第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计

第13章线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计13.1状态反馈与输出反馈13.2闭环系统的极点配置13.3状态观测器的设计

13.1状态反馈与输出反馈

13.1.1状态反馈状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加,其和作为受控系统的输入。多输入多输出系统的状态反馈系统如图13-1所示。

图13-1状态反馈系统结构图

图13-1中系统的状态空间表达式为

式中,A为n×n矩阵;B为n×r矩阵;C为m×n矩阵;D为m×r矩阵。

状态反馈控制律为

式中,r为r×1参考输入向量;K为r×n状态反馈矩阵。

把式(13-2)代入式(13-1)中,则状态反馈系统动态方程为

即

若D=0,则

闭环系统矩阵为

闭环特征多项式为

可见,引入状态反馈后,只改变了系统矩阵及其特征值,B、C阵均无变化。也就是状态反馈阵K的引入,并没有引入新的状态变量,也不增加系统的维数,但可通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值,从而使系统获得所要求的性能。

如果系统为单输入、单输出系统,k为1×n矩阵,即k=[k0

k1…kn-1],则称为状态反馈增益矩阵。

例13-1已知系统状态空间表达式为

试画出状态反馈系统模拟结构图。

解

其中,k=[k0

k1

k2],称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。

状态反馈系统模拟结构图如图13-2所示。图13-2例13-1状态反馈系统模拟结构图

13.1.2输出反馈

输出反馈就是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加,其和作为受控系统的控制输入。多输入多输出系统的输出反馈系统如图13-3所示。图13-3输出反馈系统模拟结构图

图13-3中系统的状态空间表达式为

输出反馈控制律为

式中,H为r×m输出反馈矩阵。

把式(13-5)代入式(13-6)中,得

把式(13-7)代入式(13-5)中,则输出反馈系统的状态空间表达式为

若D=0,则

闭环系统矩阵为

闭环特征多项式为

可见,引入输出反馈后,只改变了系统矩阵及其特征值,B、C阵均无变化。

13.1.3对两种反馈形式的讨论

以上对两种反馈形式的方框图与状态空间表达式作了介绍,下面就其特点和应用方面略加讨论。

(1)状态反馈与输出反馈的共同特点是:反馈的引入并不改变系统的状态变量数目,即闭环系统与开环系统具有相同的阶数。

(2)两种反馈构成的闭环系统能控性与原系统一致,但对于能观测性,状态反馈可能改变原系统的能观测性,而输出反馈仍保持原系统的能观测性。

(3)输出反馈相对于状态反馈,其突出优点是工程上构造方便,但事实证明输出反馈的基本形式往往不能满足给定的系统动态性能指标要求,而状态反馈可以使控制系统具有更好的特性,因而在控制工程实践中,经常采取状态反馈形式。

13.2闭环系统的极点配置13.2.1极点配置定理1.极点配置在经典控制理论中我们已经知道,系统的性能(各种动态性能)主要是由闭环极点在s平面上的位置所决定的。

在现代控制理论中,系统的极点实际上就是状态方程中系数矩阵A所对应的特征值,当系统结构确定后,A即确定,因而A所对应的特征值就随之确定,但当系统中引入状态反馈后,矩阵A就变成了A-BK,虽然A、B不能改变,但K可以人为改变,所以A-BK所对应的特征值也能任意改变,通过对反馈增益矩阵K的设计,使闭环系统的极点恰好处于s平面上所期望的位置。这种利用反馈矩阵K来改变系统闭环控制极点的方法,亦称为“极点配置”。

2.极点配置定理

设SISO系统Σ0的状态空间表达式为

通过状态反馈

能使其闭环极点任意配置的充要条件是系统Σ0完全能控。

13.2.2状态反馈增益矩阵k的计算

1.方法一

(6)根据状态反馈控制规律在等价变换前后的表达式,即

故

即

所以,计算状态反馈增益矩阵k的步骤为:

(1)计算能控性矩阵Uc,Uc-1,判断系统是否能控;

(2)根据闭环系统的期望极点计算系统的期望特征多项式:

(3)根据式(13-17)求出f*(A);

(4)根据式(13-16)求出状态反馈增益矩阵k。

例13-2已知系统的状态空间表达式为

试设计状态反馈增益矩阵k,使闭环极点配置在-1,-2上。

解(1)系统的能控矩阵

因为rankUc=2,所以系统是能控的。

故可以通过状态反馈实现闭环系统极点的任意配置

(2)期望闭环极点配置在-1,-2,由

得

(3)求状态反馈增益矩阵k,则

(4)状态反馈系统模拟结构图如图13-4所示。图13-4状态反馈系统模拟结构图

2.方法二

求解实际问题的状态反馈增益矩阵k的步骤为:

(1)计算能控性矩阵Uc,判断系统是否能控;

