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文档简介
山东省恒台一中2024-2025学年高三下学期模拟考试(江门一模)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.2.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称3.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.4.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()①②③④⑤A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.46.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.7.函数在的图像大致为A. B. C. D.8.设是虚数单位,,,则()A. B. C.1 D.29.已知是第二象限的角,,则()A. B. C. D.10.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.11.函数的图象大致为()A. B.C. D.12.已知定义在上的可导函数满足,若是奇函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.14.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)15.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点是直线:上位于第一象限内的一点.已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为,则点的坐标__________.16.某中学数学竞赛培训班共有10人,分为甲、乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,若甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在数列中,已知,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.18.(12分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取个,求“理想数据”的个数为的概率.19.(12分)已知函数,其中.(1)当时,求在的切线方程;(2)求证:的极大值恒大于0.20.(12分)2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进行业务培训,设来自甲公司的人数为,求的分布列及数学期望.21.(12分)如图,已知四棱锥,底面为边长为2的菱形,平面,,是的中点,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若为上的动点,求与平面所成最大角的正切值.22.(10分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.2.B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.3.A【解析】
根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.4.B【解析】
满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,分别对所给函数进行验证.【详解】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,①不满足(2);②不满足(1);③不满足(2);④⑤均满足(1)(2).故选:B.本题考查新定义函数的问题,涉及到函数的性质,考查学生逻辑推理与分析能力,是一道容易题.5.D【解析】
模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.6.A【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.7.B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由的近似值即可得出结果.【详解】设,则,所以是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C.又排除选项D;,排除选项A,故选B.本题通过判断函数的奇偶性,缩小考察范围,通过计算特殊函数值,最后做出选择.本题较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.8.C【解析】
由,可得,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解:,,解得:.故选:C.本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题,易错点是把当成进行运算.9.D【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.10.A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.11.A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.12.A【解析】
构造函数,根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数,求得的值,由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数,依题意可知,所以在上递增.由于是奇函数,所以当时,,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集为.故选:A本小题主要考查构造函数法解不等式,考查利用导数研究函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.14.-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.15.【解析】
依题意画图,设,根据圆的直径所对的圆周角为直角,可得,通过勾股定理得,再利用两点间的距离公式即可求出,进而得出点坐标.【详解】解:依题意画图,设以为直径的圆被直线所截得的弦长为,且,又因为为圆的直径,则所对的圆周角,则,则为点到直线:的距离.所以,则.又因为点在直线:上,设,则.解得,则.故答案为:本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.16.【解析】
根据茎叶图中的数据,结合平均数与中位数的概念,求出x、y的值.【详解】根据茎叶图中的数据,得:甲班5名同学成绩的平均数为,解得;又乙班5名同学的中位数为73,则;.故答案为:.本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数,考查数据分析能力,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】
(1)由已知变形得到,从而是等差数列,然后利用等差数列的通项公式计算即可;(2)先求出数列的通项,再利用裂项相消法求出即可.【详解】(1)由已知,,即,又,则数列是以1为首项3为公差的等差数列,所以,即.(2)因为,则,所以,又是递增数列,所以,综上,.本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道基础题.18.(1)乙同学正确;(2).【解析】
(1)根据变量且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点,判断出乙正确.(2)由线性回归方程得到的估计数据,计算出误差,求得“理想数据”的个数,由此利用古典概型概率计算公式,求得所求概率.【详解】(1)已知变量具有线性负相关关系,故甲不正确,,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:(2)由(1)得到的回归方程,计算估计数据如下表:021212由上表可知,“理想数据”的个数为.用列举法可知,从个不同数据里抽出个不同数据的方法有种.从符合条件的个不同数据中抽出个,还要在不符合条件的个不同数据中抽出个的方法有种.故所求概率为本小题主要考查回归直线方程的判断,考查古典概型概率计算,考查数据处理能力,属于中档题.19.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求导,代入,求出在处的导数值及函数值,由此即可求得切线方程;(2)分类讨论得出极大值即可判断.【详解】(1),当时,,,则在的切线方程为;(2)证明:令,解得或,①当时,恒成立,此时函数在上单调递减,∴函数无极值;②当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴;③当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴,综上,函数的极大值恒大于0.本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.20.(1),乙公司影响度高;(2)见解析,【解析】
(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【详解】(1)由直方图知,,解得,由频数分布表中知:,解得.所以,甲公司的导游优秀率为:,乙公司的导游优秀率为:,由于,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在中的有人,乙公司旅游总收入在中的有2人,故的可能取值为1,2,3,易知:,;.所以的分布列为:123P.本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,是一道中档题.21.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由底面为边长为2的菱形,平面,,易证平面,可得;(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)易知为与平面所成的角,在中,可求得.试题解析:(Ⅰ)∵四边形为菱形,且,∴为正三角形,又为中点,∴;又,∴,∵平面,又平面,∴,∴平面,又平面,∴;(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)知平面,∴为与平面所成的角,在中,,最大当且仅当最短,即时最大,依题意,此时,在中,,∴
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