

1...n(n+1)

-..-

22

_n(n+l)

4

1411

—=------------=4(--------------)

Tnn(n+1)n九+1/

1111