(2)根据闭环系统的期望极点计算系统的期望特征多项式:

(3)根据f(s)=sI-(A-bk),求出f(s);

(4)由f(s)=f*(s),求出状态反馈增益矩阵k=[k1

k2…kn]。

例13-3已知系统的状态空间表达式为

试设计状态反馈增益矩阵k,使闭环极点配置在-1,-2上。

解(1)系统的能控矩阵

系统是能控的。故可以通过状态反馈实现闭环系统极点的任意配置。

(2)令状态反馈阵,k=[k1

k2],则

(3)期望闭环系统极点配置在-1,-2,由

对比f(s)和f*(s),令系数对应相等,可得

需要说明的是:

(1)状态反馈不能改变系统的零点,只能改变系统的极点。

(2)当系统不完全能控时,状态反馈只能配置系统能控部分的极点,而不能影响不能控部分的极点。

(3)若线性定常系统Σ(A,b,c)是能控的,则状态反馈所构成的闭环系统Σk(A-bk,b,c)也一定是能控制。

(4)状态反馈可能影响系统的能观测性。当任意配置的极点与零点存在对消时,状态反馈系统的能观测性将会改变,从而不能保持原受控系统的能观测性。如果原受控系统不

含闭环零点,则状态反馈系统能保持原有的能观测性。

(5)引入状态反馈前后,系统零点不发生改变。

13.2.3采用输出反馈配置系统的极点

对完全能控的单变量系统Σ0(A,b,c),不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置,这正是输出线性反馈的基本弱点。

为了克服这个弱点,在经典控制理论中,采取引入附加校正网络,通过增加开环零极点的方法,改变根轨迹走向,使其落在指定的期望位置上。

在现代控制理论中,对完全能控的单变量系统Σ0(A,b,c),通过对动态补偿器的输出反馈,实现极点任意配置的充要条件是:

(1)系统Σ0(A,b,c)完全能观测;

(2)动态补偿器的阶数为n-1。

动态补偿器的阶数是任意配置极点的条件之一,针对具体问题时,如果并不要求任意配置极点,那么,补偿器的阶数可以进一步降低。

13.3状态观测器的设计

状态反馈可以有效地改善系统的性能,在对控制系统利用状态反馈进行极点配置时,曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈,然而实际情况中,并不是所有的状态变量都能方便地测量到,比如状态变量本身无物理意义或有些状态变量信号很微弱,在测量点易混进噪声等,都会使得状态变量无法测量或难以应用。在不易直接获得系统状态变量的情况下,可以构造一个装置对状态变量进行估计和观测,使得其输出变量无限逼近原系统的状态变量,这个装置就叫状态观测器。

13.3.1状态观测器模型

如图13-5所示,观测器与原系统数学模型相同。当观测器输入与原系统输入相同时,观测器重新构造的状态变量x^是对原系统状态变量x的估计值。由于观测器重构的状态变

量与原系统状态变量维数相同,所以这种观测器被称为全维观测器。

图13-5所示观测器为开环形式,由于其初始状态可能与原系统不完全相同,且两者的数学模型也会有些差异,另外两者受到的外界或内部的噪声干扰也可能不同,因而该开环观

测器重构的状态向量会与原系统状态向量产生较大的误差。图13-5开环观测器

假设原系统是可观测的,其状态空间方程和初始状态分别为

观测器的状态空间方程和初始状态为图13-6多变量系统的状态观测器

13.3.2观测器的定义及存在条件

13.3.3状态观测器的设计

观测器的状态方程为

其特征多项式为

其特征多项式为

(3)根据公式

求出反馈阵

2.直接代入法

例13-4已知线性定常系统

试设计观测器,使得观测器特征值为s1,2=-10。

解(1)先判断系统的能观测性,因为

满秩,所以系统能观测。

13.4带观测器的状态反馈系统

13.4.1系统的结构和状态空间表达式带观测器的状态反馈系统由三部分组成,即原系统、观测器和控制器,如图13-7所示。图13-7带状态观测器的反馈系统

设能控能观测的受控系统为

状态反馈控制为

状态观测方程为

由式(13-24)~式(13-26)得

将式(13-27)写成分块矩阵的形状,即

或

13.4.2闭环系统的基本特性

1.闭环极点设计的分离性

由观测器构成状态反馈的闭环系统,其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式sI-(A-BK)和观测器部分的特征多项式sI-(A-LC)的乘积,所以,若受控系统Σ(A,B,C)能控能观测,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行,即状态反馈增益矩阵K和观测器反馈矩阵L的设计可分别独立进行,互不干扰。这种性质被称为分离特性。

2.传递函数阵的不变性

带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵,也就是说,传递函数阵与是否采用观测器反馈无关,因此观测器渐近给出x^不影响组合系统的特性。

3.