第1章 《勾股定理》单元练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第1页（共1页）第一章《勾股定理》练习题时间:120分钟满分150分一、单选题（本大题共10小题，总分40分）1．下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1.5，2.4，3 C．3，3，5 D．2，3，62．在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（）A．13 B．5 C．13 D．53．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（）A．5 B．0.8 C．5−2 D．4．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，AE＝AD＝2，则AC的长是（）A．4 B．23 C．7 D．55．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．10 B．106 C．34 D．96．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤27．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD使其不变形．若AF＝1米，AE＝2米，则木条EF＝（）（结果保留根号）A．3米 B．5米 C．6米 D．7米8．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25 B．19 C．13 D．1699．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（）A．−1+338 B．1+338 C．1或10．如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD+CE+AF＝27，则BD+BF的长是（）A．18 B．10+63 C．19 D．17二、填空题（本大题共5小题，总分20分）11．在△ABC中，∠C＝90°，若AB=3，则AB2+BC2+AC2＝12．如图，∠BAC＝90°，AB=22，AC=22，BD＝12，DC=410，则∠13．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，若BD＝1，AC＝4，且∠DAC+2∠BAD＝90°，则AD的长为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为．三、解答题（本大题共10小题，总分90分）16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求AB的长．17．如图，长13m的梯子AC靠在墙上，梯子的底部C离墙角B的距离BC为5m（AB⊥BC），求梯子的顶端A离地面BC的距离AB．18．一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，请你求出这个线路的最短路径．19．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到50米（即AA'＝BB'＝50米），消防车高3.4米，救人时云梯伸长至最长，在完成从33.4米（即A′M＝33.4米）高的A处救人后，还要从51.4米（即B′M＝51.4米）高的B处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？20．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．22．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，c（a＜b＜c），当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足b=(a2)2−1，c=(（1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝，c＝；（2）请再举一例证明猜想成立．23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．（1）探索AD与CD的位置关系，并说明理由；（2）求四边形ABCD的面积．24．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m．（1）求边BC的长；（2）连接AC，判断△ADC的形状；（3）求这块空地的面积．25．综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+(b−a)2，从而得到等式c2=12ab×4+(b−a)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD．（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2．（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为．（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

答案一、单选题（本大题共10小题，总分40分）1-5．AADCA．6-10．BBACA．二、填空题（本大题共5小题，总分20分）11．6．12．45°．13．2．14．7．15．(2三、解答题（本大题共10小题，总分90分）16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB=A17．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=AC218．开后连接BE，则BE的长是一只蚂蚁从点B出发，沿表面爬到CD的中点E的最短路线，根据题意得：BC＝π×2×12=π，CE在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=B答：这条路线的最短距离是π219．解：由题意可知，DM＝3.4m，AA'＝BB'＝50m，A'M＝33.4m，B′M＝51.4m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线，∴A'D＝A'M﹣DM＝33.4﹣3.4＝30（m），B′D＝B′M﹣DM＝51.4﹣3.4＝48（m），在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD=AA′2在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD=BB′2∴AB＝AD﹣BD＝40﹣14＝26（m）．答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为26m．20．解：根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m．如图，设该位置为点C，且AC＝xm．由AC＝xm得：BC＝（20﹣x）m（1分）由题意得：CE＝CD，则CE2＝CD2，∴32+x2＝（20﹣x）2+132，解得：x＝14，∴CB＝20﹣x＝6，由0＜14＜20可知，该位置是存在的．答：该位置与旗杆之间的距离为6米．21．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．22．解：（1）当a＝10时，b=(102)2故答案为：24；26；（2）当a＝4时，则b=(42)2∵42+32＝52，即a2+b2＝c2，∴a，b，c是一组勾股数（答案不唯一）．23．解：（1）AD⊥CD．理由如下，理由如下：由题意，AC2＝102＝100，CD2＝82+42＝80，AD2＝22+42＝20，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD；（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=124．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，∵AB＝15m，AE＝12m，∴BE=A∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18m．（2）∵AE⊥BC，E是BC的中点，∴AC＝AB＝15m．∵AD＝17m，CD＝8m，∴CD2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ADC是直角三角形．（3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m，∴S△ACD由（1）可知，BC＝18m，∴S∴这块空地得面积为：S△ABC25．（1）证明：∵S四边形ABCD=12c2，S梯形AEDC=12（b+a）b，S△BED=12(a−b)