【初中数学】第五章+一元一次方程+综合专题巩固+课件++人教版数学七年级上册

人教版七年级(上)第五章

一元一次方程综合专题讲解专题目录专题一：方程中与字母系数有关的问题专题二：一元一次方程的应用专题一：方程中与字母系数有关的问题类型一：利用方程定义求字母参数例1

已知关于

x

的方程

ax－1＝x为一元一次方程，则

|a－1|的值一定为

(

)A.正数

B.非负数C.零

D.不能确定A判断方程是否为一元一次方程:③

等号两边都是整式.②

未知数的次数是1；①

只含有一个未知数；1.已知关于

x

的方程

(m2－4)x2－(m＋2)x－3＝0

是一元一次方程，则

m＝_______·22.(武汉武昌区期末)若

(a－1)x|a|－3＝0

是关于

x

的一元一次方程，求

－4a²－2[a－(2a2－a＋2)]

的值.解：根据一元一次方程的定义，得原式＝4－4a＝4－4×(－1)＝4＋4＝8.把

a＝－1代入，＝4－4a.＝－4a2－2a＋4a2－2a＋4＝－4a²－2(a－2a2＋a－2)－4a²－2[a－(2a²－a＋2)]得

a－1≠0

且|a|＝1，解得

a＝－1.类型二：利用方程的解求字母参数例2若关于

x

的方程

2x－(2a－1)x＋3＝0

的解是

x＝3，则

a＝

(

)

A.

1

B.

0

C.

2

D.

3CD例3已知关于

x

的方程

5x＋3k＝21

与

5x＋3＝0

的解相同，则

k

的值是

(

)A.－10

B.7

C.

－9

D.

83.已知关于

x

的方程

的解比方程

5(x－1)－1＝4(x－1)＋1

的解大

2

.(1)

求第二个方程的解；(2)

求

m

的值.解：(1)

将第二个方程去括号，得

5x－5－1＝4x－4＋1解得

x＝3.(2)

将

x＝3＋2＝5

代入第一个方程得解得

m＝22.类型三：求含字母参数的方程的解例4

(汉阳区期末)已知关于

x

的一元一次方程

x＋1＝2x＋a

的解为

x＝－1，那么关于

y

的一元一次方程

(y＋2)＋1＝2(y＋2)＋a的解是

(

)

A.

y

＝－1

B.

y

＝1

C.

y

＝－3 D.

y

＝3C4.已知|n＋2|＋(5m－3)2＝0，求关于

x

的方程10mx＋4＝3x＋n的解.解：由|n＋2|＋(5m－3)2＝0得n＋2＝0，5m－3＝0.n＝－2，将

m、n

的值代入方程得6x＋4＝3x－2.解方程得x＝－2.故关于

x

的方程的解是

x＝－2.专题二：一元一次方程的应用类型一：行程问题ABC甲乙路程＝速度×时间①

相遇问题：s甲＋s乙＝s总v甲t甲＋v甲t甲＝s总ABC甲乙②

追及问题：s甲－s乙＝s差(v甲－v乙)t追＝s差例1

(甘肃)《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：今有野鸭从南海起飞，7

天到北海；大雁从北海起飞，9

天到南海，现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇

?

设经过

x

天相遇，根据题意可列方程为

(

)A例2

(连云港)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十一日，问良马几何日追及之?其大意是：快马每天行

240

里，慢马每天行

150

里，慢马先行

12

天，快马几天可追上慢马?若设快马

x

天可追上慢马，由题意得

(

)

C.240(x－12)＝150xD

D.240x＝150(x＋12)例3(荔湾区期末)爸爸与小明在足球场上进行耐力训练，他们在400米的环形跑道上从同一起点沿同一方向同时出发进行绕圈跑，爸爸跑完一圈时，小明才跑完半圈，4分钟时爸爸第一次追上小明.请问：(1)小明与爸爸的速度各是多少？(2)再过多少分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50米？(1)如右图所示，分析：s爸爸－s小明＝跑道长度解：(1)

设小明的速度为

x

米/分钟，则爸爸的速度为

2x

米/分钟，答：小明的速度为

100

米/分，爸爸的速度为

200

米/分.则

2x＝200.解得：x＝100，根据题意得

4(2x－x)＝400，开始(2)第二次相遇前：分析：①

s爸爸－s小明＝50.②

s爸爸－s小明＝350.50m第一次相遇50m第一次相遇(2)

设再经过

y

分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距

50

米.①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了50

米，根据题意得

200y－100y＝50，解得

y＝0.5.50m第一次相遇答：再过0.5或3.5分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距

50

米.②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了

350

米.根据题意得

200y－100y＝350，解得

y＝3.5.50m第一次相遇例4

为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目.某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元.(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成？共耗资多少万元？

(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既要保证按时完成任务，又要最大限度节省资金并求出该种方案需要耗资多少万元.(时间按整周计算)类型二：工程问题解：(1)设甲、乙两工程队合作施工，需要

x

周完成.根据题意，得解得

x＝2.

所以(8＋3)×2＝22(万元).

