2020年湖南省岳阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2020年岳阳市初中学业水平考试试卷数学

温馨提示:

1.本试卷共三大题，24小题，考试时量90分钟;

2.本试卷分为试卷卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；

3.考试结束后，考生不得将试卷卷、答题卡、草稿纸带出考场.

一、选择题（本大题共8小题，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1.-2020的相反数是（）

2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为

A.0.1109xl08B.11.09xl06C.1.109xl08D.1.109xl07

3.如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（）

4.下列运算结果正确的是（）

A.(-a)3=a3B.a9-i-a3—«3C.a+2a=3aD.a-a~=a2

5.如图，DAA.AB,CD±DA,ZB=56°,贝INC度数是()

A.154°B.144°C.134°D.124°

6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体

温（单位:℃）如下：36.5,36.3,36.8,36.3,36.5,36.7,36.5,这组数据的众数和中位数分别是（）

A.36.3,36.5B.36.5,36.5C.36.5,36.3D.36.3,36.7

7.下列命题是真命题的是（）

A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形形状和大小

8.对于一个函数，自变量X取C时,函数值y等于o,则称c为这个函数零点.若关于％的二次函数

y=-f—lOx+m（〃件。）有两个不相等的零点七,々（西<x2）,关于x的方程/+]0%_m—2=0有两个不相等的

非零实数根三,羽（巧<羽），则下列关系式一定正确的是（

＜上＜

A.0<—<1B.—>1C.010—

%

二、填空题（本大题共8个小题）

9.因式分解：〃-9=

10.函数y=Jx—2中,自变量x的取值范围是

x+3>0

口不等式组.I〈。的解集是---------------

12.如图：在&AABC中，CD是斜边AB上的中线，若NA=20°,则N5OC=

13.在—3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ad+4x—2中〃的值，则该二次函数图象开

口向上的概率是

14.已知+2%=一1,则代数式5+x（x+2）的值为

15.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问

醇、行酒各得几何？”其译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现有30

钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为龙斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为.

16.如图，AB为半。。的直径，M,C是半圆上的三等分点，AB=8,与半。O相切于点3,点P为而上

一动点（不与点A,〃重合），直线PC交BD于点。，BELOC于点E,延长助交PC于点P，则下列结论

正确的是.（写出所有正确结论的序号）

4

①PB=PD；的长为§»；③ZDBE=45。；@ABCF^APFB；⑤CF-CP为定值.

三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：（I）-1+2cos60°-（4-^-）°+1-731

18.如图，点E,歹在ABCD的边BC,AD上，BE=-BC,ED=』AD,连接8尸，DE.求证：四边形5EDP

33

是平行四边形.

19.如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=V（左为常数且左w0）的图象相交于4-1,机），3两点.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位3>0）,使平移后的图象与反比例函数丁=A的图象有

20.我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大

类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最

喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

I*

(1)本次随机调查的学生人数为人；

(2)补全条形统计图；

(3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；

(4)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表

或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率.

21.为做好复工复产，某工厂用4、3两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比3型机器人每小时多搬运20kg,

且A型机器人搬运1200kg所用时间与3型机器人搬运1000版所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多

少原料.

22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A,3两地向C地

新建AC,8C两条笔直的污水收集管道，现测得。地在A地北偏东45。方向上，在3地北偏西68。方向上，AB

的距离为7板，求新建管道的总长度.(结果精确到O.Mm,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°®0.40,

A/2®1.41)

45

23.如图1,在矩形ABCD中，A5=6,3C=8,动点p,。分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出

发，且分别在边CAA5上沿CfA,A—6的方向运动，当点Q运动到点3时，RQ两点同时停止运动，设点

P运动的时间为«s),连接PQ,过点p作PELPQ,尸石与边相交于点E,连接QE.

(1)如图2,当f=5s时，延长EP交边AD于点R.求证：AF=CE；

(2)在(1)的条件下，试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系，并加以证明；

9

如

当

图3>S时，延长EP交边AD于点尸，连接/。，若FQ平分/AFP,求彳的值.

