2025年高考数学一轮复习-集合与常用逻辑用语、不等式(能力提升卷)【含答案】

集合与常用逻辑用语、不等式(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{3，4，5}，B＝{1，2，5}，则{1，2}＝()A.A∩B B.(∁UA)∩BC.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩(∁UB)2.已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是存在量词命题，且是真命题B.p的否定是全称量词命题，且是假命题C.p的否定是全称量词命题，且是真命题D.p的否定是存在量词命题，且是假命题3.使得“x＞1”成立的一个必要不充分条件是()A.x2＞1 B.x3＞1 C.eq\f(1,x)＞1 D.x＞24.已知U为全集，非空集合A，B满足A∩(∁UB)＝∅，则()A.A⊆BB.B⊆AC.(∁UA)∩(∁UB)＝∅D.(∁UA)∪(∁UB)＝U5.在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A.y＝x＋eq\f(1,x) B.y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C.y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4)) D.y＝ex＋eq\f(4,ex)－26.已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1，3).若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，2] B.(－∞，4]C.[2，＋∞) D.[4，＋∞)7.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则下列选项中符合题意的整数x为()A.8 B.127 C.37 D.238.数学里有一种证明方法叫做proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示的图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b,则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a＞0，b＞0)D.a2＋b2≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若不等式x2－2x－3≤0对任意x∈[a，a＋2]恒成立，则实数a的值可能为()A.－2 B.－1 C.eq\f(1,2) D.210.已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27＜0}，则下列命题中正确的是()A.若A＝B，则a＝－3B.若A⊆B，则a＝－3C.若B＝∅，则a≤－6或a≥6D.若BA，则－6＜a≤－3或a≥611.已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，则()A.3a－4b＞eq\f(\r(3),3) B.eq\r(a)＋2eq\r(b)≤1C.log2a＋log2b≤－6 D.a2＋16b2＜eq\f(1,8)12.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.下列说法正确的是()A.若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环B.若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C.若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD.若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[0，2]∈F三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.伟人毛泽东的《清平乐·六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).14.能够说明“若a＞b，则eq\f(1,a＋\r(3,a))＜eq\f(1,b＋\r(3,b))”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为________.15.已知正实数a，b，c满足a＋b＝ab，eq\f(a＋b＋c,abc)＝1，则a＋2b的最小值为________，c的取值范围是________.16.设m，a∈R，f(x)＝x2＋(a－1)x＋1，g(x)＝mx2＋2ax＋eq\f(m,4).若“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，则实数m的取值范围是________.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立.(1)若g(x)＝eq\f(f（x）,x)，x＞0，求函数g(x)的最小值；(2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))恒成立，求实数t的取值范围.18.(10分)设集合S＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数不大于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A，B)的个数为Pn.(1)求P2的值；(2)求Pn的表达式.参考答案1.B[法一由全集和补集的概念，得∁UA＝{1，2}，∁UB＝{3，4}，又由交集的定义知A∩B＝{5}，(∁UA)∩B＝{1，2}，A∩(∁UB)＝{3，4}，(∁UA)∩(∁UB)＝∅，故选B.法二由全集和补集的概念，得∁UB＝{3，4}，易知1∉A，排除A，C，1∉(∁UB)，排除D，故选B.]2.A解析：命题p：∀x∈R，sinx≥0，该命题为假命题.p的否定是存在量词命题，且是真命题.故选A.3.A[对于A选项，由x2＞1得x＞1或x＜－1，因为{x|x＞1}是{x|x＞1或x＜－1}的真子集，所以x2＞1是x＞1的必要不充分条件，A正确；对于B选项，由x3＞1得x＞1，所以x3＞1是x＞1的充要条件，B错误；对于C选项，由eq\f(1,x)＞1得0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1是x＞1的既不充分也不必要条件，C错误；对于D选项，x＞2是x＞1的充分不必要条件，D错误，故选A.]4.A[如下图所示：∵A∩(∁UB)＝∅，由图可知，A⊆B，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA，故选A.]5.D[对于选项A，①当x>0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，②当x<0时，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A不合题意.对于选项B，由于0<x<eq\f(π,2)，因此0<sinx<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意.对于选项C，函数的关系式转换为y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥eq\f(5,2)，故C不合题意.故选D.]6.D[由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝－\f(b,－2)＝\f(b,2)，,（－1）×3＝－\f(c,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝6，))所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.因为对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立.