高考数学：突破练(含解析)(打包14套)

专题突破练(1)函数的综合问题

一、选择题

V+x—2xV。

1.函数f(x)=「'的零点个数为()

—1+1nx,x>0

A.3B.2C.7D.0

答案B

xWO,

解析解法一：由f(x)=0得

x+x—2=0»

x>0,

或

—1+lnx=0,

解得x=—2或x=e.

因此函数F(x)共有2个零点.

解法二：函数F(x)的图象如图所示，

由图象知函数代x)共有2个零点.故选B.

2.已知力(2,5),6(4,1),若点P(x,力在线段16上，则机的最大值为()

157

C-

一-

A.8B.4I).2

答案c

5—1夕

解析由题意，得线段48：y-l==r(x-4)=y=—2x+9(2Wx<4),所以==

2—4Lx

-当才=2时等号成立，即声的最大值为生故选C.

X乙X―乙XS

3.若变量x,y满足|x|一In1=0,则y关于x的函数图象大致是()

答案B

解析由|x|-ln-=0得y=—r={*画出图象可知选B.

ye[ex(KO)

4.(2018•贵阳模拟)已知函数/"(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，F(x)=lo&(2

+%)—1,则/'(—6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

答案C

解析因为/'(X)是R上的奇函数，所以/X—x)=—f(x).而在x20时，f(x)=log?(2

+x)—1,所以/'(—6)=-f(6)=—[logz(2+6)—1]=—(logz8—1)=—2.故选C.

5.(2018•唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0,+8)上单调递减,若/•(—2)=0,则满足

xf(x)>0的x的取值范围是()

A.(一8,-2)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+°=)

C.(—8,—2)U(2,+°°)D.(—2,0)U(0,2)

答案A

解析因为F(x)是偶函数且在[0,+8)上单调递减，所以-J)在(一8,0]上单调递

增，又/1(—2)=0,所以f(2)=0,即在区间(一8,—2)和(2,+8)上，/■(%)<0；在区间

[x>0,[X0,

(一2⑵上"(x)>0,所以xF(x)>0等价于W即得水一2或0〈水2.故

选A.

y

6.(2018•广东潮州模拟)设函数『5)=订一「则使得/V-2x)〉F(3x—6)成立的“

的取值范围是()

A.(一8,2)U(3,+8)B.(2,3)

C.(一8,2)D.(3,+8)

答案A

V1

解析一易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，

1十X1十X

单调增函数，故函数『(*)在R上为增函数，依题意得步-2发>3%—6,解得*<2或%>3.故选

A.

[x+2x,

7.(2018•佛山质检一)已知函数Ax)=L°

[x—2x,x<0,

则下列函数为奇函数的是()

A.f(sinx)B.f(cosx)

C.xf(sinx)D.xAcos%)

答案C

解析易知f(x)为偶函数，即满足Vx6R,f(—x)=f(x)恒成立.研究g(x)=xf(sinx),

g(—x)=—xf[sin(—x)]=—xf(—sinx)=—xF(sinx)=—g(x),故g(x)=xf(sinx)为奇

函数.故选C.

8.(2019•青岛质检)已知a>8>l,则下列结论正确的是()

A.a<1)'B.alnZ>>Z?lna

C.alna>binbD.a“<6"

答案C

解析取a=e,b—y[e,则B项明显错误；对于D项，若a"<6成立，则lna"<ln6",

则Mna<aln6,由B项错误得D项错误；因为a>b>\,所以Ina>ln6>0,由同向不

等式相乘得alna>61nb,进一步得Ina'>lnt>>,所以a>t>',所以A项错误，C项正确.故

选C.

I(%+4)：，+2018(x+4)|=-4,

9.若x,yeR,且满足<贝ljx+y=()

(y-l)3+2018(7-1)1=4,

、J

A.-4B.-3C.3D.4

答案B

解析函数/'(t)=1+20184(fWR)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)+f(。

=0,则必有u+7=0,本题中，u=x+4,1,，x+4+y—l=0=x+y=-3.故选B.

x

10.（2018•长沙统考）函数f（/）=2'+E的图象大致为（）

答案A

V1

解析f（x）=2'+F=2'—~—7+b其定义域为（—8,-1）U（-1,+8）.令u（x）

X十1X十1

=2*,*x）=--由于u（x）和Mx）都在（一8,—1）和（_1,+8）上单调递增，所以

x+1

f（x）在（-8,-1）上和（一1,+8）上单调递增，排除c,D；又当才趋向负无穷时，2,趋

近于0,一击趋近于0,所以『（X）接近于1,所以选A.

