第二讲 线与圆的位置关系

第二讲直线与圆的位置关系

THESECONDCHAPTER

一圆周角定理

营预习导学一挑战自我，点点落实___________________________________________________________

［学习目标］

1.探究并理解圆周角定理的证明过程.

2.通过圆周角定理的证明过程，体会分类讨论思想，并能对一些简单的数学问题

进行分类讨论.

3.理解圆周角定理、圆心角定理及圆周角定理的两个推论，能用这些定理、推论

解决相关的几何问题.

［知识链接］

1.“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确？

提示不正确.“相等的圆周角所对的瓠相等”是在“同圆或等圆中”这一大前

提下成立的，如图.

若A8〃OG,则但比W分.

2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？

提示不一定相等.一般有两种情况:相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的

圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.

［预习导引］

1.圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

语言

A

图形

语言

符号在。。中，比所对的圆周角和圆心角分别是NBAC,ZBOC,则有NBAC

语言==ZBOC

作用确定圆中两个角的大小关系

2.圆心角定理

文字

圆心角的度数等于它所对弧的度数

语言

图形

语言0

符号

A,8是。。上两点，则检的度数等于NAQB的度数

语言

作用确定圆弧或圆心角的度数

3.圆周角定理的推论

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

也相等.

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直免；90°的圆周角所对的弦是直逛.

h课堂讲义E重点难点,个个击破

要点一圆周角定理及其推论

例1在半径为5cm的圆内有长为5，5cm的弦A3,求此弦所对的圆周角.

解如图所示，过。点作OO_LAB于点D

因为0O_LA3,。。经过圆心，

所以十(cm).

在RtzXAOO中，OD=^/(9A2—AD2=|(cm),

E

所以NOAO=30。，

所以NAOD=60。.

所以NAO8=2NAOD=120°,

所以NAC8=3NAOB=60°.

因为NAO5=120°,所以/丽的度数为120°,

的度数为240。.

所以NAEB=gx240°=120°.

所以此弦所对的圆周角为60。或120。.

规律方法弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易

应用到解三角形的知识.

跟踪演练1如图，已知：△A3C内接于00,D,E在8C边上，且&)=CE,

Z1=Z2.

求证：AB=AC.

证明延长A。，AE,分别交。。于忆G,连接8b，CG,

VZ1=Z2,：.BF=CG,

：.BF=CG,BG=&,

：.乙FBC=ZGCE.

火,：BD=CE,:ABFD经ACGE,

：.AF=AG,AB=A^,：.AB=AC.

要点二圆心角定理

例2如图所示，AB,C。是。O的两条直径，CE//AB,求证：BC=AE.

D

A

证明连接。E,因为OE=OC,所以NC=N£

因为CE〃/LB.所以NC=NBOC,NE=NAOE.

所以NBOC=ZAOE.

所以比=能.

规律方法证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等，通常用圆周角定理或平行

来转化.

跟踪演练2如图所示，已知。。中，/AOB=2N8OC求证：

ZACB=2ZBAC.

证明,/ZACB=^ZAOB,

NBAC=：NBOC,

又由已知NAO3=2NBOC,

ZACB=^X2ZB0C=ZBOC.

i^ZBAC=^ZACB,即：ZACB=2ZBAC.

要点三直径上的圆周角

例3如图所示，已知A3为。。的直径，AC为弦，OD//BC,

交AC于。，BC=4cm.

(1)试判断0D与AC的位置关系；

⑵求。。的长；

(3)若2sinA-1=0,求。。的直径.

解(DOOLAC.理由如下：

:48为的直径，：.ZACB=90°.

VOD//BC,：.ZADO=ZACB=9Q°,AODA.AC.

(2)V^AOD^AABC,•,•段=笆=〈，

£>CZ\DZ

/.2(cm).

(3)2sinA-1=0,二・sinA=；.

Be

又人也A=”，.\AB=2BC=Scm,

AD

即。。的直径为8cm.

规律方法此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征，并在此基础

上对前面所学知识进行适当的综合.

