江苏省连云港市新海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版）

数学试题部分（本卷满分150分共4页考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题每小题5分共40分）1.已知或，，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因或，，所以故选：D.2.设集合，，则（）．A. B.C. D.x-1≤x≤3【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集进行求解即可.【详解】集合，，则，故选：D.3.若集合，，且，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别讨论与两种情况，结合题意，列出不等式，求解即得.【详解】因为集合，，且，当时，则，解得；当时，则，或，解得；综上所述，的取值范围是.故选：D.4.下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（）A.， B.所有的正方形都是矩形C.， D.至少有一个实数，使【答案】A【解析】【分析】根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可.ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可.【详解】对于A，A是特称命题，其否定为：，，即为真命题，A正确；对于B，∵B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除；对于C，C是特称命题，其否定为：，，即为假命题，C错误；对于D，D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有，代入不成立，为假命题，D错误；故选：A．5.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：D.6.已知，，且恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解.【详解】解：设，则，解得，则，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，又因为对，，且恒成立，所以，故选：B7.牛顿冷却定律（Newton'slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（）A.33分钟 B.28分钟 C.23分钟 D.18分钟【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．【详解】解：依题意，得，化简得，解得.设这块面包总共经过分钟，温度降为30°，则，化简得，解得，故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°，故选：C.8.已知为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值【详解】因为，则，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选：C二、多选题（本题共4小题每小题5分满分20分）9.设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（

）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.【详解】当，，，时，满足，此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；对于D，若，则，但，因为，所以，于是，所以，同理若，则，，因此，成立，所以D成立.故选：ABC.10.对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A.若且，则A=∅B.若且，则C.若且，则D.存在，使得【答案】AB【解析】【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．【详解】对于，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确；对于，因为，所以，即与是相同的，所以，B正确；对于，因为，所以，所以，即错误；对于，由于,而，故，即错误．故选：AB．11.下列说法不正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.若，则的最大值为2C.若不等式的解集为，则必有D.命题“，使得．”的否定为“，使得．”【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式运算求解；对于C：根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于D：根据特称命题的否定是全称命题分析判断.详解】对于选项A：例如，则，即，满足题意，但，即充分性不成立；例如，则，即，满足题意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；对于选项B：若，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为12，故B不正确；对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；对于选项D：命题“，使得．”的否定为“，使得”，故D不正确；故选：ABD.12.已知，且，则（）A.最小值是 B.最小值为C.的最大值是 D.的最小值是【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立，即的最大值是，故A不正确；对于B，∵，∴，，所以，故B正确；对于C，∵，且，∴，即当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，∵，即时，等号成立，所以的最小值是，故D错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题每小题5分满分20分）13.设、是非空集合，定义且.已知，，则________.【答案】或【解析】【分析】先求出，再求出，从而可求。【详解】∵、是非空集合，且，而，，∴，，故或.故答案为：或.14.已知集合，，若，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.【详解】由，可得，由于，且，则，所以，则实数的取值范围是，故答案为：15.已知，则________．【答案】5【解析】【分析】设，再用表达求解即可.【详解】设，则，，，故.故答案为：516.设，则的最大值为___________.【答案】2【解析】【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解.【详解】设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.四、解答题（本题共6小题第17题10分第18—22题12分满分70分）17.设集合，；（1）若，求实数取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；（2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；【小问1详解】由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，，满足题意；当时，因为，所以，解得，，综上所述，实数的取值范围为.【小问2详解】由题意，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，，满足题意；当时，因为，所以，解得，或无解；综上所述，实数的取值范围为．18.已知集合，，全集.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解；（2）分析可知，根据包含关系分析求解.小问1详解】当时，集合，则或，所以.【小问2详解】若“”是“”的必要条件，则，因为，则，可知，可得，解得，所以实数的取值范围.19.（1）已知，计算和的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】运用换底公式结合对数运算公式化简即可.【详解】解：（1）∵，∴；．（2）（方法一）．（方法二）20.（1）设，求的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可.【详解】（1）因为，则，则所以；（2）因为，则，，可得，，则．由题意可得，则，且，所以．21.中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.【答案】（1）；（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．【解析】【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.【小问1详解】（1）由题意可得，，所以，即.【小问2详解】当时，；当时，，对称轴，；当时，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，故，综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．22.设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．（1）当时，若，，求和的值；（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；（3）给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得．【答案】（1）2，1；（2）最大值为4个；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接根据定义计算；（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；（3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可．【小问1详解】因为，所以，．【小问2详解】设，令其中()则，，，则，当，且()时，由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数．若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，所以，且．将上述集合中的元素分成如下四组：经检验，每组中两个元素，均有，所以每组中两个