3)4-

图1图2图3

24.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线耳：y=a(x—g)2+1|与x轴交于点A(-g,。)和点3,与V轴交于

点C.

(1)求抛物线片的表达式；

(2)如图2,将抛物线F,先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2,若抛物线耳与抛物线此相

交于点。，连接应＞,CD,BC.

①求点D坐标；

②判断_5CD的形状并说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线工上是否存在点P,使得为等腰直角三角形，若存在，求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由

2020年岳阳市初中学业水平考试试卷数学

温馨提示：

1.本试卷共三大题，24小题，考试时量90分钟；

2.本试卷分为试卷卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；

3.考试结束后，考生不得将试卷卷、答题卡、草稿纸带出考场.

一、选择题（本大题共8小题，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1.-2020的相反数是（）

]1

A.2020B.-2020C2020D.--------

2020

【答案】A

【分析】

根据相反数直接得出即可.

【详解】-2020的相反数是2020,

故选A.

【点睛】本题是对相反数的考查，熟练掌握相反数知识是解决本题的关键.

2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为

（）

A.0.1109xl08B.11.09xl06C.1.109xl08D.1.109xl07

【答案】D

【分析】

根据科学记数法的定义即可得.

【详解】科学记数法：将一个数表示成ax10"的形式，其中14同＜10,n为整数，这种记数的方法叫做科学记数

法

贝111090000=1.109x107

故选：D.

【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键.

3.如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（）

【分析】

根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可.

【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示：

故选A.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置.

4.下列运算结果正确的是（）

A.（-tz）3=a3B.«9-?«3=«3C.a+2a=3aD.a-a2=a2

【答案】c

【分析】

根据鬲的乘方、同底数鬲的乘法和除法及合并同类项的计算法则分别计算即可得解.

【详解】解：A、（―4=—/,故错误；

B、/+/=£故错误；

C、a+2a=3a,故正确；

D、a,a，=a，故错误；

故选：C

【点睛】本题考查了塞的乘方、同底数塞的乘法和除法及合并同类项，是基础题，关键是掌握整式的运算法则.

5.如图，DA±AB,CD±DA,ZB=56°,则/C的度数是（）

Dn--------q

\

---、B

A.154°B.144°C.134°D.124°

【答案】D

【分析】

由平行线的判定和性质，即可求出答案.

【详解】S：,：DA±AB,CD±DA,

：.AB//CD,

：.ZC+ZB=180°,

VZB=56°,

"=124。；

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补.

6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体

温（单位：℃）如下：36.5,36.3,36.8,36.3,36.5,36.7,36.5,这组数据的众数和中位数分别是（）

A.36.3,36.5B.36.5,36.5C.36.5,36.3D.36.3,36.7

【答案】B

【分析】

根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可判断.

【详解】解：将这7名学生的体温按从小到大的顺序排列如下：

36.3,36.3,36.5,36.5,36.5,36.7,36.8

则中位数就是第4个数：36.5；

出现次数最多的数是36.5,则众数为：36.5；

故选：B

【点睛】本题考查的是众数、中位数，掌握它们的概念和计算方法是解题的关键.

7.下列命题是真命题的是（）

A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形的形状和大小

【答案】B

【分析】

由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；

B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的

关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断.

8.对于一个函数，自变量X取C时，函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于X的二次函数

y=—d—lOx+机（机k。）有两个不相等的零点七,%2（m<々）,关于x的方程f+iox—加一2=0有两个不相等的

非零实数根三，%（巧<羽），则下列关系式一定正确的是（）

A.0<^<1B,五〉1C,0<^<1D.->1

x3x3x4x4

【答案】B

【分析】

根据根与系数的关系可以求出占,%，%3，X4的值，用作差法比较石,退的大小关系，的大小关系，根据/可求

出Hl的取值范围，结合石,马的大小关系，工2，》4的大小关系从而得出选项.