跟踪演练3如图，A3是半圆的直径，AC为弦，且AC：

=4：3,AB=10cm,OO_L4c于D求四边形。BCD的面积.(X\\\

解•..AB是半圆的直径，，/。=90°.八°

VAC:5C=4：3,二可设AC=4光，BC=3x.

又•.•A8=10,.116*+9f=100,

.'.x=2,/.AC=8cm,BC=6cm.

又•..ODUC,AOD//BC,

.'.AD=4cm,OD=3cm.

S西边彤OBCD=SZ^ABC—SAAOD=]X6X8—5X3x4=24—6=18(cm2).

课堂小结

1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系

起来.在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种

新方法.

2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不

等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度

数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.

3.关于圆周角定理推论的理解

(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，

因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的.

(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的

弧”.

(3)”相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.

(4)在同圆或等圆中，由弦相等今弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,

一般选劣弧.

声当堂检测1当堂训练，体验成功

1.如图,43为。。的直径，C,。是。。上的两点，N3AC=20°,c

AD=CD,则ND4c的度数是()一

AO

A.30°B.35°

C.45°D.70°

解析"/NBAC=20。，

比的度数为40°,的度数为140。.

'：AD=Cb,二⑨的度数为70。.

：.ZDAC=35°.

答案B

2.如图所示，在。。中，ZBAC=25°,则N80C等于()R__y

A.25°B.50°(\\/J

C.30°D.12.5°kyy

解析根据圆周角定理，得NBOC=2N8AC=50°.A

答案B

3.AABC内接于。O,且@：BC:G4=3：4：5,则NA=,NB=

，NC=.

解析,：AB：BC：CA=3：4：5,

二检的度数为90°,比的度数为120°,为的度数为150°,

AZA=60°,ZB=75°,ZC=45°.

答案60°75°45°

4.如图所示，在。。中，直径AB=10cm,8c=8cm,CD平分

ZACB,求AC和DB的长.o/X/\\

解•••AB是。。的直径，而直径所对的圆周角是直角，.•.△ABCV\7/y

D

是直角三角形.

由勾股定理可得AB1=AC1+BC1,

即1()2=AC2+82,，AC=6(cm).

平分N3C4,：.ZBCD=ZDCA=45°.

..•同弧所对的圆周角相等，

：.ZDBA=ZDCA=45a,NBAD=NBCD=45°,

：.NDBA=NBAD,：.DB=AD,

...由勾股定理可得482=2802,

即102=2。)，：.DB=5由(cm).

事分层训练i解疑纠偏，训练检测___________________________________________________________

一、基础达标

1.如图，。是〃的中点，与NABO相等的角有（）发

A.7个B.3个）

C.2个D.1个

解析与NA8D相等的角分别为NCB。，ZACD,ZCAD.

答案B

2.如图，已知圆心角NA03的度数为100°,则圆周角NAC8的度

数是（）o

A.80°B.100°

C.120°D.130°

解析VZAOB=100°,所对圆心角为260°,AZACB=130°.

答案D

3.如图，已知AB是半圆。的直径，弦AO,BC相交于点P,那么CD看等于

A£>

()

A.sinNBPO

B.cosZBPD

C.tanZBPZ)

D.以上答案都不对

解析连接80,由区4是直径，知是直角三角形.根据

PDCD(

ACPD^/\APB,-^=-ZB=cosZBPD.Z---------

PBABA.oB

答案B

4.弦BC分00为1：3两部分，00的直径等于4,则BC=.

解析由圆心角定理NBOC=(X360°=90°,：.BC=yl22+22=2y/2.

答案2也

5.如图所示，A,B,C,。是。。上四点，且。是AB的中点，CD犷7^A

交0B于E,ZA(9B=100°,ZOBC=55°,则/0EC=_______.

解析VZAC>B=100°,且。是检的中点，：.ZBCD=25°.：.一J

ZOEC=ZB+ZBCD=80°.

答案800

6.如图所示，在。。中，直径A3=10cm,弦BC=8cm,点。是检产

的中点，连接AC,AD,BD.

