2.3函数的单调性和最值（第1课时函数的单调性）课件高一上学期数学北师大版

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函数的单调性和最值第1课时函数的单调性第二章函数北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.理解函数单调性的概念.2.会根据函数的图象判断函数的单调性.3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性.基础落实·必备知识一遍过知识点1

单调性、单调区间

单调性单调递增单调递减条件设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间,如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)结论称函数y=f(x)在区间I上单调递增称函数y=f(x)在区间I上单调递减单调区间区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间单调性单调递增单调递减图象特征自左向右图象逐渐上升自左向右图象逐渐下降图示

如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.单调性是函数的局部性质

名师点睛x1,x2的三个特征:(1)同区间性,即x1,x2∈D;(2)任意性,即不可用区间D上的两个特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.思考辨析在函数单调性的定义中,能否去掉“任意”?提示

不能,不能用特殊代替一般.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数单调性定义中的“任意两个自变量的值x1,x2”可以改为“存在两个自变量的值x1,x2”.(

)(2)若函数y=f(x)在I上满足f(1)<f(2),则函数y=f(x)在I上单调递增.(

)(3)函数f(x)=在定义域上单调递减.(

)×××2.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出y=f(x)的单调区间,单调递增区间为

,单调递减区间为

.

[-2,-1]和[2,6]

[-1,2]解析

由图象可知f(x)在[-2,6]上的单调递增区间为[-2,-1]和[2,6],单调递减区间为[-1,2].3.[人教A版教材习题]画出下列函数的图象,并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性.(1)y=x2-5x-6;(2)y=9-x2.解

(1)函数y=x2-5x-6的图象如图所示.(2)函数y=9-x2的图象如图所示.由图象可知,单调区间有(-∞,0],[0,+∞).其中y=f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间[0,+∞)上单调递减.知识点2

增函数、减函数的定义

函数增函数减函数条件设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)结论称函数y=f(x)是增函数称函数y=f(x)是减函数名师点睛1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.2.若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.思考辨析若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,你能得出函数f(x)在区间(1,3)上单调递增吗?提示

不能得出.函数图象是连续的才可以得出,有的分段函数不能得出.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个函数f(x)不是增函数,就是减函数.(

)(2)若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).(

)(3)若函数f(x)为定义在R上的函数且满足f(-3)>f(3),则函数f(x)为R上的减函数.(

)×√×2.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.证明

任取x1,x2∈R且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,从而f(x1)>f(x2).因此,函数f(x)=-2x在R上是减函数.重难探究·能力素养速提升探究点一判断函数的单调性角度1利用图象判断函数的单调性【例1-1】

根据函数图象直观判断下列函数的单调性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.解

(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.规律方法

图象法判断函数单调性的注意点图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.图象如图所示.由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性【例1-2】

判断函数

的单调性.规律方法

利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,则看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.变式训练2判断函数(x<0)的单调性.探究点二利用定义证明或判断函数的单调性【例2】

证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在区间(-∞,]上单调递增.规律方法

利用定义证明或判断函数的单调性的步骤

探究点三函数单调性的应用【例3】

(1)若函数

在R上单调递增,则实数a的取值范围是

.

(0,3]★(2)已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与

的大小.规律方法

1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.2.利用函数的单调性解有关函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.3.由分段函数单调性求参数取值范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.变式训练4(1)[2024湖北武汉高一期末]已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)A★(2)已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在定义域[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.本节要点归纳1.知识清单:(1)增函数、减函数的定义;(2)函数单调性的定义及单调区间的确定.2.方法归纳:数形结合法、定义法.3.常见误区:函数具有多个单调区间时,单调区间之间用“,”与“和”连接,含参数的分段函数的单调性易忽视定义域端点处函数值的大小.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)

下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=2x+1 B.y=x2+7C.y=3-x

D.y=x2+2x+1ABD解析

函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.12345678910111213142.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(

)A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0)和(2,+∞)D.(2,+∞)C结合图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞).故选C.123456789101112131412345678910111213143.[探究点三]若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(

)B12345678910111213144.[探究点三]已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是(

)C.(0,2) D.(0,+∞)B12345678910111213145.[探究点一]函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(

)A.[-4,-2] B.[-2,1]C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]B12345678910111213146.[探究点一]若函数y=ax与y=在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上(

)A.单调递增

B.单调递减 C.先增后减

D.先减后增B12345678910111213147.[探究点二]求函数f(x)=x+(x>0)的单调区间.解

设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.当x1,x2∈(0,3]时,有x1x2-9<0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,3]上单调递减;当x1,x2∈[3,+∞)时,x1x2-9>0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[3,+∞)上单调递增.综上可知,函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是(0,3],单调递增区间是[3,+∞).12345678910111213148.下列有关函数单调性的说法不正确的是(

)A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数CB级关键能力提升练解析

根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.12345678910111213141234567891011121314A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)A解析

画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a)⇔4-a>a,解得a<2.123456789101112131410.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(

)A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)D解析

因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).123456789101112131411.若函数

是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为

.

[-3,-1]1234567891011121314(1)求m,n的值;(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.1234567891011121314(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).12345678910111213141234567891011121314C级学科素养创新练13.(多选题)下列说法正确的是(

)A.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则函数y=f(x)在R上是增函数B.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有

>-1,则函数y=f(x)+x在R上是增函数C.若对于∀x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,则函数y=f(x)在R上是增函数D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增函数,则函数y=f(x)·g(x)在R上也是增函数AB1234567891011121314解析

x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化简为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故函数f(x)在R上是增函数,故A正确;>0,则函数y=f(x)+x在R上是增函数,故B正确;C选项中,令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数,满足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数,如f(1.2)=f(1.5),故C错误;D选项中,令f(x