【详解】解：：3是y=-x2-10x+m（〃件0）的两个不相等的零点

即%%是—f—I。％+加=o的两个不相等的实数根

%1+%2=-5

西尤2=~m

*/X]<元2

相rZQ—5—J25+4"i—5+s/25+4/n

斛传玉=-------------,x2=--------------------

,/方程/+10%—加_2=0有两个不相等的非零实数根%3，%4

x3+x4=-5

x3x4=-m-2

—5Jl3+4帆―5+Jl3+

解得x

322

22

-5-\/25+4m-5-J13+4zn八

•西<0,x=-----------------<0

23

年।

-5+V25+4m-(-5+V13+4/n).25+4"?-J13+47”n

----------------------------------------=--------------------------->0

22

100+4m>0

而由题意知＜

100+4(m+2)>0

解得力＞-25

当—25<m<0时，%2<0,%4<0,包>1;

当0<机<3时，%2>0,x4<0,三<0;

元4

当m=3时，'■无意义；

4

三〉

当加＞3时,1

%

取值范围不确定,

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系.解题

bu

的关键是熟记根与系数的关系，对于》=〃%2+法+。(a^O)的两根为%,马，则再+九2=——，玉九2=—•

aa

二、填空题（本大题共8个小题）

9.因式分解：4_9=

【答案】（。+3）（。一3）

【分析】

a2-9可以写成aJ32,符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可.

【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）.

点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键.

10.函数y=Jx—2中,自变量x的取值范围是.

【答案】%>2

【分析】

根据被开方式是非负数列式求解即可.

【详解】依题意，得x—220,

解得：x>2.

故答案为尤之2.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式

是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式

时，被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际

问题有意义.

%+3>0

口.不等式组，八的解集是___________.

尤—1<0

【答案】-3<x<l

【分析】

先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集.

x+3>0①

【详解】<

x—1<0②

解不等式①得：3

解不等式②得：x<l

则不等式组的解集为—3Wx<1

故答案为：—3Wx<l.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键.

12.如图：在及AABC中，CD是斜边上的中线，若NA=20°,则N5£>C=

【分析】

先根据直角三角形斜边中线的性质得出C£>==,则有NDC4=NA=20。，最后利用三角形外角的性质

2

即可得出答案.

【详解】：在MAABC中，CD是斜边上的中线,，

ACD=AD=-AB.

2

VZA=20°,

ZDG4=ZA=20°,

，ZBDC=ZDCA+ZA=40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三角形斜边

中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键.

13.在-3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数丁=奴2+4%一2中。的值，则该二次函数图象开

口向上的概率是.

【答案】|3

【分析】

当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解.

【详解】解：当a大于0时，二次函数7=。f+4》一2图象开口向上，

-3,-2,1,2,3中大于0的数有3个，

3

所以该二次函数图象开口向上的概率是二，

3

故答案为：I.

【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题.

14.已知尤2+2尤=一1,则代数式5+x（x+2）的值为.

【答案】4

【分析】

先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可.

【详解】5+x{x+2）=5+%2+2x

将f+2%=—1代入得：原式=5+（—1）=4

故答案为：4.

【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键.

15.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问

醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现有30

钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为.

【答刊］50x+10y=30

【分析】

设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组.

【详解】设买美酒x斗，买普通酒y斗，

x+y=2

依题意得

50x+10y=30

x+y=2

故答案是：

50x+10y=30

【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系，列方程组.

16.如图，为半。O的直径，M,C是半圆上的三等分点，AB=8,6。与半。O相切于点3,点尸为场上

一动点（不与点A,4重合），直线PC交BD于点BELOC于点E,延长仍交PC于点p，则下列结论

正确的是.（写出所有正确结论的序号）

4

①PB=PD；的长为I乃；③ZDBE=45。；@ABCF^APFB；⑤CF-CP为定值.