⑴求AC和8。的长；D

(2)求四边形AO8C的面积.

解(1)；A8为。。的直径，：.ZACB=ZADB=9G°."：AB=IQ,BC=8,.•.在

RtZ\A3C中，AC=、A32-3C2=6(cm)」.•点D是检的中点,：.AD=BD,：.AD

=BD,.'.△AB。为等腰直角三角形，：.BD=ABsin45°=10X当=5&(cm).

⑵由(1)知“边衫ADBC=S“8C+SAABD=；XACX3C+14D2=；X6X8+J><(56)2

=49(cm2).

二、能力提升

7.在RtZ\A3C中，ZC=90°,NA=30°,AC=2小,则此三角形的外接圆的半

径为()

A.4B.2C.2^3D.4

解析由圆周角定理推论2知:

AB为RCABC的外接圆直径，又「A"2=4,故外接圆半径r=，B=2.

cos』30；。2

答案B

8.在半径为6cm的圆中，6cm长的弦所对的圆心角等于.

解析6cm长的弦的端点与圆心构成等边三角形，故此弦所对的圆心角为60°或

120°.

答案60°或120°

9.如图所示，A8是。。的直径，。是念的中点，NA8O=20°,则NBCE=

解析如图所示，连接A£>,DE,VZABD=20°,ZAED=

20°,又。是崩的中点，.•.NQAC=NOE4=20。，：A3是。O

的直径，AZADB=90°,.*.ZDC4=70°,:.NBCE=70°.

答案70。

10.（2016・江宁一中单元测试）如图，为圆。的直径，AOLBC,A

AF=AB,8/和AO相交于点E,求证：AE=BE.

证明•••8C是。。的直径，

AABAC为直角.又/.RtABDA^RtABAC.AZBAD=ZACB.

"：AB=AF,：.ZFBA=ZACB.

：.ZBAD=ZFBA.

：./\ABE为等腰三角形，?.AE=BE.

11.已知AO是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径.求证：

NBAE=NDAC.\/I\\

证明连接8E,因为AE为直径，\//

所以NABE=90°.因为AO是△ABC的高，E一,

所以NAOC=90。.所以NAOC=NABE

因为NE=NC,所以N3AE=180°-ZABE-ZE,

ND4c=180°-ZADC-ZC.

所以NB4E=ND4C.

三、探究与创新

A

12.如图，AO是。O内接三角形ABC的高线，E为数的中点.求证：(的、

ZOAE=ZEAD.1/(/

证明法一显然NBAE=/C4E,只要证得NB4O=NC4。，就

E

间接证得NOAE=NE4D故延长A。交。。于尸点，连接3F,如图①，得NAB尸

为直角，又由NC=NE可得NBA。与NC4。相等.

法二若要直接证NOAE=NE4。，就需要把它们设置成圆周角，因此把A。，

A£)均延长，分别交。。于尸点和G点，连接R7,如图②，可证得R7〃8C,由

平行直线所夹的弧相等则有呼=田，又徒=沅，：.fi：=R.：.NFAE=NGAE.

法三如图③，寻找第三个角，利用等量代换来证NOAE=NEAO,故连接OE,

利用垂径定理得OELBC,进而易知OE〃AD,可得/E=ND4E；同时，在等腰

三角形OAE中ZOAE=ZE,：.ZOAE=ADAE.

二圆内接四边形的性质与判定定理

?预习导学J挑战自我，点点落实___________________________________________________________

［学习目标］

1.理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理解决相关的几何问题.

2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.

［知识链接］

1.判断下列各命题是否正确.

(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；

(2)矩形有唯一的外接圆；

（3）菱形有外接圆；

（4）正多边形有外接圆.

提示（1）错误，任意三角形有唯一的外接圆；（2）正确，因为矩形对角线的交点到

各顶点的距离相等；（3）错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；（4）正确，因为

正多边形的中心到各顶点的距离相等.

