2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝3 B．x＝0 C．x≠3 D．x≠02．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a2•a4＝a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x3．（2分）下列变形正确的是（）A． B． C． D．4．（2分）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE的度数是（）A．28° B．56° C．62° D．24°5．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS6．（2分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．57．（2分）下列各分式中，最简分式是（）A． B． C． D．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）若分式的值为0，则x的值为．10．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为．11．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是．12．（2分）若xy＝2，x+y＝3，则（x+1）（y+1）＝．13．（2分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在点C′的位置，若∠DBC＝20°，则∠ADC′＝．14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是cm2．15．（2分）若x2+2mx+16是一个完全平方式，那么m应为．16．（2分）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片张．三、解答题（共68分）17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．18．（5分）计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．19．（4分）计算：．20．（5分）计算：÷•．21．（8分）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．22．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．23．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．24．（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG、公路CE和CD的距离相等．如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）25．（6分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．26．（6分）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．请根据上述材料解决下列问题：（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．

2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝3 B．x＝0 C．x≠3 D．x≠0【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．2．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a2•a4＝a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3．（2分）下列变形正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：A、≠，故A不符合题意．B、＝，故B符合题意．C、≠，故C不符合题意．D、≠，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4．（2分）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE的度数是（）A．28° B．56° C．62° D．24°【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DCE，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE可得结论．【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE＝28°．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．5．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．【解答】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．故选：A．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．7．（2分）下列各分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．【解答】解：A.＝，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；D.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，∵点A（0，2），∴AO＝2，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，∴0＜a＜1，∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，∴2＜m＜3，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）若分式的值为0，则x的值为4．【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．【解答】解：由题意得：x﹣4＝0且2x+1≠0，解得：x＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．10．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为70°或40°．【分析】等腰三角形一个角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；（2）当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．故答案为：70°或40°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．11．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是7．【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得4﹣4＜m＜4+4，即0＜m＜8．则符合条件的整数m的值有：1，2，3，4，5，6，7，所以整数m的最大值是7．故答案为：7．【点评】本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．12．（2分）若xy＝2，x+y＝3，则（x+1）（y+1）＝6．【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．【解答】解：∵xy＝2，x+y＝3，∴（x+1）（y+1）＝xy+x+y+1＝xy+（x+y）+1＝2+3+1＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解决本题关键．13．（2分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在点C′的位置，若∠DBC＝20°，则∠ADC′＝50°．【分析】由折叠的性质可得：∠DBC′＝∠DBC＝20°，又由四边形ABCD是长方形，即可求得∠ABC′的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ADC1．【解答】解：根据折叠的性质可得：∠DBC′＝∠DBC＝20°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC′＝∠ABC﹣∠DBC′﹣∠DBC＝90°﹣20°﹣20°＝50°，∵∠ABE+∠AEB+∠A＝∠C′DE+∠C′ED+∠C′，∠A＝∠C′，∠AEB＝∠C′ED，∴∠ADC′＝50°．故答案为：50°．【点评】此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题比较简单，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是15cm2．【分析】过P作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质得到PD＝PB＝3cm，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过P作PD⊥AC于D，∵CP平分∠ACB，∠B＝90°，∴PD＝PB＝3cm，∵AC＝10cm，∴△APC的面积＝AC•PD＝×3×10＝15（cm2），故答案为：15．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．15．（2分）若x2+2mx+16是一个完全平方式，那么m应为±4．【分析】这个完全平方式的两平方项是x和4的平方，则另一项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2m＝±8，解得m的值即可．【解答】解：∵x2+2mx+16是一个完全平方式，∴2m＝±2×1×4，解得m＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了完全平方式的应用，解题关键是熟记完全平方公式的结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍．16．（2分）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片3张．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3张．故答案为：3．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．三、解答题（共68分）17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．【分析】根据同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则解答即可．【解答】解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2＝a4﹣a6÷a2＝a4﹣a4＝0．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．18．（5分）计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．【分析】直接利用平方差公式计算，再合并同类项，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝（x2﹣16y2﹣x2）÷4y＝﹣16y2÷4y＝﹣4y．【点评】此题主要考查了整式的除法运算、平方差公式，正确运用相关运算法则是解题关键．19．（4分）计算：．【分析】利用分式的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：＝．【点评】本题主要考查分式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．（5分）计算：÷•．【分析】根据平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝•2（x﹣y）•＝2．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．21．（8分）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【分析】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可；（2）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）2x3y﹣2xy3＝2xy（x2﹣y2）＝2xy（x﹣y）（x+y）；（2）﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．22．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．23．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE与Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．24．（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG、公路CE和CD的距离相等．如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）【分析】作∠DCB的角平分线CM，作∠CBF的角平分线BN，射线CM交射线BN于点P，点P即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（6分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴EB⊥AB，∵EF⊥AD，∴AE是∠DAB平分线．