【答案】②⑤

【分析】

①先根据圆的切线的性质可得NASD=90°,再根据半圆上的三等分点可得NCOB=60°,然后根据圆周角定理

可得N3PC=30°,最后假设PB=PD,根据角的和差、三角形的外角性质可得NAOP=30。，这与点P为标上

一动点相矛盾，由此即可得；

②根据弧长公式即可得；

③先根据等边三角形的性质可得NOBE=30°,再根据角的和差即可得；

④先根据三角形的外角性质可得ZPFB=ZBCF+ZCBF,从而可得对应角ZPFB与ZBCF不可能相等，由此

即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得告=黑，从而可得CF.CP=C§2,再根据等边三角形的性质

可得CB=OB=4,由此即可得.

【详解】如图，连接OP

Q6。与半。O相切于点3

:.ZABD=90°

。是半圆上的三等分点

,"03=1x180°=60°

3

OB=OC

50。是等边三角形

由圆周角定理得：ZBPC=-ZCOB=30°

2

假设PB=PD,则NPBD=ZD=g(180°-ZBPC)=75°

ZABP=ZABD-ZPBD=15°

:.ZAOP=2ZABP^30°

又点尸为％必上一动点

.•.NAOP不是一个定值，与NAOP=30。相矛盾

即PB与PD不一定相等，结论①错误

AB=8

：.OB=OC=-AB=4

2

60万x44

则BC的长为以J=—乃，结论②正确

1803

50C是等边三角形，BELOC

ZOBE=ZCBE=-ZOBC=-x60°=30°

22

ZDBE=ZABD-ZOBE=90°-30°=60°,则结论③错误

ZPFB=ZBCF+ZCBF>ZBCF,即对应角ZPFB与ZBCF不可能相等

5CF与ZIPEB不相似，则结论④错误

ZCBF=ZCPB=30°

在一5CE和一PCB中,<ZBCF=ZPCB

；._BCF〜_PCB

CFCBQn,

,­=—,即CFCP=CB2

又80C是等边三角形，OB=4

.•.C8-4

:.CFCP^42=16

即CF-CP为定值，结论⑤正确

综上，结论正确的是②⑤

故答案为：②⑤.

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性

质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键.

三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：（I）-1+2cos60°-（4-+1-731

【答案】2+6.

【分析】

先计算负整数指数褰、特殊角的余弦值、零指数骞、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可.

【详解】原式=2+2xL—1+6

2

=2+1-1+73

=2+-J3-

【点睛】本题考查了负整数指数鬲、特殊角的余弦值、零指数鬲、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解

题关键.

18.如图，点E,尸在ABCD的边BC,AD上，BE=-BC,FD=-AD,连接8尸，DE.求证：四边形BED尸

33

【分析】

根据平行四边形的性质得到AD〃:BC,AD=BC,进而得到BE=FD即可证明.

【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

'：BE=-BC,FD=-AD,

33

.,.BE=FD,

四边形BED尸是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，并熟悉平行四边形的判

定定理.

19.如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=A(左为常数且左WO)的图象相交于4—1,机)，3两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位3>0),使平移后的图象与反比例函数丁=A的图象有

且只有一个交点，求力的值.

y

4

【答案】⑴y=—；(2)b的值为1或9.

x

【分析】

(1)先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函

数的表达式即可得；

(2)先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得

一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得.

【详解】(1)由题意，将点A(-LM代入一次函数y=x+5得：加=—1+5=4

.•.A(-l,4)

将点A(—1,4)代入y=月得：巴=4,解得左=T

x-1

4

则反比例函数的表达式为y=—-；

x

(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位得到的一次函数的解析式为y=x+5-b

y=x+5-b

联立14

y=一—

Lx

整理得：f+(5—6)x+4=0

4

一次函数y=x+5-Z?的图象与反比例函数y=—-的图象有且只有一个交点

x

关于X的一元二次方程必+(5-b)x+4=0只有一个实数根

此方程的根的判别式△=(5-6)2-4x4=0

解得乙=1也=9

则b的值为1或9.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，

较难的是题(2),将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键.

20.我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大

类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最

喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

晟晟；也1衽编织芳品I程

（1）本次随机调查的学生人数为人；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；

（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表

或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率.