［预习导引］

1.性质定理1

文字

圆的内接四边形的对角互处

语言

符号若四边形ABCO内接于圆0,则有NA+NC=180°,ZB+ZD

语言=180°

o

图形

语言

作用证明两个角互补

2.性质定理2

文字

圆内接四边形的外角等于它的内角的对角

语言

符号四边形ABC。内接于。。，£为AB延长线上一点，则有NCBE=

语言/ADC

图形

语言e

作用证明两个角相等

3.圆内接四边形判定定理

文字

如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆

语言

符号在四边形A8CD中，如果/3+/。=180°（或NA+NC=180°）,那么

语言A,B,C,。四点共圆

_c

0

图形

语言

作用证明四点共圆

4.判定定理的推论

文字如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点

语言共圆

符号在四边形A5CD中，延长AB到E,若NCBE=NADC,则A,B,C,D

语言四点共圆

/_______C

O

图形

语言

作用证明四点共圆

尹课堂讲义重点难点，个个击破

要点一圆内接四边形的性质

例1如图，在Rt4ABC中，ZACB=90°,在A8上截取出

=AC,以PC为直径的圆分别交AB,BC,AC于。，E,E求证:

PADA

~PB='DP-

证明连接OF,PF.

：PC是直径，：.PF1AC.

VBC±AC,J.PF//BC,

.PA__FA

,"PB=FC-

:四边形PCFD内接于。0,

ZADF=ZACP,

\"AP=AC,：.ZAPC=ZACP.

：.ZADF=NAPC.：.DF//PC,

.DAFA.PA_DA.

,"DP=FC,,，PB=DP-

规律方法1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利

用直线平行，得到比例式相等.

2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形

相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某

些等量关系.

跟踪演练1如图所示，。。1和。。2交于A,B两点，经过A

点的直线分别交两圆于C,D,经过B点的直线分别交两圆于E,

F.

求证：CEHDF.

证明连接A3,；四边形A8EC内接于。。1,

/.ZABF=ZC,•.•四边形ABF。内接于。。2,

.../48£=/。.又/48£：+/48尸=180°,

.•.NC+NO=180°.故可得CE〃。尺

要点二圆内接四边形的判定

例2如图，在△ABC中，E,D,尸分别为AB,BC,AC的中点，人

且APL3C于P./\\\

求证：E,D,P,尸四点共圆.B-\tc

解连接PF,

\'AP±BC,尸为AC的中点，人

••・PJAC/UK

BDPC

FC=^AC,：.PF=FC,

ZFPC=ZC.

E,F,。分别为AB,AC,BC的中点,

EF//CD,ED//FC,

四边形EDCE为平行四边形，：.ZFED=ZC,

ZFPC=ZFED,：.E,D,P,尸四点共圆.

规律方法1.本题证明的关键是如何使用点E、。、口是中点这一条件.

2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.

跟踪演练2如图，在正△ABC中，点。，E分别在边3C,AC入

上，且CE=^CA,AD,BE相交于点P,求证：四

BD

点尸，D,C,七共圆；

证明在正△ABC中，由8D=；8C,CE=；CA知△A3。g△3CE,

二NAOB=NBEC,即ZADC+NBEC=况.

二四点P,D,C,E共圆.

要点三圆内接四边形性质与判定的综合运用

例3如图，已知△ABC中，AB=AC,。是△ABC外接圆劣弧

念上的点(不与点A,。重合)，延长3。至E(/

(1)求证：A。的延长线。/平分NCDE；”

⑵若NBAC=30°,ZXABC中8C边上的高为2+S.求△ABC

外接圆的面积.

(1)证明如图，B,C,。四点共圆，

二/CDF=NABC.又AB=AC,

AZABC=ZACB,S.ZADB=ZACB,：.ZADB=ZCDF.

又由对顶角相等得ZEDF=ZADB,

故NEDF=/CDF,

即AD的延长线DF平分NCDE.