11.（2018•大庆质检一）已知/U）是定义在R上的奇函数，当x£［0,+8）时，

f（x）<0.若a=/ln4，Zj=/ln-■―c=f（e''）,则a,b,c的大小关系为（）

2ee

A.欣a<cB.从c<aC.c<a<bD.a<8b

答案c

解析依题意，有/Xx）在［0,+8）上单调递减，而且/Xx）是定义在R上的奇函数，则

由其图象知f（x）在（-8,0］上单调递减，从而奇函数/Xx）在R上单调递减.则由In--A

ee

=ln、一1<lrA=-1,0>ln<>ln—1,e°'>0,知In--^<ln!〈e"从而结合f（x）

eeezeee2

的单调性，有/In--^>/ln'）,即c<a<b.故选C.

eez

12.（2018•长沙统考）设平行于x轴的直线1分别与函数y=2、和产=2小的图象相交

于点A,B,若函数y=2”的图象上存在点乙使得为等边三角形，则这样的直线7（）

A.不存在B.有且只有一条

C.至少有两条D.有无数条

答案B

\BIDIy=^

解析如图，设直线/的方程为尸a(a>0),则点力(log2&a),庾log2d—1,a).

因为直线加平行于x轴，所以|4?|=1.取"中点〃，连接微因为△力a'是等边三

1、41、/5

角形，所以公L族且X〃|=5，|CD\=-^-,所以点61og2a—亍d一早因为点C在尸

2、的图象上，所以a—坐=21og2a一异

百万，所以直线1只有一条.故选B.

二、填空题

13.若关于x的不等式*一4『-2一且>0在区间［1,4］内有解，则实数a的取值范围是

答案(一8,-2)

解析不等式x—4x—2—a>0在区间［1,4］内有解等价于水(V—4x—2)而，令g(x)

=x—4x—2,［1,4］,・'・g(x)Wg(4)=—2f.••永一2.

14.若存在人£［1,2］,使得21b+a)24,则实数a的取值范围是______.

答案［—1，+°°)

解析由题可得2"(a+6)24=a+6240=a>4［1)-6，即存在^^［1,2］使得

心舟一人因为尸咽T在R是单调递减的，所以磅―在区间［1,2］上的范围为

［-1,1］,则a2一1,故填［-1,+°°).

15.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称，若

14

g®,g(6)=3(其中a>0且Z?>0),则,+石的最小值为.

答案9

14

解析依题意可知g(x)=31・・・g(a)・g(6)=3"・3'=3"'=3即a+b=l,.'-+7=

3u

•(a+6)=5+，+¥、9当且仅当a=J,取.

bjab33

16.如图，在第一象限内，矩形力版的三个顶点4B,C分别在函数尸1y

=g，_/=坐'的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2,则点D

的坐标是.

答案看11Q7

N10

解析由2=lopgx可得点总2,由2=]可得点8(4,2),因为乎=白，所以点C

乙乙乙乙1.0

的坐标为4,9所以点〃的坐标为1，Q*

16216

三、解答题

17.(2018•湖北荆州摸底)已知定义在(0,+8)上的函数F(x),满足f(〃而=f(向十

『(〃)(勿，77>0),且当X>1时，有f^x)>0.

(1)求证：/(皆=/'(血—f(〃);

(2)求证:F(x)在(0,+8)上是增函数；

⑶比较心苗与犯产的大小.

解(1)证明：

.,.(胃=/■(加—f(n).

(2)证明：任取汨，王2£(0,+8),且£<如

则F(X2)—F(X1)=/(

V0<^i<jf2,X\/./\[X~\)]>0,

:・f(x?>f(xi),

.•.F(x)在(0,+8)上是增函数.

叶〃）2（勿+〃）’

■\mn—

故("四产.

18.(2018•浙江宁波统考)己知函数己x)=Sg2(x+l),g{x)=x\x-a\.

(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；

(2)对任意*£［1,+8),总存在唯一的又2仁［2,+8),使得F(X1)=g(X2)成立，求

正实数a的取值范围.

解(1),・2(才)为奇函数，

・,.g(x)+g(—x)=x［\x-a\—|x+a\)=0恒成立.

.\a=0.此时g(x)=x|x|,在R上单调递增.

+°°),F(x)=log2(x+l),

x—ax,x^a,

{—x+ax,x\a.

