第9章 控制系统的状态空间描述

第9章控制系统的状态空间描述9.1控制系统中状态的基本概念9.2控制系统的状态空间表达式9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空间表达式9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵9.7系统状态空间表达式的特征标准型

9.1控制系统中状态的基本概念

1.系统的状态如果给定了变量组的初始值x(t0)和t≥t0时的输入函数u(t),就能完全确定系统在t≥t0时的行为,像这种能完全描述系统时域行为的一组最小变量组称为系统的状态。需要说明的是,系统在t时刻的状态是由初始状态x(t0)和t≥t0后的输入u(t)唯一确定的,与t0时刻以前的状态和输入无关。

2.状态变量

能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。

3.状态向量

系统有n个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n个状态变量作为分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。

4.状态空间

以状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴所组成的n维正交空间,称为状态空间Xn。状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。反过来,系统在任意时刻的状态都可用状态空间中的一个点来表示。显然,系统在不同时刻下的状态,可用状态空间中的一条轨迹表示。状态轨迹的形状完全由系统在t0时刻的初态x(t0)和t≥t0时的输入函数,以及系统本身的动力学特性所决定。

例9-1在图9-1所示的RLC电路系统中,若设电压u(t)为输入,电容上的电压uC(t)为输出,则由电路理论可知,它们满足如下关系:

式中,i(t)为流过电容的电流,uC(t)为电容上的电压。图9-1RLC电路图

考虑到i(t),uC(t)这两个变量是独立的,故可选择系统的状态变量为x1(t)=i(t),x2(t)=uC(t)。状态向量为x=(x1(t)x2(t))T。状态空间则为以i(t),uC(t)为坐标轴构成的二维空间。比如,系统在任一时刻(例如t1时刻)的状态可以用图9-2中的一个点

M(i(t1),uC(t1))来描述。图9-2状态空间

9.2控制系统的状态空间表达式

9.2.1状态空间表达式的概念设系统的结构图如图9-3所示,设输入为r维,输出为m维。在经典控制理论中,传递函数只是描述系统输入量和输出量之间的关系。而在现代控制理论中,以状态空间模型描述系统行为的方法和传递函数不同,它把输入对输出的影响分成两部分来描述。图9-3系统结构图

(1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为状态方程,其一般形式为

(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变化方程式称为输出方程,其一般形式为

状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般形式为

在例9-1中,由于

假设x1(t)=i(t),x2(t)=uC(t),y(t)=x2(t)=uC(t),可列写出矩阵形式的状态空间表达式如下:

9.2.2状态空间表达式的一般形式

对于具有r个输入,m个输出,n个状态变量的系统,其状态空间表达式的一般形式用式(9-3)表示,即

若按线性、非线性、时变和定常划分,系统可分为非线性时变系统、非线性定常系统、线性时变系统和线性定常系统,对于不同类型的系统,其状态空间表达式的形式有所不同。

1.非线性时变系统

在状态空间表达式(9-3)中,若向量方程中f和g中的各元

至少包含一个元为变量x(t)和u(t)的非线性函数,并且向量函数f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)是包含t的函数时,则称相应的系统为非线性时变系统。

2.非线性定常系统

非线性系统中,向量函数f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)表达式中不显含t,则称相应的系统为非线性定常系统。

对于非线性定常系统,状态空间表达式有如下形式:

3.线性时变系统

在状态空间表达式(9-3)中,若向量方程中f和g的各元,即

都是变量x(t)和u(t)的线性函数,则称相应的系统为线性系统。且当向量函数f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)是包含t的函数时,则称相应的系统为线性时变系统。

假设多输入、多输出n阶系统中,r个输入量为u1(t),u2(t),…,ur(t),m个输出量为y1(t),y2(t),…,ym(t),n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t)。此时系统的状态空间表达式为