⑵解设。为外接圆圆心，连接A。并延长交3c于"，则连接0C,

由题意N0AC=N0CA=15°,ZACB=75°,AZOCH=60°,

设圆半径为r,则r+冬=2+小，得r=2,外接圆的面积为4n.

规律方法1.在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合

性较强.

2.此类问题考查知识较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应

用，最终得到某些结论的成立.

跟踪演练3如图所示，已知四边形A3CO为平行四边形，过AP_______P

FC

点A和点8的圆与AD,分别交于点E,F,连接EF求证：E,F,C,。四点

共圆.

证明由题意知四边形ABEE是圆内接四边形，

...NA+N3FE=180°.又在oABCD中，AB//CD,

二乙4+/。=180°,:.NBFE=ND,

：.E,F,C,。四点共圆.

课堂小结

1.对圆内接四边形的理解

(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表

示：｛圆内接四边形｝U｛圆内接多边形｝.

(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接

圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接

梯形一定是等腰梯形等.

2.判断四点共圆的基本方法

(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；

(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；

(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共

圆；

(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两

个三角形的四个顶点共圆.

尹当堂检测J当堂训练，体验成功

1.下列说法正确的个数有()

①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于圆；④矩形内接于圆；

⑤正方形内接于圆.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确.

答案B

2.四边形ABCO内接于圆。，NA=25°,则NC等于()

A.25°B.75°C.115°D.155°

解析•.•四边形ABC。内接于圆O,...NA+NC=180°.又NA=25°,?.ZC

=180°-ZA=155°.

答案D

3.如图，点A,B,C,。在同一个圆上，直线AB,DC相交于厂

点尸，直线AO,8C相交于点°,如果乙4=50°,/P=30°,(/X

那么NQ=.'Q

解析VZA=50°,ZP=30°,，/QDC=NA+/P=80°.又NQCO=N4

=50°,.\Z2=180°-80°-50°=50°.

答案50°

4.如图所示，以锐角AABC的三边为边向外作三个等边三角形汴工\

ABD,BCE,C4G.求证：AABD,ABCE,△CAG的外接圆。Oi,

。。2，。。3交于一点.

证明设。Oi,。。3交于点居连接ARBF,CF,SA,F,B,E

D四点共圆，

△A3。为等边三角形,

同理，ZAFC=120°,又NA尸3+/4尸。+/3尸。=360°,

AZBFC=120°.VZBFC+ZE=180°,：.B,E,C,产四点共圆,

即。。1,。。2,0。3交于一点.

守分层训练J解疑纠偏，训练检测__________________________________________

一、基础达标

1.如图，A8CD是。。的内接四边形，延长BC到E,已知去―

NBCD:NECD=3:2,那么NBOO等于()(

A.12O0B.136°E

C.144°D.15O0

解析'：ABCD：ZECD=3：2,:"ECD=72",AZBOD=2ZA=2ZECD

=144°.

答案C

2.在圆内接四边形ABC。中，NA：N8：NC：N。可以是（）

A.4：2：3：1B.4：3：1：2

C.4：1：3：2D.以上都不对

解析四边形ABC。内接于圆，故/A+NC=N3+NO,所以只有B适合.

答案B

3.如图所示，已知在圆内接四边形ABC。中，氏4的延长线和CO

的延长线交于点P,AC和3。相交于点E,则图中共有相似三角

形（）

A.5对B.4对

C.3对D.2对

解析由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：XABESXDCE,MADE

SABCE,△/?4cs△PDB,△如0s△PCB共4对.

答案B

4.如图所示，四边形A8CO内接于。0,若N300=110°,那么

NBCD的度数为.

解析VZA=1zBOD=1xilO°=55°,/.ZBCD=180°-

55°=125°.

答案125°

5.如图，两圆相交于点A,B,过点A的直线交两圆于点C,

D,过点8的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若NC

=115°,则N0=.

解析如图，连接A3,

VZC=115°,/.ZABE=65°,

：.ZD=ZABE=65°.

答案65°

6.如图，在△ABC中，C。是NACB的平分线，△ACO的外接A

Dj

圆交BC于点E,AB=2AC.

