山东省鄄城一中下学期2025届高三年第二学期期中数学试题试卷含解析

山东省鄄城一中下学期2025届高三年第二学期期中数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的面积是,,,则（）A．5 B．或1 C．5或1 D．2．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形3．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．4．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．5．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．6．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．7．复数的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．10．已知函，，则的最小值为（）A． B．1 C．0 D．11．设集合则（）A． B． C． D．12．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则()A．2020 B．4038 C．4039 D．4040二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量，且，则______14．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______．15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．16．若，且，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.18．（12分）设数列的前n项和满足，，，（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔（2）设，求证：.19．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积21．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款7折8折9折原价（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.2．C【解析】

利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以当时，为直角三角形；当时即，为等腰三角形；的形状是等腰三角形或直角三角形故选：．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3．D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.4．D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，，故选：D.该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.5．A【解析】

由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．6．D【解析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，故选D．本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.8．C【解析】试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．9．A【解析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．B【解析】

，利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，又，，故当，即时，.故选：B.本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.11．C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.本题考查了交集运算，属于简单题.12．D【解析】

计算，代入等式，根据化简得到答案.【详解】，，，故，，故.故选：.本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.1【解析】

根据原则，可得，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：随机变量，则期望为所以故答案为：本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.14．【解析】

先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在和两处取得极值，所以是方程的两不等实根，且，即有两不等实根，且，令，则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，又，由得，所以，当时，，即函数在上单调递增；当，时，，即函数在和上单调递减；当时，由得，此时，因此，由得.故答案为本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.15．【解析】

代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解：双曲线经过点,,解得,即．又,故该双曲线的准线方程为：．故答案为：．本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.16．8【解析】

利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.已知，求解（）的最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.【详解】（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴，则,即.（2），∴，联立可得，（舍）或，公共点(，3)，化为极坐标(2，)．本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）证明见解析，；（2）证明见解析【解析】

（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；（2），求和即可.【详解】（1），，两式相减：①用换，得②②—①，得，即，所以数列是等差数列，又，∴，，公差，所以.（II）.本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.19．（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】

(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得曲线的直角坐标方程为，即，则曲线的极坐标方程为，即，又因为曲线的极坐标方程为，即，根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数，），把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，，，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，，，，，即，，，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.解法2：设直线的极坐标方程为），代入曲线的极坐标方程，得，，把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，，即，，曲线的参，即，，，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．（1），；（2）.【解析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．【详解】（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为；（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，，点到射线的距离为的面积为.本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.21．（1），（2）【解析】

（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.【详解】（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，因为，整理得，又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；（2）由（1）可知，，，即.此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方