因为y＝2x2－4x－2在[－1，0]上的最大值为4，所以m≥4.故选D.]7.D[因为8＝7×1＋1，则8∉C，选项A错误；127＝3×42＋1，则127∉A，选项B错误；37＝3×12＋1，则37∉A，选项C错误；23＝3×7＋2，故23∈A，23＝5×4＋3，故23∈B，23＝7×3＋2，故23∈C，则23∈(A∩B∩C)，选项D正确；故选D.]8.B[由图可知，OC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(a＋b,2)，OD＝|OB－BD|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))，在Rt△OCD中，CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝eq\r(\f(a2＋b2,2))，显然OC≤CD，即eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).故选B.]9.BC[不等式x2－2x－3≤0的解集是[－1，3]，因为不等式x2－2x－3≤0对任意x∈[a，a＋2]恒成立，所以[a，a＋2]⊆[－1，3]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋2≤3，))解得－1≤a≤1，结合选项，所以a的值可能是－1，eq\f(1,2).故选BC.]10.ABC[A＝{x∈R|－3＜x＜6}，若A＝B，则a＝－3，且a2－27＝－18，故A正确；当a＝－3时，A＝B，故D不正确；若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；当B＝∅时，a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确.]11.ABC[对于A，因为a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以8b＝1－2a，则2a－8b＝2a－(1－2a)＝4a－1＞－1，所以32a－8b＞3－1＝eq\f(1,3)，所以3a－4b＝eq\r(32a－8b)＞eq\f(\r(3),3)，故A中式子正确；对于B，(eq\r(2a)＋eq\r(8b))2＝2a＋8b＋2eq\r(2a·8b)＝1＋2·eq\r(2a·8b)≤1＋(2a＋8b)＝2，所以eq\r(2a)＋eq\r(8b)≤eq\r(2)，当且仅当2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)时取等号，故eq\r(a)＋2eq\r(b)≤1，故B中式子正确；对于C，log2(2a)＋log2(8b)＝log2(16ab)≤log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋8b,2)))eq\s\up12(2)＝－2，当且仅当2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)时取等号，故log2(2a)＋log2(8b)＝1＋log2a＋3＋log2b≤－2，则log2a＋log2b≤－6，故C中式子正确；对于D，已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以(2a＋8b)2≤2(2a)2＋2(8b)2，即1≤8a2＋128b2，即a2＋16b2≥eq\f(1,8)，当且仅当2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)时取等号，故D中式子错误.]12.ABC[对于A，由题意得F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；对于B，若U＝{a，b，c}，则U的子集有8个，其所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；对于C，如F＝{∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}满足环的要求，且含有4个元素，{2}，{3，5}∈F，故C正确；对于D，令A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(∁UB)＝[0，2)∈F，B∩(∁UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，设C＝[0，2)，则A∩(∁UC)＝[2，3]∈F，设D＝[0，4]，E＝[2，3]，则D∩(∁UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上∅，F中至少有8个元素，故D错误.故选ABC.]13.必要不充分[设綈p为不到长城，推出綈q非好汉，即綈p⇒綈q，则q⇒p，即为好汉⇒到长城，故“到长城”是“为好汉”的必要不充分条件.]14.1，－1(答案不唯一)[只要第1个数大于0，第2个数小于0即可，即a＞0＞b，故答案可取a＝1，b＝－1.]15.3＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))[由a＋b＝ab，得(a－1)(b－1)＝1.又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，且a＝eq\f(1,b－1)＋1，则a＋2b＝eq\f(1,b－1)＋1＋2b＝eq\f(1,b－1)＋2(b－1)＋3≥2·eq\r(\f(1,b－1)×2（b－1）)＋3＝2eq\r(2)＋3，当且仅当eq\f(1,b－1)＝2(b－1)，即b＝1＋eq\f(\r(2),2)时等号成立，所以a＋2b的最小值为3＋2eq\r(2).因为a＋b＝ab≥2eq\r(ab)，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以ab的取值范围是[4，＋∞).由eq\f(a＋b＋c,abc)＝1，得c＝eq\f(a＋b,ab－1)＝eq\f(ab,ab－1)＝1＋eq\f(1,ab－1).因为ab≥4，所以0＜eq\f(1,ab－1)≤eq\f(1,3)，所以1＜1＋eq\f(1,ab－1)≤eq\f(4,3)，即c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))).]16.[6，＋∞)[∵f(x)＞0在R上恒成立，∴Δ1＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3.若g(x)＞0在R上恒成立，首先m≤0都不满足，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ2＝4a2－m2＜0，))解得－eq\f(m,2)＜a＜eq\f(m,2).∵“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)≤－1，,\f(m,2)≥3，,m＞0，))解得m≥6.]17.解(1)∵对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立，∴ax2－x＋2－4a≥0对x∈R恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝1－4a（2－4a）≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,（4a－1）2≤0，))解得a＝eq\f(1,4)，∴f(x)＝eq\f(1,4)x2＋x＋1.∵g(x)＝eq\f(f（x）,x)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)＋1，x＞0，又eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(\f(x,4)·\f(1,x))＝1(当且仅当eq\f(x,4)＝eq\f(1,x)，即x＝2时取等号)，∴g(x)min＝1＋1＝2.(2)由f(x＋t)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))得：eq\f(1,4)(x＋t)2＋(x＋t)＋1＜eq\f(1,4)·eq\b\