广东省深圳市外国语学校2025届高三数学4月综合能力测试试题理

PAGE14-广东省深圳市外国语学校2025届高三数学4月综合实力测试试题理本试卷分必做题和选做题两部分．满分分，考试时间分钟．留意事项：1．客观题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合,,则（）A.B.C.D.2.设是平面，是空间两条不重合的直线，且则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的试验室取相同的个体进行动物试验，依据四个试验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（）4．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限5.平面对量与的夹角为60°，且，为单位向量，则（）A. B. C.19 D.6.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.7.函数的图像大致是()8．已知，满意且目标函数的最大值为7，最小值为，则（）A.B.C.D.9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装饰生活或协作其他民俗活动的民间艺术,蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为()A.B.C.D.10.已知函数,且函数在上单调递增,则正数的最大值为()A. B. C. D.11.已知点，动点满意：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（）A. B. C. D.不确定12．已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（）B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.若用此数据计算得到回来直线，则由此估计当鞋码为时身高约为__________.14.已知，则二项式的绽开式中的系数为.15．中，角所对应的边分别为，已知，，，则16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知递增等差数列{}满意，数列{}满意.（Ⅰ）求{}的前项和；（Ⅱ）若，求数列{}的通项公式.18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角为.求.19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程，（Ⅱ）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点．求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.方案防控等级费用(单位:万元)方案一无措施0方案二防控1级灾难40方案三防控2级灾难10020.（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾难等级的频率分布条形图如图(乙)所示.（Ⅰ）以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾难的概率;（Ⅱ）该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾难影响,利润为500万元;若受1级灾难影响,则亏损100万元;若受2级灾难影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案:(如右表)。试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.（本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为，(Ⅰ)求的值，(Ⅱ)已知为正数,且,证明:.数学（理）试卷答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合,,则（C.）A.B.C.D.2.设是平面，是空间两条不重合的直线，且则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.【答案】B.【解析】.3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的试验室取相同的个体进行动物试验，依据四个试验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（）3.【答案】D【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选D.4．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限4.【答案】A．【解析】5.平面对量与的夹角为60°，且，为单位向量，则（B）A. B. C.19 D.6.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（C）A.B.C.D.7.函数的图像大致是()7.【答案】【解析】当时，单调递增解除，当时单调递减.8．已知，满意且目标函数的最大值为7，最小值为，则（）A.B.C.D.8.【答案】B.9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装饰生活或协作其他民俗活动的民间艺术,蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为()A.B.C.D.9．【答案】B.【详解】如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故∴黑色部分面积，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为，故选：B．10.已知函数,且函数在上单调递增,则正数的最大值为()A. B. C. D.【答案】D.【详解】依题意，又函数在上单调递增，，，，即，，得11.已知点，动点满意：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（）A. B. C. D.不确定12.【答案】A.【解析】点的轨迹方程为12．已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（）B.C.D.12.C【解析】将正四面体补形成棱长为6的正方体，则的外接球球心即为正方体的中心，故球的半径,且与面平行，到面的距离分别为和，此时到的距离为，故被球所截圆半径，从而截面圆的面积为.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.若用此数据计算得到回来直线，则由此估计当鞋码为时身高约为__________.13.【解析】，将代入回来直线可得，故当鞋码为时身高约为.14.已知，则二项式的绽开式中的系数为.14.【答案】.【解析】∴二项式的绽开式中的系数为.15．中，角所对应的边分别为，已知，，，则15..【解析】，，，，.16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.16.【答案】【解析】当且仅当时取等号；所以.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知递增等差数列{}满意，数列{}满意.（Ⅰ）求{}的前项和；（Ⅱ）若，求数列{}的通项公式.解：(Ⅰ)设数列{}公差为，由解得:,所以(Ⅱ)18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角为.，求.【解析】（I）在图1中，易证四边形为正方形，所以即在图2中，，，从而为平面与平面所成二面角的平面角，又由知，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知由，平面平面，且平面平面，又，所以平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，得：由得，，设平面的法向量，则，得，取，又，从而.19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程，（Ⅱ）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点．求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.解：（Ⅰ）易知到点的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹方程为：（4分）（Ⅱ）明显直线不与轴重合，设直线方程为：，与联立消得：，设，则，直线方程为：，所以即，同理，所以以为直径的圆方程为：，令得：，即，以为直径的圆经过轴上的两个定点和.(12分)方案防控等级费用(单位:万元)方案一无措施0方案二防控1级灾难40方案三防控2级灾难10020.（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾难等级的频率分布条形图如图(乙)所示.（Ⅰ）以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾难的概率;（Ⅱ）该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾难影响,利润为500万元;若受1级灾难影响,则亏损100万元;若受2级灾难影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案:(如右表)。试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.18．解：（Ⅰ）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事务，“水位在40米至50米之间”为事务，“水位大于50米”为事务，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾难”为事务，“水位在40米至50米之间且发生1级灾难”为事务，“水位大于50米且发生1级灾难”为事务，所以．记“该河流在8月份发生1级灾难”为事务．则．估计该河流在8月份发生1级灾难的概率为．（Ⅱ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知．的分布列为X1500－100－1000P0.810.1550.035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（Ⅰ）知，，的分布列为：X2460－1040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．（本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：21．【解析】（Ⅰ）由已知，，则为在的两个不同的零点，且，故当时，当时，所以当时单调递增，当时单调递减.故当在有两不同的实根时，，解得（Ⅱ）不妨假设，则，时，所以在单调递减，故而，设，则因为时，故，所以在单调递减，故有，即成立，即