和

将上两式用矩阵方程的形式表示,可得出线性时变系统的状态空间表达式为

或者,状态空间表达式也可以表示为

式中,A(t)为n×n系统矩阵,即

B(t)为n×r输入矩阵,即

C(t)为m×n输出矩阵,即

D(t)为m×r直联矩阵,即

4.线性定常系统

线性定常系统中,状态空间表达式中不显含时间t,其系数矩阵A、B、C、D是不包含t的函数,所以其状态空间表达式变为

式中

9.2.3状态空间表达式的系统结构图与模拟结构图

1.系统结构图

对于线性系统状态方程和输出方程可以用结构图表示,它形象地表明了系统中信号传递的关系,图9-4为n阶线性时变系统的结构图,图9-5为线性时变系统的信号流图。由图9-4和图9-5可清楚地看出,它们既表示了输入变量对系统内部状态的因果关系,又反映了内部状态变量对输出变量的影响,所以状态空间表达式是对系统的一种完整描述。图9-4线性时变系统的结构图图9-5线性时变系统的信号流图

2.模拟结构图

在状态空间分析中,通常采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系,这种图为系统提供了一种清晰的物理图像,有助于加深对状态空间概念的理解。

绘制模拟结构图的步骤是,首先在适当的位置上画出积分器,每个积分器的输出表示对应的状态变量,积分器的数目为状态变量的个数;然后根据所给的状态方程和输出方程,画出相应的加法器和比例器;最后用箭头表示出信号的传递关系。

对于状态空间表达式

其中

系统模拟结构图如图9-6所示。图9-5线性时变系统的信号流图

9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式

实践中,我们常常会遇到不同的控制系统,不同的系统具有不同的物理机理,比如,弹簧质量系统、液位系统等,根据系统的物理机理,就可建立系统的状态空间表达式,其一般步骤如下:

(1)确定系统的输入变量、输出变量和状态变量;

(2)根据变量应遵循的有关物理(或化学)定律,列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程;

(3)消去中间变量,得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入变量的关系式和输出变量与各状态变量、输入变量的关系式;

(4)将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。

例9-2如图9-1所示RLC电路系统,试以电压u(t)为输入变量,以电容上的电压uC(t)为输出变量,列写其状态空间表达式。

解分析电路可知:

1)选择输入变量为u(t),输出变量为y(t)=uC(t),流过电容的电流i(t)和电容上的电压uC(t)作为2个状态变量,则有

(2)由电路理论可知,它们满足如下关系:

由于

可列写出矩阵形式的状态方程如下:

9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式

9.4.1微分方程中不含有输入信号的导数项一般情况下,系统的输入和输出关系由n阶微分方程描述,其微分方程的形式为

例9-3设系统的微分方程为

求系统的状态空间表达式。

则系统的状态空间表达式为

9.4.2微分方程中含有输入信号的导数项

如果单输入单输出系统的微分方程为

1.方法一

对于式(9-11)中的微分方程,引入中间变量z,令

并将原微分方程分解成如下两个方程:

选择系统的状态变量为

由式(9-12)和式(9-14)得系统状态方程为

综合式(9-13)~式(9-15),得系统输出方程为

写成矩阵形式为

若b0=0,则有

即

写成矩阵形式为

2.方法二

对于微分方程

可以选择如下的一组状态变量:

式中,β0,β1,β2,…,βn-1为n个待定系数。

由式(9-18)分别求得y及其各阶导数与状态变量之间的关系为

将式(9-21)代入式(9-22),整理得

选择β0,β1,…,βn-1,使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0,并令式(9-23)中u的系数为βn,即可解得

由式(9-18)、式(9-23)和式(9-24)得系统的状态方程为

由式(9-18)得系统的输出方程为

写成向量矩阵的形式,即

即

状态空间表达式为

例9-4对比可知,同一系统的状态空间描述是不唯一的。

9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空间表达式

9.5.1几种常见环节的状态变量图当线性系统由方框图的形式给出时,可首先将其化为模拟结构图,即将其化为积分器、放大器和比较器等各环节组成的形式。一般来说,n阶系统就有n个积分器,选择每个积分器的输出作为状态变量,并标在系统模拟结构图上,就可得到系统的状态变量图。图9-7系统方框图图9-8系统状态变量图