①当时，g(x，在［2,+8)上单调递增，

33

.•・g(2)=4—2a〈l，a》,2.

②当2〈水4时,gUJ在［2,a］上单调递减,在［a,+8)上单调递增.

55

・・・g(2)=-4+2a<l,水,：.2<a<-.

③当d24时，gG)在2,；上单调递增，在京a上单调递减，在［协+8)上单调递增.

・•・《=一胃+31,—2<a<2,不成立.

35

综上可知'WaV］

19.(2018•福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的

限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率尸与日产量x(万件)之间满足关系：Q

Fl"c,

<2(其中c为小于6的正常数).

『外c

(注：次品率=次品数/生产量，如户=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其

余为合格品.）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故

厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额7（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

2

解（1）当时，片可，

12

AT=-x•2—铲•1=0；

当IWxWc时，

6-x

综上，日盈利额7（万元）与日产量x（万件）的函数关系为T=\

0,x>c.

（2）由⑴,当x>c时,每天的盈利额为0,〉・1吐尽a

Qx—2fQ

①当3W&6时，T=公一一=15—2（6—才）+正一・15—12=3（当且仅当x=3时取等

6—x6—x

号）,7max=3,此时X=3；

一24x+542(x—3)(x—9)Lr川,9x一2x._,

②当lWc〈3时，由T知函数在rUR上递

(6-»(6—x)

综上，若3Wc<6,则当日产量为3万件时，可获得最大利润；

若lWc<3,则当日产量为。万件时，可获得最大利润.

20.（2018-天津模拟）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行

13

驶速度X（千米/小时）的函数为y=八千一£x+8（0<x<120）.

（1）当x=64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？

（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

解⑴当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要罂=骨小时，

6416

1325

要耗油［"nnnX6!一抵X64+8X±=11.95（升）.

1/C5UUUoU10

（2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得,

1331cHec

128000”一而X+8X；=22.5,

由z22-5

所以a-18_3J

128000“+~80

设力5)=品而f+,一卷'

则当从x)最小时，a取最大值,

18yf-803

h'(x)=64000”一7=64000/

令h'(x)=0=x=80,

当xd(0,80)时,h'(x)<0,当xG(80,120)时,h'(x)>0,

故当＞e(0,80)时，函数/?(x)为减函数，当(80,120)时，函数/?(x)为增函数,

所以当x=80时，小/)取得最小值，此时a取最大值为

22.5

=20

-―---—-XR―O"-4J---~--T--°-

1280008080

所以若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米.

专题突破练(1)函数的综合问题

一、选择题

x+x—2,后0,

1.函数f[x)=,的零点个数为()

—1+lnx,x>0

A.3B.2C.7D.0

答案B

xWO,

解析解法一：由f(x)=0得

x~\-x—2=0,

x>0,

或<解得x=-2或x=e.

I—1+lnx=0,

因此函数/Xx)共有2个零点.

解法二：函数/"(X)的图象如图所示，由图象知函数/Xx)共有2个零点.故选B.

2.已知力(2,5),6(4,1),若点P(x,力在线段46上，则》的最大值为()

1c57

A.-B.1C.-D.-

o4N

答案c

5—1

解析由题意，得线段仍y-1=—(x-4)=>y=-2^+9(2<%<4),所以y齐=

2—4LX

g5c

一2才+91+二用，当户2时等号成立，即方v勺最大值为彳.故选C.

2x

3.若变量x,y满足|x|-ln9=0,则y关于x的函数图象大致是()

答案B

11(e'(x^O),

解析由1x1—In-=0得y=r={,画出图象可知选B.

/e[ev(X0)

4.(2018•贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x'0时，Ax)=log2(2

+x)—1,则/'(—6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

答案C

解析因为/'(x)是R上的奇函数，所以，'(一*)=-F(x).而在x20时，/"(x)=log2(2

+x)-L所以/•(-6)=—f(6)=—[log2(2+6)—1]=-Qog28-1)=-2.故选C.

5.(2018•唐山模拟)已知偶函数/，(x)在[0,+8)上单调递减，若/•(-2)=0,则满足

xf(x)>0的x的取值范围是()

A.(一8,-2)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+~)

C.(—8,—2)U(2,+°°)D.(—2f0)U(0,2)

答案A

解析因为/tr)是偶函数且在[0,+8)上单调递减，所以-J)在(―8,0]上单调递

增，又f(—2)=0,所以f(2)=0,即在区间(—8,—2)和(2,+8)上，f(x)<0；在区间

x>0,[X0,

(-2,2)上"(x)>0,所以xF(x)>0等价于和即得点一2或(KK2,故

选A.

