2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分校八年级第一学期期中数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，73．下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣14．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（）A． B． C． D．5．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．6．如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，则∠2的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．若关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜﹣18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点（）A．7 B．9 C．11 D．149．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．110．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点（）A．12 B．15 C．16 D．18二.填空题（共6小题，每小题4分，共计24分）11．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为．12．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是．14．已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且cm2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，DF＝b，连接AE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝．三.解答题（共7小题，满分66分）17．解不等式（组）：（1）2x﹣3（x+1）≥1；（2），并求出它的所有数解的和．18．图1，图2，图3均是边长为1的正方形网格，点A，B均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图（保留痕迹，不要求写作法）．（1）在图1中以线段AB为腰作一个等腰锐角三角形ABC；（2）在图2中以线段AB为腰作一个等腰钝角三角形ABD；（3）在图3中以线段AB为边作一个四边形ABEF，使其为轴对称图形．19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD与BC交于点P（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．20．如图，在△ABC中，点D在AB上，E为BD的中点，F为AC的中点，连接AM．（1）求证：EF＝；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．21．好笋知时节，当春乃发生．竹笋是中国传统佳肴，味香质脆，出产普通毛笋的地方也很多，但称得上精品毛笋——“黄泥拱”的只有在大雷．已知，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元．（1）普通毛笋和精品毛笋每千克进价多少元？（2）若李先生计划总共购买20千克毛笋，但总支出不超过180元，则李先生最多可以购买多少千克的精品毛笋？22．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）23．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1＝（用x、y的式子表示）W2＝（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，该方案中管道长度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

参考答案一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．解：由图形可知，选项B为轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．2．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．解：A.1+2＝6，不能构成三角形；B.1+1＝7，不能构成三角形；C..1+2＞8，能构成三角形；D.1+5＜3，不能构成三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣1【分析】所选取的a的值符合题设，则不满足结论即作为反例．解：当a＝﹣1时，满足|a﹣1|＞3，所以a＝﹣1可作为证明命题“若|a﹣1|＞7．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（）A． B． C． D．【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；选项B根据“同小取小”判断即可；选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．解：A、不等式组的解集为x≥2；B、不等式组的解集为x＜1；C、不等式组的解集为7＜x≤2；D、不等式组的解集为1≤x＜6；故选：C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．6．如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，则∠2的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝30°，根据角的和差求出∠ABD＝75°，根据平行线的性质求解即可．解：如图，∵BC＝AC，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠2＝45°，∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝75°，故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解题的关键．7．若关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜﹣1【分析】由于在求不等式（1﹣a）x＞3解集的时候，不等号的方向发生了改变，可以判定1﹣a＜0，即可解得a的取值．解：∵不等式（1﹣a）x＞3的解集为x＜，∴1﹣a＜8，解得a＞1．故选：B．【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知在不等式两边都除以一个负数时，不等号的方向改变是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点（）A．7 B．9 C．11 D．14【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FBAF+FB的长．解：∵ED是线段AB的垂直平分线，∴A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，∵AP＝PB，∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，当A、P、F三点共线时，∵F为BC边的中点，AB＝AC，∴AF⊥BC，，∴，∵BC＝3，∴AF＝8，∴△PBF周长＝AF+FB＝8+7＝11，∴△PBF周长的最小值为11，故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC与OA＞OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP+PQ的最小值为FQ的长，根据解直角三角形即可得到结论．解：如图，作点B关于CE的对称点F，EF，∵∠B+∠C＝150°，∴∠BEC＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，则BP＝FP，∴BP+QP＝FP+PQ，∴当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，此时，Q为EB的中点，∵DA⊥AB．DA＝6cm，∴AE＝6cm，∴Rt△QEF中，FQ＝，∴BP+PQ最小值值为18，故选：D．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二.填空题（共6小题，每小题4分，共计24分）11．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．解：命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．故答案为如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．