天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025学年高二数学下学期月考试题含解析

PAGE20-天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、单选题（每题5分，共15个小题）1.已知a为函数的微小值点，则a=（）A.3 B.－2 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，让导函数等于零，解方程，然后利用微小值点的定义进行验证即可.【详解】.当时，，因此函数单调递增，当时，，因此函数单调递减，当时，，因此函数单调递增，所以是函数的微小值点，故.故选：A【点睛】本题考查了求函数的微小值点，属于基础题.2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据导数的运算法则和常见函数的导数进行推断即可.【详解】A：，故本选项运算不正确；B：，故本选项运算不正确；C：，故本选项运算正确；D：，故本选项运算不正确.故选：C【点睛】本题考查了导数的运算法则和常见函数的导数，属于基础题.3.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧旁边连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数学问来探讨函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．4.对随意的，函数存在极值点的充要条件是（）A. B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，让导函数等于零，方程肯定有两个不等实根即可.【详解】有两个不等实根，因此有或.故选：C【点睛】本题考查了函数有极值的充要条件的推断，属于基础题.5.若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】分析】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一大于0的变号零点，画出的图像，使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，可求解.【详解】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，，变形为画出的图像使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，化简为故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数极值点的概念，以及已知函数零点个数求参数范围的问题，已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)干脆法，干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法，先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．6.设，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据导数的定义，结合导数的运算法则进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了导数的定义，考查导数的运算法则，属于基础题.7.在曲线上切线倾斜角为的点是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出曲线上的点，对函数进行求导，利用导数的几何意义，结合直线斜率与倾斜角之间的关系求解即可.【详解】设曲线上一点的坐标为：，由.由题意可知：，所以点的坐标为：.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了数学运算实力.8.函数的导数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A9.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据选项中不等式的结构特征，结合已知的不等式特征，构造新函数，求导，最终利用新构造函数的单调性进行求解即可.【详解】构造函数：，，所以函数定义在R上减函数，当时，有，f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的函数，所以有.故选：D【点睛】本题考查了利用导数推断函数的单调性，考查了利用函数单调性推断函数值之间的大小关系，考查了构造法，属于中档题.10.已知函数，若有三个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，然后让导函数等于零，依据题意该方程有三个不等正实根，这样通过构造函数，利用单调性进行求解即可.【详解】函数的定义域为：.，明显方程必有一个根为，由题意可知：方程必有两个不等于1的正实根，，令，当时，单调递增，当时，单调递减，故，因此有.故选：A【点睛】本题考查了已知函数的极值点的个数求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了常变量分别法，考查了数学运算实力.11.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把方程进行常变量分别，构造新函数，求导，推断出函数单调性，再依据函数的正负性，画出函数图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，当时，无实数解，不符合题意，故.于是有，令，明显当时，；当时，.，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，函数的图象一样如下图所示：因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算实力和数形结合实力.12.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，再分类探讨和两种状况，再对满意条件的取并集即可．【详解】当时，恒成立，即在R上单调递增，满意条件．当时，解得，又在区间内是增函数，即．综上所述故选:B【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型，用到的方法为分类探讨，属于一般性题目．13.函数上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的导函数，再依据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）·g（3）＜0且△≥0，从而可求a的取值范围．【详解】所以令因为函数上不单调即在上由实数根a=0时，明显不成立，a≠0时，只需，解得或即a∈它的充分不必要条件即为一个子集所以选A【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性与充分必要条件的综合，属于中档题．14.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，求出函数的单调区间，结合已知条件进行求解即可.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，因此函数的微小值为：或要想函数区间上有最小值，则有：.故选：A【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算实力.15.直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，依据这个两个方程表示同始终线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最终利用数形结合求出的取值范围.【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应当满意：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查了两个曲线的公切线的条数求参数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算实力和数形结合思想.二、填空题（每小题5分共10小题）16.已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为_______【答案】1【解析】【分析】设出切点的横坐标，求函数的导数，依据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设出切点的横坐标为，由.故答案为：1【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算实力.17.已知函数，则过点可以作出________条图象的切线.【答案】二【解析】【分析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点坐标代入切线方程中，求出方程的根进行推断即可.【详解】设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：二【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算实力.18.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有微小值点的个数为________．【答案】1【解析】试题分析：因为函数的微小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满意导函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的微小值点只有一个．考点：利用导数探讨函数的极值19.函数，若对于区间[－2,2]上的随意，，都有，则实数的最小值是_______.【答案】4【解析】【分析】对函数进行求导，求出函数的单调性，求出函数在区间[－2,2]上的最值，结合肯定值的性质求出的最大值，最终求出实数的最小值.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此函数的微小值为：，函数的极大值为，，所以函数在区间[－2,2]上的值域为：，因此对于区间[－2,2]上的随意，，，因此实数的最小值是4.故答案为：4【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了肯定值的性质，考查了对随意性的理解，考查了数学运算实力.20.设函数的导数为，且，则=______.【答案】【解析】【分析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解【详解】因为，所以.所以，则，所以则，故.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算实力，属于中档题．21.函数的单调递减区间是_______．【答案】【解析】函数的定义域为，且：，求解不等式可得函数的单调递减区间是.22.已知,若存在,,使得成立,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数探讨其单调性求得最小值；要满意使得成立，应有，依据二次函数学问求出最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得微小值即最小值.函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即.考点：存在性量词与不等式的有解问题．【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，探讨另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.23.已知函数，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】先推断函数奇偶性，再利用导数推断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】由题得f(-x)=,所以函数f(x)是奇函数.设x＞0，则，所以上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，所以,所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.24.已知函数在区间[1，2]上是单调函数，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，导函数在区间[1，2]上恒非正或恒非负进行求解即可.【详解】，由题意可知：或在区间[1，2]上恒成立.当在区间[1，2]上恒成立时，，当时，，因此有；当在区间[1，2]上恒成立时，，当时，，因此有，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算实力.25.设过曲线（为自然对数的底数）上随意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】求出的导函数的取值范围，然后依据题意，结合相互垂直的两直线的斜率关系，利用集合之间的关系，求出实数的取值范围.【详解】，设切线的斜率为，则有，因此由，，设切线的斜率为，则有，因为，所以，因为曲线上随意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，所以有：.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率问题，考查了存在性的理解，考查了两直线相互垂直斜率之间的关系，考查了数学运算实力.三、解答题（共25分）26.已知函数为自然对数的底数．（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（Ⅰ），由题设知，求得的值；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程在内由两个不等实根,可列不等式组,即可求a的范围【详解】解：（Ⅰ），由题设知，故（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，.【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用