V

6.(2018•广东潮州模拟)设函数F(X)=R~Y，则使得f(/一2切>“3十一6)成立的X

的取值范围是()

A.(一8,2)U(3,+8)B.(2,3)

C.(一8,2)D.(3,+°O)

答案A

X1

解析易得函数FJ)是定义在R上的奇函数，且当¥20时，f(x)=H=l—H为

1十X1十X

单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得V—2x>3x—6,解得K2或x>3.故选

A.

x-\-2x,x20,

7.(2018•佛山质检一)已知函数f(x)=L°〃则下列函数为奇函数的是

[X—2X9K0,

()

A.f(sinx)B.F(cosx)

C.xF(sinx)D.xAcos^)

答案C

解析易知，力为偶函数，即满足F(—x)=/、(x)恒成立.

研究g(x)=xf(sinx),g(-x)=—x/[sin(—x)]=—xf(—sinx)=—xf(sinA)=—

g(x),故g(x)=xf(sinx)为奇函数.故选C.

8.(2019•青岛质检)已知则下列结论正确的是()

A.a<t!)B.alnb>Z?lna

C.alna>MnbD.a<.H'

答案C

解析取a=e,b=y[ef则B项明显错误；对于D项，若成立，则lna"vin6,

则AinaVain6,由B项错误得D项错误；因为所以Ina>ln。>0,由同向不

b

等式相乘得alna>blnb,进一步得Ina>ln次所以a>b9所以A项错误，C项正确.故

选c.

I(%+4)3+2018(X+4)|=-4,

9.若x,y£R,且满足<则x+y=()

(y—l)：'+2018(y—1)1=4,

A.-4B.-3C.3D.4

答案B

解析函数f(t)=/+20184*CR)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)+f(力

=0,则必有u+r=0,本题中，u=x+4,v=y—\,A^+4+y—l=0=>%+y=—3.故选B.

V

10.(2018•长沙统考)函数f(x)=2'+干的图象大致为()

1

答案A

V1

解析Ax)=2v+—-=2r---+1,其定义域为(—8,-1)U(-1,+-).令〃(x)

x+1x+1

=2',r(x)=—由于u(x)和r(x)都在(-8,—1)和(一匕十8)上单调递增，所以

-5)在(一8,—1)上和(―1,+8)上单调递增，排除c,D；又当x趋向负无穷时，2”趋

近于0,一上趋近于0,所以f(x)接近于1,所以选A.

■XI1

11.(2018•安徽合肥一模)已知函数已知=(f—2x)•sin(x—1)+x+l在[-1,3]上

的最大值为M最小值为例则"+/〃=()

A.4B.2C.1D.0

答案A

解析令x—1=}2,2],则尸(d—l)sint+「+2,显然函数y=(y—Dsint

+1为奇函数，其最大值与最小值之和为0,故函数y=(d—l)sint+E+2的最大值与最小

值之和为4,即材+m=4,故选A.

12.(2018•大庆质检一)已知F(x)是定义在R上的奇函数，当天£[0,十8)时，

ff(%)<0.若a=/ln〈，b=fln--c=f(e°」)，则db,。的大小关系为()

2ee

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

答案C

解析依题意，有f(x)在［0,+8)上单调递减，而且/*(X)是定义在R上的奇函数，则

由其图象知f(x)在(-8,0］上单调递减，从而奇函数f(x)在R上单调递减.则由In--A

ee

=ln-1—-<ln-=-1,0>ln<>ln-=—1,e0''>0,知In--^<ln：,从而结合F(x)

eee2eee2

的单调性，有/In,-^>/lnAe0,'),即c<a<Z>.故选C.

eez

二、填空题

13.若关于*的不等式9-4*—2一且>0在区间［1,4］内有解，则实数a的取值范围是

答案(一8,-2)

解析不等式/—4^—2—a>0在区间[1,4]内有解等价于aW—4x—2)11rax,令g(x)

—x—^x—2,xG[1,4],二g(x)Wg(4)=—2,a<—2.

14.若存在6G[1,2],使得2"(6+a)24,则实数a的取值范围是.