【答案】⑴50；（2）见详解；（3）288人；⑷-.

【分析】

（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；

（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；

（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；

（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可.

【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：

154-30%=50（人）；

故答案为：50；

（2）选择编织的人数为：50-15-18-9-6=2（人），

补全条形图如下：

，人教

IS

（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程人数为：

1Q

800X—=288（人）；

50

（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A,B,C,D表示，则

列表如下：

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

;共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，

21

.•.恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：一=—；

126

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.为做好复工复产，某工厂用A、3两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比3型机器人每小时多搬运20依，

且A型机器人搬运1200kg所用时间与3型机器人搬运1000奴所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多

少原料.

【答案】A型号机器人每小时搬运120依原料，B型号机器人每小时搬运100版原料.

【分析】

设A型号机器人每小时搬运x依原料，先求出B型号机器人每小时搬运(％-20)依原料，再根据“A型机器人搬运

1200kg所用时间与台型机器人搬运1000版所用时间相等“建立方程，然后求解即可.

【详解】设A型号机器人每小时搬运xkg原料，则B型号机器人每小时搬运(%-20)依原料

上曲j12001000

由题意得：----=------

xx-20

解得x=120（奴）

经检验，x=120是所列分式方程的解

则%—20=120—20=100（依）

答：A型号机器人每小时搬运120版原料，B型号机器人每小时搬运100版原料.

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键.需注意的是，求出分式方程

的解后，一定要进行检验.

22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A,3两地向C地

新建AC,8C两条笔直的污水收集管道，现测得。地在A地北偏东45。方向上，在3地北偏西68。方向上，AB

的距离为7板，求新建管道的总长度.(结果精确到O.Mm,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°®0.40,

A/2®1.41）

68j

H

【答案】新建管道的总长度约为8.2初1.

【分析】

如图（见解析），先根据方位角的定义求出NC4D=45°,NCfi£>=22。，设=则瓦）=（7—x）初z,再

在RLACD中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在BCD中，解直角三角形可得x

的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得出答案.

【详解】如图，过点C作。，口于点口

由题意得：ZCAD=90°-45°=45°,ZCBD=90°-68°=22°,AB=7km

设AD=xkm,则3D=(7-x)历w

CD±AB,ZCAD=45°

凡△ACD是等腰直角三角形

/.CD=AD=xkm,AC=6AD=®xkm

CDx

在&BCD中，tanZCBD=——,即=tan22°

BD7—x

7tan22°7x0.40.、

解得x=--------------®-----------=2(km)

1+tan2201+0.40

7fan

经检验，x=/皿"是所列分式方程的解

1+tan22°

:.AC=2应a2.82(km),CD=2km

CD2

在RtBCD中，sinNCBD=,即---=sin22°

BCBC

22

解得BC=---------x——«5.41(M

sin22°0.37

则AC+BC^2.82+5.41=8.23工8.2(6)

答：新建管道的总长度约为8.2Am.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的

方法是解题关键.

23.如图1,在矩形A3CD中，A5=6,3C=8,动点尸，。分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出

发，且分别在边CA,A3上沿C.A,A.8的方向运动，当点Q运动到点B时，RQ两点同时停止运动，设点

P运动的时间为«s),连接PQ,过点p作PE_LPQ,尸石与边相交于点E,连接QE.

(1)如图2,当f=5s时，延长EP交边AD于点尸.求证：AF=CE；

(2)在(1)的条件下，试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系，并加以证明；

9AF

(3)如图3,当时，延长EP交边AD于点尸，连接42,若歹。平分NAFP,求方的值.

图1图2图3

【答案】⑴证明见解析；(2)AQ2+CE2=QE2,证明见解析；(3)|.