答：甲、乙两工程队合作施工，需要

2

周完成，共耗资22万元.(2)

设先由甲、乙两工程队合作施工

y周，剩下的由乙单独完成.根据题意，得解得

y＝1.所以

4－1＝3.所以

(8＋3)×1＋3×3＝20(万元).答：先由甲和乙两工程队合作施工1

周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金.例5(吉林)《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出

5

钱，还缺

45

钱；每人出

7

钱，还缺

3

钱，问合伙人数是多少?为解决此问题，设合伙人数为

x

人，可列方程为_________________.5x＋45＝7x＋3类型三：盈亏问题（补充）1.(南充)《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸).意思是，现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余

4.5

尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余

1

尺.问长木长多少?设长木长为

x

尺，则可列方程为

(

)A例6国家速滑馆“冰丝带”，是某年北京会北京赛区标志性、唯一新建的冰上竞赛场馆.某大学冬奥志愿者负责本场馆的对外联络和文化展示服务工作，负责对外联络服务工作的有

17

人，负责文化展示服务工作的有

10

人，现在另调

20

人去两服务处支援，使得在对外联络服务工作的人数比在文化展示服务的人数的

2

倍多

5

人，问应调往对外联络、文化展示两服务处各多少人?类型四：调配、配套问题（补充）答：应调往对外联络服务处

16

人，文化展示服务处

4

人.解：设应调往对外联络服务处

x

人，则调往文化展示服务处

(20－x)

人.依题意，得

17＋x－2[10＋(20－x

)]＝5，解得

x＝16，20－x＝20－16＝4.2.某校正在开展“创建和谐校园”活动，七年级(2)班

45

名同学被平均分配到甲、乙、丙三处打扫环境卫生.甲处的同学最先完成打扫任务，班级卫生委员根据实际情况及时把甲处的同学全部调到乙丙两处支援，调动后乙处的人数恰好为丙处人数的

1.5

倍，问从甲处调往乙、丙两处各多少人?答：从甲处调往乙处

12

人，从甲处调往丙处

3

人.解：45÷3＝15(人).设从甲处调往乙处

x

人，则从甲处调往丙处

(15－x)

人.依题意，得：15＋x＝1.5×(15＋15－x)，解得：x＝12.所以

15－x＝3.例7

(河南洛阳)一个三位数，百位上的数字比十位上的数大

1，个位上的数字比十位上数字的

3

倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是

1

171，求这个三位数.等量关系：所得三位数＋原三位数＝1171.类型五：数字问题解：设十位上的数字为

x，则个位上的数字为(3x－2)，百位上的数字为(x

+1).答：原三位数是

437.解得：x＝3.100(x+1)+10x+(3x－2)+100(3x－2)+10x+(x+1)＝1171.3.(湖北)将连续的偶数

2，4，6，8，…，排成如图，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题.(1)十字框中的五个数的和等于_____；80(2)若将十字框上下左右移动，可框柱另外的五个数，设中间的数为

x

，用代数式表示十字框中的五个数的和是_____；(3)框中的五个数字之和能等于2024吗，为什么？

解：(2)设中间的数为

x，则它的其他四个数分别表示为

x－10、x－2、x＋2、x＋10.他们的和为：x＋x－10＋x－2＋x＋2＋x＋10＝5x.(3)因为框中的五个数字之和是5的倍数，

所以框中的五个数字之和能不能等于2024.例8

北京速滑项目某场次门票价格为

110

元/人，若购买团体票有如下优惠：购票人数不超过50人的部分超过50人，但不超过100人的部分超过100人的部分优惠方案无优惠每张票价优惠20%每张票价优惠50%类型五：分段收费问题某中学初一年级一班和二班全体学生准备去观看该场比赛，如果两个班作为一个团体去购票，则应付票款

10

175

元.请列一元一次方程解决下列问题：(1)

已知两个班总人数超过

100

人，求两个班总人数:(2)

在(1)条件下，若一班人数多于

50

人，二班人数不足

50人，但至少

25

人，如果两个班单独购票，一共应付票款11

374

元，求两个班分别有多少人?解：(1)

设两个班的总人数为

x

人，依题意得：50×110＋50×110×(1－20%)＋(x－100)×110×(1－50%)

＝10

175，解得：x

＝105.答：两个班总人数为

105

人.答：一班有

58

人，二班有

47

人.(2)

设一班有

y

人，则二班有(105－y)人，依题意得：50×110＋(y－50)×110×(1－20%)＋(105－

y)×110＝11

374，解得：y＝58，则二班的人数为：105－58＝47(人)，4.某地出租车收费标准如下：上车后，车辆行驶不超过

3

千米时，收费为起步价10元；超过

3

千米的部分收费为3元/千米.如果小明某次乘坐出租车后，支付了

24.1元车费，那么他上车后车辆行驶了多少千米?解：设他上车后车辆行驶了

x

千米.根据题意得10＋3(x－3)＝24.1x

＝7.7答：他上车后车辆行驶了7.7千米.例9

(泰山区期末)某校七年级准备观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于

40

人，票价每张

30

元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40

人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打

8

折；方案二：若打

9

折，有

5

人可以免票.(1)

若二班有

42

名学生，则他该选择哪个方案?(2)

一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗?类型六：方案选择问题解：(1)由题意可得，答：一班有

45

人.解得

x＝45.x×30×0.8＝(x－5)×0.9×30.(2)设一班有

x

人，根据题意得，所以若二班有

42

名学生，则他该选选择方案二.因为

1008

＞

999.方案二的花费为：(42－5)×0.9×30＝999(元)，方案一的花费为：42×30×0.8＝1008(元)，5.(广水市期末)为庆祝元旦，甲、乙两校准备联合文艺汇演，甲、乙两校共

92

人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够

90

人)准备统一购买服装(一人买一套)参加演出，下面是服装厂给出的