初中数学+列代数式表示数量关系+考点梳理及难点突破+课件+人教版（2024）数学七年级上册

第三章代数式考点梳理及难点突破2.3.1列代数式表示数量关系第一课时代数式●

考点清单解读●

重难题型突破●

易错易混分析●

方法技巧点拨■考点一

用字母表示数意义用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来特点①简明性：可以把一般的数量关系或具有普遍意义的数量关系准确、简明地表述出来，如加法交换律可写成a＋b＝b＋a②普遍性：数与字母是特殊与一般的关系，一个字母可以表示无数个数，如正整数有无数个，可以用字母

n表示正整数续表特点③相对性：在同一个问题中，同一个字母应表示同一个量，不同字母应表示不同的量，不能混淆④条件性：用字母表示数，有时要受一定条件的限制，如字母作分母时，不能为0注意同一问题中，不同的数或数量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的数或数量可以用相同的字母表示；一个字母表示的数往往不止一个，具有任意性，但要受到实际问题的限制归纳总结（1）用字母表示数或数量关系具有一般性，仅仅是将具体的数字用字母代替了，但有些时候，字母的取值也受实际情况的制约；（2）某些特定的字母表示特定的数，如π表示圆周率，是一个常数.典例1

用含字母的式子表示：（1）某产品去年的产量是n件，今年的产量是去年产量的m倍，则今年的产量是__________件；（2）一件衣服原来卖x元，现在打九折销售，则现在是________元；（3）如果长方形的面积为20cm2，它的宽为xcm，那么它的长为____cm；（4）n的相反数是_________.对点典例剖析

■考点二

代数式定义用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.单独的一个数或字母也是代数式举例x+y，a+6，，ab，8m+9n,，a，1等都是代数式代数式意义代数式的意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义，如3x-2y的意义就是x的3倍与y的

2倍的差续表代数式的书写①表示字母与字母或者数与字母相乘，乘号“×”通常写作“·”或者省略不写，如a×b可以写成a·b或ab②省略乘号时应把数字写在字母的前面，如一般不写成a×6，要写成6a或6·a③1或-1和字母相乘时，1可以省略不写，如1×a可以写成a，-1×a可以写成-a续表代数式的书写④带分数与字母相乘时，必须把带分数先化成假分数，如2a应写成a⑤在除法算式中，通常写成分数的形式，被除数作分子，除数作分母，如b÷a写成⑥式子后面若有单位，且式子是和差的形式，应用括号把式子括起来，如（2m+3n）元；若式子是积或商的形式，则在式子后面直接写单位，如2m元，

m等

归纳总结

（1）运算符号指的是“＋”“－”“×”“÷”等，“＞”“＜”“＝”“≠”均不是运算符号，含有这些符号的式子均不是代数式；

（2）指出代数式的意义除灵活运用和、差、积、商等词语外,还要注意倒数、相反数等词语的运用，最后注意运算顺序.

对点典例剖析

［答案］D■考点三

列代数式表示数量关系含义列代数式就是把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.简言之，就是把用文字语言叙述的数量关系翻译成代数式方法（1）抓关键性词语：比如：多、少、和、差、积、商、增加、减少、扩大、缩小等都是常用的表示数量关系的词语，要掌握好它们和运算之间的对应关系续表方法（2）理清运算顺序，一般是先读先写.如：a的平方与b

的平方的和，顺序是先平方后求和，列代数式为a2+b2（3）在比较复杂的问题中，要弄清题中数量关系及运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式

典例3

下列用代数式表示“m与

n的差的平方的3倍”，正确的是（

）A．（3m-n）2

B．3（m-n）2C．3m-n2

D．（m-3n）2对点典例剖析［解题思路］［答案］

B

例1

我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中不正确的是（）A．若葡萄的价格是4元/kg，则4a表示买akg葡萄的金额B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长C．若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这条边上的高D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数［答案］

D［解析］A，B，C选项正确；D选项中若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则40+a表示这个两位数，此选项错误.变式衍生1

请为代数式6x+3y

赋予一个实际意义.

解：代数式6x+3y的意义可以是一支钢笔

x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了（6x+3y）元钱.（答案不唯一）解题通法

代数式的实际意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义.代数式要与实际问题中的数量关系保持一致.