E

B

⑴求证：BE=2AD；

(2)当AC=1,EC=2时，求A。的长.

⑴证明连接OE,

..•ACE。是圆的内接四边形,

:./BDE=ZBCA.

又NDBE=NCBA,

:ABDEsABCA,

_,BEDE一

即有，而，：

^D/7\=CK/iA3=2AC.BE=2DE.

又CO是NACB的平分线，

：.AD=DE,从而BE=2AD.

(2)解由条件得AB=2AC=2,设AD=t,根据割线定理得BDBA=BEBC,即(A8

-AD)BA=2AD-(,2AD+CE),

：.(2~t)X2=2t(2t+2),

即2户+3/—2=0,解得或-2(舍去)，

即AD=^.

二、能力提升

7.如图，A8是。。的弦，过A,O两点的圆交BA的延长线于C,

交00于D,若CO=5cm,则CB等于()(K'TO

A.25cmB.15cm

5

C.5cmD，2cm

解析连接。4,OB,OQ,9：OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZOBA,

NODB=NOBD.(Xoj/)

VC,D,0,A四点共圆，

：.NOAB=NCDO,

ZCDO=ZOBA,

：.ZCDO+ZODB=ZOBA+ZOBD,

即NCDB=NC8O,

：.CD=CB,VCD=5cm,

：.CB=5cm.

答案C

8.(2014.陕西高考)如图，△ABC中，BC=6,以为直径的半圆

分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=.

A(J

解析VZA=ZA,ZAEF=ZACB,AAEF^AACB,：.TE=

答案3

9.如图，在圆内接四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=6Q°,

AC=a9则四边形A5c。的面积为.

解析如图，连接易知NB4O=NA8O=NAOB=NAC8

=ZAC£>=60°.

设NCA£>=。，AB=AD=b,

则N8AC=60°—仇

S辿边形ABCD=S^ABc+SAACD

=；a/?sin(60°—9)+^〃加in0

=；Q/?sin(60°+9)=；"sinNABC,

在△ABC中，由正弦定理可知

a_____b________b

sinZABCsinZACSsin60°'

.\bsmZABC=asin60°.

・•・SQ四边形ABCz_>__=_•]•z-6rxfO•6?•sin260=a.

答案凛2

10.四边形ABCD是圆内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点.

求证：BEAD=BCCD.

证明如图，连接AC.煤一

C

ABE

•四边形A8CO为圆内接四边形，

，ZADC=ZEBC.

又BD//EC,

：.ZCEB=ZDBA,且NACD=NDBA,

ZCEB=ZACD.：.△ADCsACBE.；M=器,即BEAD=

/几Dt!a

BCCD./C

11.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,。是AC的中点,

OE平分NAO8交A3于E,过A,D,E的圆交3。于N.求证：

BN=2AE.

证明连接EN.

四边形AEND是圆内接四边形，

?.NBNE=NA,又<ZABD=ZABD,

:ABNEsABAD,:瑞=焉

\"AB=AC,AC=2AD,

：.AB=2AD,BN=2EN,

X,/ZADE=ZNDE,：.AE=EN,

:.AE=EN,：.BN=2AE.

三、探究与创新

12.如图所示，在锐角三角形ABC中，A。是8C边上的高，DE

1AB,DFLAC,E,尸为垂足.求证：E,B,C,b四点共圆.

证明法一连接EF,

\'DE±AB,DF±AC,

：.ZAED+ZAFD=9Q°+90°=180°,

：.A,E,D,F四点共圆，/.Z1=Z2.

AZBEF+ZC=ZBED+Z1+ZC=90°+Z2+ZC=90°+90°=180°,

：.E,B,C,产四点共圆.

法二连接EF,"JDELAB,DFLAC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

E,D,F四点共圆，.\Z3=Z4.

：.ZCFE+ZB=ZCFD+Z4+ZB=90°+Z3+ZB=90°+90°=180°,

：.E,B,C,产四点共圆.

