向量概念-高一年级下册数学苏教版（2019）必修第二册

高一下学期数学讲义1

9.1向量概念

预习-知识清单

既有________又有___________的量叫向量；例如：位移、力、速度、加速度等都是

向量向量.

向量的大小叫做________（或模）

用一条有向线段表示，有向线段的长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向

向量的表示

AB

A---------------------------»B

C

向量的模国\a\

零向量长度为0的向量，记作________,零向量的方向是__________的

长度等于_________的向量

单位向量

________是与N同向的单位向量，_______是与2反向的单位向量

方向相同或相反的非零向量为共线向量（6与任一向量共线）

平行/共线向量

a||b,a||c,b||c

>-----7。

长度相等且方向相同的向量为相等向量

相等向量

B*5AB=DC

两向量只有相等或不等，不能比较大小

长度_______且方向________的向量

相反向量

a的相反向量为_________；前的相反向量为瓦?；6的相反向量为6

向量的夹角

知识点1、向量的概念及表示

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向

量.

2.向量的表示

向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量

的方向.以A为起点、B为终点的向量记为荏，向量也可用石、^表示。

3.向量的模：向量厢的大小称为向量的长度（或称为模），记作|南1。

4.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作6；零向量的方向是任意的。

5.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量。

【练习题】

1.在下列说法中正确的有（）

①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；

②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；

③方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量；

④平面上的数轴都是向量.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列说法中，正确的是（）

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线.

A.①②B.②③C.②④D.①④

知识点2、向量间的关系

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如图，向量2、丸是一组平行向

量。

向量汇与向量石平行，记作江〃人

规定：零向量与任一向量平行。

【拓展】平行向量的情况

两个平行的非零向量在其方向与长度两个要素上可能出现以下四种情况：

（1）方向相同，长度不等；（2）方向相同，长度相等（相等向量）；

（3）方向相反，长度相等（相反向量）；（4）方向相反，长度不等。

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量4与方相等，记作之=心

3.共线向量:任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。

【拓展】向量相等具有传递性，即若2=3,b-c,则N.若切/B,b//c,未必有力浮。

但若。于6,则之〃3,b//c,可得处先。

4.向量的夹角：对于两个非零向量2痴，在平面内任取一点0,作市=2OB=b,ZAOB=0（0°

wewi8o°）叫作向量a与B的夹角.当e=o°时，a与3同向；当e=i8o°时，N与3反o相向；

当8=90°时，则称向量a与石垂直，记作说

5.相反向量

我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作-a,a与v互为相反向量.

规定：零向量的相反向量仍是零向量；

对任意一个向量优总有-(-涉=2。

【练习题】

1.判断下列结论是否正确，并说明理由.

(1)长度相等的两个向量一定是相等向量.

(2)相等向量的起点必定相同.

—>—>

(3)向量的长度与向量84的长度相等.

(4)物理学中的作用力和反作用力是一对共线向量.

(5)若a与b都是单位向量，贝b=b.

2.下列关于向量的命题，序号正确的是.

①零向量平行于任意向量；

②对于非零向量若〃//人则〃=±b;

③对于非零向量若。=±b,则〃//b;

④对于非零向量若a//b，则〃与人所在直线一定重合.

3.下列命题中，正确的是.(填序号)

①若H=则a=6;②若卜卜卜卜则〃〉Z?；

③若a=b,则a//b；④若小。，则a=0.

例题讲解

例题1.某人从4点出发向东走了5米到达6点，然后改变方向沿东北方向走了10匹米到达

。点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达〃点.

(1)作出向量A8，BC，C£>;

(2)求4。的模.

例题2.如图，设点。是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题.

—>―»—>

(1)分别写出与。4OB,OC相等的向量；

(2)写出与晶共线的向量.

H

课堂练习

1.给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.

其中不是向量的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.下列说法：正确说法的个数是（）

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

A.0B.1C.2D.3

3.下列说法正确的是（）

A.向量£与6共线，6与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C.向量°与6不共线，则£与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

4.下列命题正确的是（）

A.若AB=OC，则A、B、C、。四点构成平行四边形

B.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

C.若a、b都是单位向量,贝!|a=b

D.向量A8与BA是两平行向量

5.模为0的向量叫做零向量，记作：.

6.图中，小正方形的边长为1,则|48|=_,|CO|=_,|£T|=__.

7.如图，A，4,•••,4是。。上的八个等分点，则在以A，4,•••,

4以及点。这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个?

模等于半径0倍的向量有多少个?

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8.如图所示，△ABC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB,

BC的中点.

（1）写出与前共线的向量;

BDC

(2)写出与丽的模大小相等的向量;

(3)写出与前相等的向量.

9.如图，已知以。为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,

D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量，(1)0。

与0E的夹角是多少？

(2)与0。垂直的向量有哪些？

1.在下列命题中,哪些是正确的？

(1)若两个向后相等.则它们的起点和终点分别重合；

(2)模相等的两个平行向被是相同的向量：

(3)若a和b都是单位向量.则a=加

(4)两个相同的向量的模相等；

《5〉若。〃瓦则。与b的夹角是0°.

2.设点O是正三角形ABC的中心•则向量而,访.6^(

A.相同的向量a模相等的向量

G共线向量D.共起点的向量

3.写出图中所示各向量的长度(小正方形的边长为1).

4.如图•在直线/上•找出与荏平行的向量.

5.如图•四边形ABCD是正方形.找出与戏垂直的向僦.

习题9.1

1.巳知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，在以点OM.B.C.D这5

点中任意一点为起点•另一点为终点的所有向量中.写出：

（1）与衣相等的向量；

（2）与迈长度相等的向量；

（3）与示共线的向量.

2.长度相等的向量是相同的向殳吗？相向的向盘是共线向量吗？平行于同一

个非零向员的两个向量是共线向量吗？请举例说明.

3.如图，点（）为正方形ABCD的两条对角线的交点,四边形OAED,OCFB都

是正方形.在图曾势向量中：

（1）分别写名亨茄•防相等的向量；

（2）写出与亚共线的向居；

（3）写出与茄的模型等的向量,

（4）判断向量而与乃是否相等，

（5）写出与我垂直的向量.

4.如图•四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形.

试回答工亨问题：

（1）。硬色等的向量是_______»

（2）若|如§|=3,则I前|=.

5.下列命题中，正确的是.（填序号）

①若|a|一|b|.JWa=b,②若|。|>”|,则a>配

③若a=匕,则a〃加④若|a|=0.则a=0.