例2

某地居民生活用水收费标准：若每月用水量不超过

10m3，则收费为a元/m3；若超过10m3，则超过部分收费为（a+1.5）元/m3，该地区某用户上月用水量为16m3，则该用户应缴水费为（

）A．10a元

B．16a元C．16（a+1.5）元

D．［10a+6（a+1.5）］元［解析］因为16m3中，前10m3的单价为a元/m3，后面6m3的单价为（a+1.5）元/m3，所以应缴水费为［10a+6（a+1.5）］元.［答案］

D变式衍生2

若原价为a元的书包，提高20%后再打八折出售，则现售价为_________元．0.96a解题通法

解答此类问题需将实际问题中的数量关系转化为用文字语言表示的数量关系，再用字母列代数式.■列代数式时漏掉括号例

“a的2倍与b的差的平方”用代数式表示，正确的是（

）A．（a-2b）2

B．2（a-b）2

C．2a-b2

D．（2a-b）2［解析］［答案］

D［易错］

C［错因］

写代数式时，遗漏括号.易错警示

当乘、除、乘方对和或差作用时，要加上括号，避免计算失误.领悟提能

根据叙述列代数式时，要认真审题，抓关键词语，如“除”与“除以”“平方的差（或平方差）”与“差的平方”等词义的区分，再根据题意列出代数式．第二课时反比例关系●

考点清单解读●

重难题型突破●

易错易混分析■考点

反比例关系意义两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系字母表达如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数续表与正比例关系比较正比例关系：变化方向相同，一个量扩大（缩小），另一个量也扩大（缩小）.相对应的两个量的比值（商）一定反比例关系：变化方向相反，一个量扩大（缩小），另一个量反而缩小（扩大）.相对应的两个量的积一定续表举例单价×数量=总价（一定）单价和数量是两个相关联的量，单价变化，数量也随着变化.当单价和对应数量的积总是一定（也就是总价一定）时，我们就称单价和购买的数量成反比例关系，单价和购买的数量是成反比例的量续表拓展已知反比例关系，求其中一个量：根据两个量之间的反比例关系，设出形如xy=k或y=（k一定）的代数式，再由已知条件求出k值，最后将已知的量代入式子从而求出另一个量归纳总结判断两个量成正比例关系还是反比例关系的方法：典例下面各题中两个量成反比例关系的是（

）①圆锥的体积V一定，它的底面积

S和高h；②加工零件的总时间T一定，加工一个零件的时间t和加工零件的总个数x；③圆的周长C一定，圆周率π和这个圆的直径d；④比的前项a一定，比的后项b和比值c.A．①②③

B．①③④C．②③④

D．①②④对点典例剖析

［答案］

D

例

给一间房子铺地砖，每块地砖的面积S和所需地砖的数量x如下表：（1）每块地砖的面积和所需地砖数量有什么关系？（2）若每块地砖的面积是0.5m2，需要多少块地砖？每块地砖的面积/m20.20.30.40.60.8…所需地砖数量/块30020015010075…［解析］（1）根据每块地砖的面积×需要的块数=铺地面积，算出每一组对应数量的乘积一定，从而进行判断；（2）将（1）中数量关系用式子表示出来，再把已知数据代入进行计算即可.［答案］

解：（1）0.2×300=60，0.3×200=60，150×0.4=60，…所以每块地砖的面积×需要的块数=铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系；

变式衍生

办公室买进一包白纸，计划每天用18张，可以用30天．每天用的张数与可用天数成_______

关系，如果每天只用a张，这包纸实际能用_______天.反比例

思路点拨

先判断两个量之间是商一定，还是积一定，然后再根据关系代入求解．解题通法

解答此类问题需观察实际问题中的数量关系，两个数量成反比例关系时，它们的乘积为定值.■混淆正、反比例关系的概念例

下面各选项中，成反比例关系的是（

）A．路程一定，速度和时间B．时间一定，路程和速度C．单价一定，总价和数量D．数量一定，总价和单价［解析］选项关系判断A速度×时间=路程（一定）速度和时间成反比例关系B