9.5.2由传递函数导出状态空间模型

1.由传递函数导出状态空间模型的步骤

由传递函数导出状态空间模型的步骤如下:

(1)由线性系统的传递函数绘制状态变量图。

系统的传递函数常常可以分解为一些典型一阶环节的串联或并联,由此可以根据典型环节的串并联形式将其对应的状态变量图连接起来,就能绘制出整个线性系统的状态变量图,如串联法和并联法。

(2)根据整个系统状态变量图可以列写出系统的状态空间表达式。

2.由传递函数导出状态空间模型的方法

由传递函数导出状态空间模型的方法有串联法、并联法和级联法三种方法。

1)串联法

串联法的思想是将一个n阶传递函数分解成若干个低阶传递函数的乘积,然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现,最后利用串联关系,写出原来系统的状态空间模型。下面以例9-6来说明串联法建立状态空间模型的方法。图9-9-系统串联分解图

相应的状态变量图如图9-10所示。图9-10串联结构的状态变量图

可写出系统的状态空间模型如下:

2)并联法

并联法的思想是将一个复杂传递函数分解成若干个低阶传递函数的和,然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现,最后利用并联关系写出原来系统的状态空间模型。下面以

例9-7来说明并联法建立状态空间模型的方法。图9-11并联状态变量图

可得

即

3)级联法

设n阶线性系统的传递函数为

将式(9-29)改为

根据梅逊公式,此传递函数可用图9-12所示的信号流图表示,与信号流图相对应的状态变量图如图9-13所示。图9-12信号流图图9-13状态变量图

在图9-13中,令每个积分器的输出为一个状态变量,由状态变量图写出系统的状态空间表达式为

写成矩阵形式,则其状态空间表达式为

9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵

设系统的状态空间表达式为

9.7系统状态空间表达式的特征标准型

9.7.1系统状态的线性变换

设线性定常系统状态x下的状态空间表达式为

例9-9-系统状态空间表达式为

则有

9.7.2系统的特征值和特征向量

1.n×n维系统矩阵A的特征值

对于线性定常系统

则|λI-A|=det(λI-A)称为系统的特征多项式,而|λI-A|=0为系统的特征方程,该特征方程的根称为系统的特征值。

这里A的特征值就是特征方程的根,即-1,-2和-3。

2.特征向量

设λi

是系统矩阵A的特征值,若存在一个n维非零向量pi,使Api=λipi(i=1,2,…,n)成立,则称pi

为A的对应于特征值λi的特征向量。

例9-10系统矩阵为

计算各特征值的特征向量。

系统相应于λ1=-1的特征向量为

系统相应于λ2=-2的特征向量为

3.系统特征值的不变性

由于变换矩阵p是非奇异的,因此,状态空间表达式中的系统矩阵是相似矩阵,而相似矩阵具有相同的基本特性,如行列式相同、秩相同、迹相同、特征多项式

相同和特征值相同等。

为证明线性变换下特征值的不变性,需证明|λI-A|和|λI-P-1AP|的特征多项式相同。

由于

注意到行列式|P-1|和|P|的乘积等于乘积|P-1P|的行列式,从而

这就证明了在线性变换下矩阵A的特征值是不变的。

9.7.3状态方程的对角线标准型

对于线性定常系统,若n×n矩阵A的特征值λ1,λ2,…,λn互异,即矩阵A的独立特征向量数等于n,则必存在非奇异变换矩阵P,经过变换后,可将状态方程化为对角线标准型,即

例9-11系统状态空间表达式为

试化为对角线标准型。图9-14系统信号流图

特殊情况下,如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出:

式中,λ1,λ2,…,λn是系统矩阵A的n个相异特征值。化A为对角线标准型的变换矩阵P称为范德蒙德(Vandermonde)矩阵。

例9-12考虑下列系统的状态空间表达式

试变换为对角线标准型。

那么

经线性变换后系统状态空间表达式为

线性变换前后的系统信号流图分别如图9-15(a)、(b)所示。图9-15系统信号流图

9.7.4状态方程的约当(Jordan)标准型