法三连接EF,"：DE±AB,DF±AC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

：.A,E,D,尸四点共圆,.".Z1=Z2.

VZAEF=90°-Zl=90°-Z2,ZC=90°-N2,

二ZA£：F=ZC,

：.E,B,C,尸四点共圆.

法四连接EF,'：DE±AB,DFLAC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

E,D,F四点共圆，/.Z3=Z4.

VZAFE=9Q0-Z4=90°-Z3,

ZB=90°-Z3,/.ZAFE=ZB,

：.E,B,C,尸四点共圆.

三圆的切线的性质及判定定理

声预习导学挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几

何问题.

2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.

［知识链接］

1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？

提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直

线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.

2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？

⑴与圆有公共点的直线是圆的切线；

(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；

(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.

提示(3)(4)正确.

［预习导引］

1.切线的性质定理

文字

圆的切线垂直于经过切点的半径

语言

符号

直线/与圆。相切于点A,则0A11

语言

丁

图形

语言

A1

作用证明两条直线垂直

2.性质定理推论1

文字

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

语言

符号

直线/与圆。相切于点A,过点。作直线〃」/,则A且加

语言

a

图形

语言

作用证明点在直线上

3.性质定理推论2

文字

经过切点且垂直于切线的直线必经过皿

语言

符号

直线/与圆。相切于点A,过点A作直线〃2,/,则。豆〃2

语言

£

图形

语言

41

m

作用证明点在直线上

4.切线的判定定理

文字

经过半径的外端并且垂直王这条半径的直线是圆的切线

语言

符号OA是圆。的半径，直线@04,且AS/,贝心是圆。的

语言切线

£

图形

语言

A1

作用证明直线与圆相切

尹课堂讲义J重点难点，个个击破

要点一切线的性质

例1如图所示，已知AB是。。的直径，直线CO与。。相切于

点、C,AC平分ND4B,AD.LCD.

⑴求证：OC〃AO；

(2)若AD=2,AC=y[5,求AB的长.

⑴证明如图所示，连接8C

■:CD为。0的切线，

:.OCLCD.

又A"CD,AOC//AD.

(2)解:,AC平分NOA3,

：.ZDAC=ZCAB.

•.•AB为。。的直径，

-3=90°.

又A"C£>,ZADC=90°,

AADC^AACB.

，替=弟，".AC2=ADAB.

AC/In

'."AD=2,AC=y[5,'.AB=^.

规律方法1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找A。、AC与AB之间关系

的.

2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接

圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角

关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.

跟踪演练1如图所示，NC=90°,点。在AC上，CO为。。

的直径，。。切43于E,若BC=5,AC=12,求。。的半径.cC.

解连接OETAB与。。切于点E,

AOEA.AB,即NOEA=90°.

VZC=90°,ZA=ZA,

RtAACB^RtAAEO,c、/

OEAO=

:£.>C{Q.*・8c=5,AC12,

.OE12—OE._W

.\AB=13,..手=-—'•.OE=y.

要点二圆的切线的判定

例2已知：是。。的直径，BC是。。的切线，切点为B,过点A作AO〃OC,

交。。于点D

求证：0c是。。的切线.

证明如图，连接。。，设NOAO=N1,Z0DA=Z2,ZBOC

=Z3,ZC0D=Z4.

'：OA=OD,.\Z1=Z2.

\'AD//OC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.

；.Z1=Z2=Z3=Z4.

又・：0B=0D,Z3=Z4,OC=OC.

:.△0B8X0DC,

：.ZOBC=ZODC.

是。。的切线，

：.ZOBC=90°.：,ZODC=900,即OOLCD是。。的切线.

规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：

(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所

得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；

(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段,

再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.

跟踪演练2如图所示，在△ABC中，已知以A8为直

径的。。交8C于。，DELAC,垂足为£求证：OE是。。的切

线.

证明连接。。和AD〈AB是。。的直径，

J.ADLBC,又•.•AB=AC,

:.BD=CD,又•.•A0=80,

OD//AC.'：DE±AC,

：.ODLDE,是。。的切线.

