直线的一般式方程课件 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程

CONTENTSONE学习目标问题导入探究新知典例解析TWOTHRREFOUR学习目标了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；能运用直线的一般式方程解决有关问题.重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式;难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化.问题导入问题1

由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.如果我们画出这4条直线的图象，你有什么发现？x0y-77发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.探究新知直线的一般式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．(2)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．二元一次方程一条直线Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)探究新知直线方程的五种表达方式：5种形式方程局限性各常数的几何意义点斜式不能表示与x轴垂直的直线()是直线上一定点，k是斜率斜截式不能表示与x轴垂直的直线k是斜率，b是y轴上的截距两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线()、()是直线上两个不同定点截距式不能表示与x轴垂直、y轴垂直、过原点的直线a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距一般式表示所有的直线当B≠0时，-是斜率，-是y轴上的截距探究新知直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系探究新知线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则探究新知问题2

在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线.(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.

yx问题3

直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为

;化为截距式为

.探究新知两条直线的位置关系斜截式一般式方程y=,y=x+y+=0(+)x+y+=0(+)相交-0垂直=-1+平行==0或=0-0-0重合==0,且0探究新知探究新知问题3

判断下列两组直线是否平行或垂直

典例解析

由点斜式方程得

，化成一般式得x+2y―4=0．由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．由两点式得

，化成一般式方程为．典例解析变式1

已知直线l经过点B(3,-1)，且倾斜角是30°,求直线的点斜式方程和一般式方程.【解析】因为直线倾斜角是30°，所以直线的斜率所以直线的点斜式方程为化成一般式方程为典例解析例2

△ABC的一个顶点为A(-1,-4)，∠B、∠C的平分线在直线y+1=0和x+y+1=0上，求直线BC的方程.典例解析例3求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l的方程．解：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为：3x+4y+m=0，∵l经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直线方程为3x+4y―11=0．典例解析变式1

典例解析变式2

求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l的方程.【解析】因为直线l与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l的方程为，把点A（2，1）代入直线l的方程得：m=0，所以直线l的方程为：x－2y=0．典例解析1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.典例解析练习

已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.基础达标1.直线x-y+2=0的倾斜角是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°解析由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则(

)A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=04.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为(

)A.x-y+5=0 B.x-y-3=0C.x+y-5=0 D.x-y+1=0解析∵kMH==-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.7.过点P(2,-1)且与直线y+2x-5=0平行的直线方程是

.

解析设要求的直线方程为2x+y+m=0,把P(2,-1)代入直线方程可得4-1+m=0,解得m=-3,∴要求的直线方程为2x+y-3=0.8.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a=

.

BDA2x+y-3=0典例解析9.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与