12．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为8或6．【分析】由于长为6的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．解：当腰为6时，另一腰也为6，∵7+6＝12＞8，20﹣12＝5∴三边能构成三角形．底边的长为8，当底为6时，腰为（20﹣4）÷2＝7，∵2+7＞6，∴三边能构成三角形．故答案为：3或6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是80°．【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝4∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．14．已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且4cm2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．解：∵F为CE中点，∴，∵E为AD中点，∴，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝25或16s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC＝AB•CD＝，∴CD＝＝＝24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，CP＝24cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）3+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时．故答案为：25或16．【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用以及分情况讨论．16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，DF＝b，连接AE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝3．【分析】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（负值舍去）代入进行计算即可得到结论．解：方法一：∵图中AF＝a，DF＝b，∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，∵△ADE与△BEH的面积相等，∴，∴a2＝（b﹣a）b，∴a2＝b2﹣ab，∴8＝（）2﹣，∴，解得＝（负值舍去），∴；方法二：∵a2＝b2﹣ab，∴b4﹣a2＝ab，∴（b2﹣a8）2＝a2b8，∴b4+a4＝3a2b2，∴＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．三.解答题（共7小题，满分66分）17．解不等式（组）：（1）2x﹣3（x+1）≥1；（2），并求出它的所有数解的和．【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．解：（1）2x﹣3（x+4）≥1，去括号得：2x﹣7x﹣3≥1，移项得：3x﹣3x≥1+5，合并得：﹣x≥4，解得：x≤﹣4；（2），由①得：x＜1，由②得：x＞﹣7，∴不等式组的解集为：﹣5＜x＜1，所有数解的和：﹣7﹣3﹣2﹣8+0＝﹣10．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．18．图1，图2，图3均是边长为1的正方形网格，点A，B均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图（保留痕迹，不要求写作法）．（1）在图1中以线段AB为腰作一个等腰锐角三角形ABC；（2）在图2中以线段AB为腰作一个等腰钝角三角形ABD；（3）在图3中以线段AB为边作一个四边形ABEF，使其为轴对称图形．【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；（2）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可；（3）根据轴对称图形的定义画出图形即可．解：（1）如图所示，等腰锐角三角形ABC即为所求；（2）如图所示，等腰钝角三角形ABD即为所求；（3）如图所示，四边形ABEF即为所求；【点评】本题主要考查等腰三角形和轴对称图形的定义，熟练掌握等腰三角形和轴对称图形的定义是解题的关键．19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD与BC交于点P（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE即可得到BC＝DE；（2）先根据外角的性质求出∠BAP，进而求出∠CAE即可．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝∠D，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC＝DE；（2）解：在△APB：中，∠APC是外角，∴∠BAD＝∠CAE＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．20．如图，在△ABC中，点D在AB上，E为BD的中点，F为AC的中点，连接AM．（1）求证：EF＝；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝；（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵F为AC的中点，∴EF＝；（2）证明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F为AC的中点，∴AF＝CF，∵MF＝MF，∴△AFM≌△CFM（SAS），∴AM＝CM，∵CD＝DM+MC，∴CD＝DM+AM，∵BC＝DC，∴AM+DM＝CB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．21．好笋知时节，当春乃发生．竹笋是中国传统佳肴，味香质脆，出产普通毛笋的地方也很多，但称得上精品毛笋——“黄泥拱”的只有在大雷．已知，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元．（1）普通毛笋和精品毛笋每千克进价多少元？（2）若李先生计划总共购买20千克毛笋，但总支出不超过180元，则李先生最多可以购买多少千克的精品毛笋？【分析】（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，根据“买10千克普通毛笋的钱等于买6千克精品毛笋的钱，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买（20﹣m）千克的普通毛笋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过180元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，根据题意得：，解得：．答：普通毛笋的进价为6元/千克，精品毛笋的进价为10元/千克；（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买（20﹣m）千克的普通毛笋，根据题意得：10m+6（20﹣m）≤180，解得：x≤15，∴x的最大值为15．答：李先生最多可以购买15千克的精品毛笋．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°，进而解答．解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）在△BPC中，∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，∴∠ABC+，∴∠ABC+∠ACB＝120°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；（3）分7种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，∴∠BPC＝∠A＝；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，∴∠BPC＝∠A＝；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，∴∠BPC＝∠A+m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，∠BPC＝∠A﹣m°﹣18°；综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+18°或．【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键．23．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同当a2﹣b2＞