2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的基本问题-专项训练【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分训练.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\数学课件\\高分训练.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陈丽2022年\\2022\\课件\\二轮\\2023版创新设计二轮专题复习数学新教材通用版（鲁津京……）\\教师word文档\\板块四平面解析几何\\高分训练.tif"INET2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的基本问题-专项训练一、基本技能练1.双曲线y2－2x2＝1的离心率是()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)2.设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝()A.4 B.5C.6 D.73.已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq\r(2)，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－eq\f(1,2) B.x＝－1C.x＝－2 D.x＝－44.“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为eq\f(π,3)，则C的离心率为()A.eq\f(2\r(3),3) B.2C.eq\r(3) D.36.直线y＝kx(k>0)与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一、第三象限分别交于P，Q两点，F2是C的右焦点，有|PF2|∶|QF2|＝1∶eq\r(3)，且PF2⊥QF2，则C的离心率是()A.eq\r(3) B.eq\r(6)C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(6)＋17.已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝eq\f(\r(3),2)，则M的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D.eq\f(x2,5)＋y2＝18.已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.2eq\r(2)9.(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则()A.C的离心率为eq\f(\r(2),2) B.△PF1F2的周长为5C.∠F1PF2<90° D.1≤|PF1|≤310.(多选)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有()A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为211.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.12.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________.二、创新拓展练13.(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则()A.||PA1|－|PA2||＝2aB.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为eq\r(5)C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝eq\f(π,10)14.(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上任意一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，圆I与PF1的切点为M，PI与x轴的交点为N，则以下结论正确的有()A.eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))有最大值a2B.内切圆I面积有最大值eq\f(πb2c2,（a＋c）2)C.若|PM|＝eq\f(1,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率为eq\f(1,2)D.若∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，则eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(1,|PN|)15.设点F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为________.16.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案B解析双曲线方程化为eq\f(y2,1)－eq\f(x2,\f(1,2))＝1，则a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，从而e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),2)，故选B.2.答案C解析因为抛物线为y2＝4x，所以p＝2，设A，B两点横坐标为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则eq\f(x1＋x2,2)＝2，即x1＋x2＝4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6，故选C.3.答案B解析由抛物线的方程可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，不妨设P在x轴上方，则y2＝2p×8，可得yp＝4eq\r(p)，则S△OFP＝eq\f(1,2)|OF|·yp＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×4eq\r(p)＝2eq\r(2)，解得p＝2，所以准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1，故选B.4.答案B解析因为k＝3时，eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示圆，故充分性不成立.若eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))∴1<k<5且k≠3，∴必要性成立.故“1<k<5”是“方程eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.答案A解析双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，由题意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(3),3)，故选A.6.答案C解析由对称性可知四边形PF1QF2为平行四边形，又由PF2⊥QF2得四边形PF1QF2为矩形，∴|PQ|＝|F1F2|＝2c，又|PF2|∶|QF2|＝1∶eq\r(3)，∴|QF2|－|PF2|＝(eq\r(3)－1)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1，故选C.7.答案B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝eq\r(3)，|AF|＝2|PF|＝eq\r(3).∴|AF1|＋|AF|＝2eq\r(3)＝2a，∴a＝eq\r(3).∴椭圆M的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，故选B.8.答案D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M，N，E，易知C，E横坐标相等，|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，同样圆心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2D＝eq\f(θ,2)，∠CF2O＝90°－eq\f(θ,2)，在△CEF2中，tan∠CF2O＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(θ,2)))＝eq\f(r1,|EF2|)，在△DEF2中，tan∠OF2D＝taneq\f(θ,2)＝eq\f(r2,|EF2|)，由r1＝2r2，可得2taneq\f(θ,2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(θ,2)))＝eq\f(1,tan\f(θ,2))，解得taneq\f(θ,2)＝eq\f(\r(2),2)，则直线l的斜率为tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(\r(2),1－\f(1,2))＝2eq\r(2)，故选D.9.答案CD解析对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝eq\r(4－3)＝1，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，A错误；对于B，由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误；对于C，当P为椭圆短轴端点时，taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(c,b)＝eq\f(\r(3),3)，∴tan∠F1PF2＝eq\f(2tan\f(∠F1PF2,2),1－tan2\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(\f(2\r(3),3),1－\f(1,3))＝eq\r(3)，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，∴∠F1PF2<90°，C正确；对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正确.故选CD.10.答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·eq\f(m＋2,2)，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为eq\r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，故D错误.故选BC.11.答案2解析y2＝2px准线方程为x＝－eq\f(p,2)，则－eq\f(p,2)＝－1，∴p＝2.12.答案x2－eq\f(y2,4)＝1(答案不唯一)解析依题意，不妨取b＝2，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,b＝2，,c2＝a2＋b2，))解得a＝1，b＝2，c＝eq\r(5).所以满足题设的一个标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.二、创新拓展练13.答案BCD解析对于A：在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，故||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，设焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m－c)×\f(b,a)＝－1，,b×\f(m＋c,2)－a×\f(n,2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(a2－b2,c)，,n＝\f(2ab,c)，))即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,c)，\f(2ab,c)))，由题意该对称点在双曲线上，故eq\f(（a2－b2）2,a2c2)－eq\f(（2ab）2,b2c2)＝1，将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，∴e＝eq\r(5)，故B正确；对于C：双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，则xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝a2，所以xeq\o\al(2,0)－a2＝yeq\o\al(2,0)，故kPA1·kPA2＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝1，故C正确；对于D：双曲线为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C项中的结论kPA1·kPA2＝1，即有tanθ·tan4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋4θ＝eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,10)，即∠PA1A2＝eq\f(π,10)，故D正确.故选BCD.14.答案BCD解析对A：eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－c2≤b2，故A不正确；对B：由等面积法，内切圆I的半径r＝eq\f(S△PF1F2,a＋c)≤eq\f(bc,a＋c)，所以内切圆面积有最大值eq\f(πb2c2,（a＋c）2)，故B正确；对C：|PM|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，2|PM|＋2c＝4c＝2a，椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，故C正确；对D：若∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，由角平分线性质得则eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(1,|PN|)，故D正确.故选BCD.15.答案0(答案不唯一)解析当m＝0时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，由椭圆方程可知a2＝4，b2＝1，c2＝3，因为c>b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点.使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0成立的点恰好有4个.所以实数m的一个取值可以为0.16.答案1＋eq\f(\r(3),2)解析由题意，可设椭圆长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，不妨设P为双曲线右支