答案[-1,+8)

由题可得2”(a+6)，4=>a+6》4(；>=a24

解析b,即存在Z>e［l,2］使得

6,因为了=4旨)一x在R是单调递减的，所以4区)'-6在区间［1,2］上的范围为

［-1,1］,则a，-L故填［-1,+«>).

15.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称，若

14

g(a)•g(6)=3(其中a>0且6>0),则；+g的最小值为—

答案9

14

解析依题意可知g(x)=3',."(a)•g(6)=3"-3"=3"'=3即a+8=l,

3D

G+4•(a+8)=5+""29当且仅当a=4,取"=".

yab)ab33

16.如图，在第一象限内，矩形4腼的三个顶点4B,C分别在函数尸log乎x,y

1、回

=叼，/=晋'的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2,则点D

的坐标是

a

ER19

答案7W

，白gx可得点g,2,由2=g可得点6(4,2),9

解析由2=lo：=而所以点c

919

的坐标为4,而所以点〃的坐标为5,而

三、解答题

17.(2018•湖北荆州摸底)已知定义在(0,+8)上的函数f(x),满足f®7)=F®+

51,n>0),且当才>1时，有f(x)>0.

(1)求证：/(皆=F(/〃)—f(〃)；

(2)求证：在(0,+8)上是增函数；

⑶比较(甯与邈产的大小.

解(1)证明：，=彳3+/1(〃)，

，=/'(〃》一/'(〃)・

⑵证明：任取Xi,X2^.(0,+°°),且为<如

则f(X2)—f(%l)=彳彳).

\*0<%1<%2,/•一>1,<*.4—>0,f(X2),

X\\X\J

.•・F(x)在(0,+8)上是增函数.

2t4innJ

•.修对，.•・/里卜0,

4/nnL4/nn_

故借》犯产.

18.(2018•浙江宁波统考)已知函数己力=bg2(x+l),g{x)=x\x-a\.

(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；

(2)对任意xy［l,+8),总存在唯一的矛2右［2,+°°),使得广(石)=g(X2)成立，求

正实数〃的取值范围.

解(l)・・・g(x)为奇函数，

，g(x)+g(—x)=x{\x—a\—x+a|)=0恒成立.

；・a=0.此时g(x)=x|x|,在R上单调递增.

(2)xi0［l,+8),_f(x)=log2(x+l),

x—ax,

{一x+ax,x\a.

①当时，g(xj在［2,+8)上单调递增，

33

.*.^,(2)=4—25^1,a耳,・••E

②当2〈水4时，点加在［2,司上单调递减，在+8)上单调递增.

55

.•.g(2)=-4+2水1,水亍，2〈水

③当a24时，式均在2,］上单调递增，在京a上单调递减，在［a,+8)上单调递增.

2

1+y<l,—2<a<2f不成立.

35

综上可知/a<会

19.(2018•福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的

限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率？与日产量x(万件)之间满足关系：—

F々We,

<,(其中c为小于6的正常数).

Qc

(注：次品率=次品数/生产量，如伫=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其

余为合格品.)

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故

厂方希望定出合适的日产量.

(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额7(万元)表示为日产量x(万件)的函数;

(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？

2

解(1)当x>c时，P=q,

O

12

/.T=-x•2—-x•1=0；

oJ

9x—

-7,1WxWc,

综上，日盈利额7(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T=\6-x

,0,x>c.

⑵由⑴,当x>c时，每天的盈利额为0,...IWxWc,

9r—9/9

①当3WK6时,片十7=15—2(6—x)+=W15T2=3(当且仅当x=3时取等

号)，7i»ax=3,此时X=3；

②当lWc<3时,

2V—24x+542(x-3)(x-9)如函数7=/在口，3］上递增,

由r=­

(6一4(6-xy

、i,,9c—2c

.•.当x=c时，...人=%=.

综上，若3<氏6,则当日产量为3万件时，可获得最大利润;

若lWc<3,则当日产量为c万件时，可获得最大利涧.

20.(2019•广州模拟)已知aGR,函数/'(x)=log2：+a.

(1)当a=5时，解不等式f(x)>0；

(2)若关于x的方程Hx)—logz［(a—4)x+2a—5］=0的解集中恰好有一个元素，求a

的取值范围；

(3)设a>0,若对任意te看1,函数f(x)在区间［t,t+1］上的最大值与最小值的差不

超过1,求a的取值范围.

解(1)当a=5时，f(x)=log2：+5,

由f(x)>0得log2^+5>0,

1,、l,4x+l

/.-+5>1,即nt1一+4=------->0,

XXX

解得x>0或水一；，

・・・不等式的解集为%%>0或水一；.