【分析】

(1)先根据运动速度和时间求出CP=5,再根据勾股定理可得AC=10,从而可得AP=CP=5,然后根据矩形

的性质可得AD//BC,从而可得ZFAP=NECP,ZAFP=ZCEP,最后根据三角形全等的判定定理与性质即可

得证；

(2)如图(见解析)，连接FQ,先根据(1)三角形全等的性质可得EP=EP,再根据垂直平分线的判定与性质

可得。尸=。后，然后根据勾股定理、等量代换即可得证；

(3)先根据角平分线的性质得出AQ=PQ,再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出NAQF=NPQb,然

后根据等腰三角形的三线合一得出6>A=-AP=iAP,又分别在火上ABC和Rt_AOQ中,利用余弦

22

三角函数可求出t的值，从而可得CP、AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得.

【详解】⑴由题意得：CP=lx5=5

四边形ABCD是矩形

AD//BC,ZBAD=NB=90°

:.ZFAP=ZECP,ZAFP=ZCEP

AB=6,BC=S

:.AC=^AB-+BC2=10

:.AP=AC-CP=5

ZFAP=NECP

在AFP和ACEP中，<ZAFP=ZCEP

AP=CP=5

:.^AFP=_CEP(AAS)

：.AF=CE；

(2)AQ2+CE-=QE2,证明如下：

如图，连接FQ

由(1)已证：9FP—CEP

:.FP=EP

PELPQ

，PQ是线段EF的垂直平分线

：.QF=QE

在Rt^AFQ中,由勾股定理得：AQ2+AF-=QF2

则AQ2+CE-=QE2；

（3）如图，设FQ与AC的交点为点0

由题意得：AQ=f,CP=t,AP=AC-CP=10-t

尸。平分NAFP,QA±AD,PE±PQ

AQ=PQ（角平分线的性质）

・•.△APQ是等腰三角形

AQ=PQ

在和△PFQ中,

FQ=FQ

:.^AFQ=_PFQ(HL)

ZAQF=ZPQF,即。。是ZAQP的角平分线

.-.OA=OP=~AP=电工,OQ1AP(等腰三角形的三线合一)

22

在&ABC中，cosZBAC=—=-=-

AC105

在HJA。。中，cosZOAQ=--,即23

AO---=cosABAC=—

2t5

解得’=!?")

H=H

AD!IBC,即A77/CE

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定理等知识

点，较难的是题(3),熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键.

24.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线£:y=a(x—g)2+1|与x轴交于点A(-g,。)和点3,与V轴交于

点C.

(1)求抛物线片的表达式；

(2)如图2,将抛物线可先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线B，若抛物线耳与抛物线B相

交于点。，连接6。，CD,BC.

①求点。的坐标；

②判断-5CD的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线工上是否存在点P，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

54

【答案】⑴y=--x2+jX+4；(2)①点。的坐标。(―1,1)；②&吕⑺是等腰直角三角形，理由见解析；(3)

P(—2,—2)或夕(1,一3)

分析】

(1)将点A(-1,0)代入即可得；

(2)①先根据二次函数的平移规律得出抛物线B的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；

②先根据抛物线耳的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后

根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；

(3)设点P的坐标为P(根,〃)，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当NPDgugOo.PDug。时，先根据

等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线8的表达式，检验点P是否在抛物线工

的表达式上即可；②当NPBD=90。,PB=BD时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再

根据点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线工的表达式，检验

点P是否在抛物线工的表达式上即可；③当/3「。=90。,P5=尸£＞时，先根据等腰直角三角形的性质得出点P在

在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的

距离公式和依=有可求出点P的坐标，最后代入抛物线工的表达式，检验点P是否在抛物线工的表达式上即可■

【详解】(1)将点A(-1,O)代入抛物线《的表达式得：«(-|-|)2+j|=0

解得a=--

3

则抛物线片的表达式为y=—?(x—2y+%=-9%2+±%+4

351533

故抛物线片的表达式为丁=一5士/+4?%+4；

33

(2)①由二次函数的平移规律得：抛物线耳的表达式为y=—g(x—1+1)2+3—3

5319

即匕y=-§(x+/+百3_2X+2

33

54,

y=——x2+—X+4

-33X——

联立解得，

5、02y=i

y=——.V-2x+