要点三圆的切线的判定与性质定理的综合应用

例3如图所示，正方形A3C。是。。的内接正方形，延长84到E,

使AE=A8,连接ED

(1)求证：直线矶＞是。。的切线.

(2)连接E0交AO于点凡求证：EF=2F0.

证明(1)如图所示，连接0D

•四边形A5CD为正方形，AE=AB,

：.AE=AB=AD,ZEAD=ZDAB=90°.

AZEDA=45°,又NODA=45°.

ZODE=ZADE+ZODA=90°.

二直线ED是。。的切线.

(2)如图所示，作OMLA3于M.

•。为正方形ABC。的中心，为A3的中点.

：.AE=AB=2AM,XAF//OM,

世=丝=。

^♦FO~AM~Z：.EF=2FO.

规律方法对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是

先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.

跟踪演练3已知：如图，A是。。上一点，半径。。的延长线

与过点A的直线交于3点，OC=BC,AC=^OB.

(1)求证：AB为。。的切线；

(2)若/ACO=45°,0C=2,求弦C。的长.

⑴证明如图，连接04,

V0C=BC,AC=^0B,：.0C=BC=CA=0A,

.,.△ACO为正三角形，AZ0=60°,AZB=30°,

：.ZOAB=90°,...AB为。。的切线.

(2)解VZACD=45°,...RtZvlCE中，AE=EC,

、历

又•.'△ACO为正三角形，:.AE=EC=^AC=戊,

又•.•CO=TNAOC=30°,在RtaAEO中，

DE=y[5AE=#,：.CD=CE+DE=p+m

课堂小结

1.圆的切线的判定方法有

(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.

2.圆的切线的性质与判定的综合运用

在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：

(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线.

(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过

这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与

圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线

段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.

尹当堂检测当堂训练，体验成功

1.(2016.石家庄模拟)如图所示，直线/与。。相切于点A,8是/上任一点(与点A

不重合)，则△。48是()

AB

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

解析:/与。。相切，,△048是直角三角

形.

答案C

2.已知A3是。。的切线，下列给出的条件中，能判定的是（）

AAB与。。相切于直线CD上的点C

B.CO经过圆心。

C.CD是直线

D.AB与。。相切于点C,CD过圆心0

解析由图①②③可知，根据选项A,B,C中的条件都不能判定A5_LCO；因为

圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确（如图④）.

答案D

3.如图所示，DB,0c是。。的两条切线，A是圆上一点，已知NO=46°,则NA

解析如图②所示，连接。8,0C,则。OCLCD,

故NOBO+NDCO=90。+90°=180°，则四边形OBOC内

接于一个圆.则有N8OC=180°-ZD=180°-46°=

134°,所以NA=gN80C=gx134°=67°.

答案67°

F分层训练J解疑纠偏，训练检测

一、基础达标

1.下列说法中正确的个数是（）

①过圆心且垂直于切线的直线必过切点;②过切点且垂直于切线的直线必过圆心;

③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦A3

是小圆的切线，则切点是A8的中点.

A.2B.3C.4D.5

解析由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且

垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.

答案B

2.如图所示，。。是正△ABC的内切圆，切点分别为E,F,G,

点P是弧EG上的任意一点，则NEPR等于（）

A.12O0B.9O0

C.60°D.30°

解析如图所示，连接。E,OF.

VOEA.AB,OFLBC,

：.ZBEO=ZBFO=90°.

：.ZEOF+ZABC=\SO°.

：.ZEOF=nO0.

:./EPF=g/EOF=60：

答案C

3.如图，在。。中，AB为直径，A。为弦，过8点的切线与AO

的延长线交于C,若AQ=OC,则sinNACO等于（）

A.嚅B*

c坐

解析连接3。，作OELAC于E

TBC切。O于8,

cB

；AB为直径，：.BD±AC,

'：AD=DC,：.BA=BC,

NA=45°,设。。的半径为R

二OC=^BC2+OB2=^4/?2+7?2=V5/?.

答案A

4.如图