(2)由F(x)—log21(a—4)x+2a—5]=0,得

log2^+a—log2[(a—4)x+2a—5]=0,

即1+a=(a—4)x+2a—5>0,①

:.(a—4)x+(a—5)%—1=0,

即(x+1)[(a—4)x—1]=0.②

当a=4时，方程②的唯一解为*=一1,满足①式；

当a=3时，方程②有两个相等的实数解，

即彳=一1,满足①式；

当且aW3时，方程②的解为矛=-1或x=一二，

8一4

若%=—1满足①式，则一l+a=a—1>0,即a>l,

若X—J满足①式，则a—4+a=2a—4>0,即a>2,

a—4

，要使满足①式的解有且仅有一个，则1GW2.

综上，若方程f(x)—log21(a-4)x+2a—5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值

范围是(a\1<WW2或。=3或a=4}.

(3”.,函数f(x)在区间[£,t+1]上单调递减，

・・・")—

即log2：+a-log2-j^7y+aWl，

，logz^+aWlogz^y+a+l,

，aW2-^y+a,

.•.a2；一告=£；1在区间1，1上恒成立，

CLILvlLI1)乙

>1—t1

设1一£=r，即£=1一八则OWZ；,

(1—r)(2—r)r—3r+2,

当尸。时‘>-J+2=°・

当(KE/时,

9

/.y=r+-^E(O,镜)上递减,

—

?-3r+2

2

・・・实数a的取值范围是相2于

专题突破练（2）利用导数研究不等式与方程的根

一、选择题

1.（2019•佛山质检）设函数/1（0=/-3/+2为若汨，生（刘C就是函数g（x）=F（x）

—4x的两个极值点，现给出如下结论：

①若一1＜么＜0,则f（E）＜F（X2）;②若0＜八＜2,则f（荀）＜f（就；③若/＞2,则

f（XI）＜f（及）.

其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析依题意，汨，*2（%＜就是函数g'（x）=3/—6x+2-4的两个零点，则4=12（a

2—月

+1）＞0,即4＞—1,且汨+矛2=2,矛1*2=-1.研究F（Xl）〈f（X2）成立的充要条件：

O

等价于（小一＞2）］（吊+*2）'—3（小十才2）—X1X2+2"O,因为吊＜X2,所以有（Xl+X2）」-3（小+彳2）

2—A

—x/z+2=——>0,解得A>2.从而可知③正确.故选B.

2.(2018•乌鲁木齐一诊)设函数f(x)=e*x+;—3—若不等式f(x)W0有正实数解，

则实数a的最小值为()

A.3B.2C.e*23*D.e

答案D

3a

解析因为f(x)=e'+——3——W0有正实数解，所以心52—3叶3)「令g(x)=(/

XX

一34+3)0则H(%)=(2%-3)ev+(y-3%+3)e=^(%-1)e\所以当时，g,U)>0；

当0<水1时，g'(X)<0,所以g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以冢才号口

=g(l)=e,所以a2e.故选D.

e6e7e8

3.设a=去，b=­c=—则a,b,。的大小关系为()

3649964f

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

答案c

解析构造函数/'(x)=A,则a=f(6),b=f4),c=f(8),f(x)=xe(1幻,当x>2

xx

时，f(x)>0,所以/Xx)在(2,+8)上单调递增，故f(8)>f(7)>F(6),即c>»a.故选C.

4.(2018•合肥质检二)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，f(x)+2>£(x),f(0)

=1,则不等式In(f(x)+2)—In3>x的解集为()

A.(—8,o)B.(0,+°°)C.(—8,i)D.(1,+°°)

答案A

解析构造函数次工)=驾工，则g'(x)=

/'⑴一(公)+2)V0,则g(x)在R上单调递减，且g(0)=誓工=3.从而原不等式

ee

In粤2>x可化为笔出〉e',即以华>3,即g(x)>g(O),从而由函数g(x)的单调

33e

性，知x<0.故选A.

5.(2018•郑州质检一)若对于任意的正实数x,尸都有2x-」ln二成立，则实数〃

exniQ

的取值范围为()

答案D

解析因为x〉0,y>0,2x—~[n,所以两边同时乘以可得2e-」ln令"

exmexxxmx

12e

=f(t>0),令/'(»=(2e—t),Int(t>0)，则/(t)=—Int+(2e—t),]=-Inf+~~一

2e12e

1.令