湖南省2024年数学中考第一轮复习微专题14圆中常用辅助线的探寻课件

微专题14圆中常用辅助线的探寻湖南2024年数学中考第一轮复习类型1

见弦连半径,得等腰三角形图形示例辅助线在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解思路结论OA=OB,∠OAB=∠OBA

B

CA

2

类型2

见弦作垂径,得直角三角形图形示例辅助线在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解思路结论AC=BC,OC2+BC2=OB2【针对训练】5.(2023·株洲炎陵模拟)筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是___________米.

7.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.(1)求此下水管横截面的半径;(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少?

类型3

见直径作弦,得90°圆周角图形示例辅助线在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解思路结论∠C=90°,AC2+BC2=AB2【针对训练】8.(2023·长沙芙蓉三模)如图,AB是☉O的直径,若∠BAC=36°,则∠ADC的度数为()A.36° B.45°C.54° D.72°C

类型4

见切线连圆心和切点,得切线垂直半径图形示例辅助线在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质以及锐角三角函数解决问题思路结论OA⊥PA【针对训练】10.(2023·长沙一模)如图,点A,B,D在☉O上,∠A=20°,BC是☉O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB的度数为()

A.20° B.40° C.50° D.80°C11.(2023·娄底一模)如图,△ABC的内切圆圆O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠DEF=53°,则∠A的度数是()A.36° B.53° C.74° D.128°C

C

【解析】(1)连接OC,则OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD,∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∴∠OAC=∠DAC,∴AC平分∠DAB;(2)连接CE,BC,∵四边形ABCE是☉O的内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠AEC+∠CED=180°,∴∠ABC=∠CED,∵AB是☉O的直径,∴∠ABC+∠BAC=90°,∴∠CED+∠BAC=90°,∵∠OAC=∠DAC,∴∠DAC+∠CED=90°,

类型5

连半径证垂直或作垂直证半径,得相切图形示例辅助线图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,进而说明PA是圆O的切线;图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,进而说明PA是圆O的切线思路结论PA是圆O的切线【针对训练】15.(2023·衡阳珠晖模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=6,∠ACB的平分线CO交AB于点O,以OB为半径作☉O.(1)请判断AC与☉O的位置关系,并说明理由;(2)求☉O的半径.【解析】(1)AC与☉O相切,理由如下:过点O作OD⊥AC于点D,∵∠ABC=90°,∴OB⊥CB,又∵OC平分∠ACB,∴OD=OB,∴AC与☉O相切;

16.(2023·长沙模拟)如图,点A,B,C是☉O上三点,且点A是弦BC所对优弧的中点,过点A作EF∥BC.(1)如图1,求证:EF是☉O的切线;(2)如图2,作射线BO交AC于点G,交☉O于点I,交直线EF于点H,当AG=3,CG=5时,求sin∠AHB的值.

17.(全等证垂直·2022·常德中考)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.【解析】(1)连接OD,∵BC⊥AB,∴∠OBC=90°,∵AD∥OC,∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠BOC=∠DOC,

18.(作垂直证半径)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,交AB于点D,以点D为圆心,DA为半径的圆与AB相交于点E,与CD相交于点F,连接EF.(1)求证:BC是☉D的切线;(2)若EF∥BC,且BC=6,求图中阴影部分的面积.

类型6

见内心连顶点,得角平分线图形示例辅助线点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题思路结论∠IAB=∠IAC【针对训练】19.如图,