2025年高考数学一轮复习-数列的递推关系与通项-专项训练【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分训练.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\数学课件\\高分训练.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陈丽2022年\\2022\\课件\\二轮\\2023版创新设计二轮专题复习数学新教材通用版（鲁津京……）\\教师word文档\\板块二数列\\高分训练.tif"INET2025年高考数学一轮复习-数列的递推关系与通项-专项训练一、基本技能练1.已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，则a7＝________.2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.3.已知正项数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\r(an)，则an＝________.4.数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，则bn＝________.5.在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝eq\f(bn,3bn＋2)，n∈N*，则通项公式bn＝________.6.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln3(n≥2)，则数列{an}的通项an＝________.7.已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同学已经证明了数列{an＋1－2an}和数列{an＋1＋an}都是等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝________.8.已知数列{an}，{bn}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(bn,1－aeq\o\al(2,n))，则b2023＝________.9.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝3n(n∈N*)，且S3＝15，则S10＝________.10.已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________.11.数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.12.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，则{an}的通项公式为________.二、创新拓展练13.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))为等比数列B.{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n＋1－3)C.{an}为递增数列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝2n＋2－3n－414.(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，则()A.a4＝12 B.an＋1＝an＋n＋1C.a100＝5050 D.2an＋1＝an·an＋215.(多选)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n项记为an，数列{an}的前n项和为Sn，则()A.a60＝16 B.S18＝128C.aeq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－1 D.Seq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－k－116.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝eq\f(7an－2,an＋4)，则该数列的通项公式an＝________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案96解析因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an(n≥2)，又因为a1＝2，S2＝a1＋a2＝2a1＋1，得a2＝3，所以数列{an}从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,3·2n－2，n≥2，))所以a7＝3×25＝96.2.答案an＝eq\f(2,n（n＋1）)(n∈N*)解析由Sn＝n2an可得，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，故eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n＋1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－3,n－1)·…·eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×1＝eq\f(2,n（n＋1）).当n＝1时，a1＝1满足an＝eq\f(2,n（n＋1）).故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2,n（n＋1）)，n∈N*.3.答案221－n(n∈N*)解析将an＋1＝eq\r(an)两边取以2为底的对数得log2an＋1＝eq\f(1,2)log2an，∴数列{log2an}是以1为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，故log2an＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝21－n，即an＝221－n(n∈N*).4.答案n(n∈N*)解析由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝2，知an＋1≠0，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，因此an＋1＝3·3n－1＝3n，故bn＝log3(an＋1)＝n.5.答案eq\f(1,2n－3)(n∈N*)解析由bn＋1＝eq\f(bn,3bn＋2)，且b1＝－1.易知bn≠0，得eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(2,bn)＋3.因此eq\f(1,bn＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))，eq\f(1,b1)＋3＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))是以2为首项，2为公比的等比数列，于是eq\f(1,bn)＋3＝2·2n－1，可得bn＝eq\f(1,2n－3)，n∈N*.6.答案(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*)解析由an＝2an－1＋ln3得an＋ln3＝2(an－1＋ln3)，则{an＋ln3}是以1＋ln3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋ln3＝(1＋ln3)·2n－1，因此an＝(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*).7.答案eq\f(2n＋1－（－1）n－1,3)(n∈N*)解析因为an＋2＝an＋1＋2an，所以当n＝1时，a3＝a2＋2a1＝5.令bn＝an＋1－2an，则{bn}为等比数列.又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比数列{bn}的公比q＝eq\f(b2,b1)＝－1，所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－1)n－1.①令cn＝an＋1＋an，则{cn}为等比数列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比数列{cn}的公比q1＝eq\f(c2,c1)＝2，所以cn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＋1＋an＝2n＋1.②联立①②，解得an＝eq\f(2n＋1－（－1）n－1,3).8.答案eq\f(2023,2024)解析因为an＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(bn,1－aeq\o\al(2,n))，所以1－an＋1＝eq\f(1－an,（1－an）（1＋an）)，an＋1＝1－eq\f(1,1＋an)＝eq\f(an,1＋an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，其公差为1，首项为eq\f(1,a1)＝2，所以eq\f(1,an)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝eq\f(1,n＋1)，所以bn＝eq\f(n,n＋1)，所以b2023＝eq\f(2023,2024).9.答案120解析当n＝1时，2S1－a1＝3，解得a1＝3.又2Sn－nan＝3n，①当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝3(n－1)，②所以①－②得(n－1)an－1－(n－2)an＝3，③当n≥3时，(n－2)an－2－(n－3)an－1＝3，④所以④－③得(n－1)·an－1－(n－2)an＝(n－2)an－2－(n－3)an－1，可得2an－1＝an＋an－2，所以数列{an}为等差数列，设其公差为d.因为a1＝3，S3＝3a1＋3d＝9＋3d＝15，解得d＝2，故S10＝10×3＋eq\f(10×9,2)×2＝120.10.答案an＝2n＋n(n∈N*)解析∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴eq\f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝2，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n(n∈N*).11.答案eq\f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq\f(5,2)(n∈N*)解析∵an＋1＝3an＋2n＋1，∴eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)·eq\f(an,2n)＋1∴eq\f(an＋1,2n＋1)＋2＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋2))，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋2))是以eq\f(a1,2)＋2＝eq\f(3,2)为首项，eq\f(3,2)为公比的等比数列，∴eq\f(an,2n)＋2＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)，∴an＝3n－2n＋1，∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝eq\f(3－3n＋1,1－3)－eq\f(4－2n＋2,1－2)＝eq\f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq\f(5,2)(n∈N*).12.答案an＝eq\f(3n－（－1）n,4)(n∈N*)解析∵an＋1＝2an＋3an－1，∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3为首项，3为公比的等比数列，∴an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.①又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1为首项，－1为公比的等比数列，∴an＋1－3an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n，②由①－②得4an＝3n－(－1)n，∴an＝eq\f(3n－（－1）n,4)(n∈N*).二、创新拓展练13.答案ABD解析因为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2＋3an,an)＝eq\f(2,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))，又eq\f(1,a1)＋3＝4≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))是以4为首项，2为公比的等比数列，所以eq\f(1,an)＋3＝4×2n－1，则an＝eq\f(1,2n＋1－3)，所以{an}为递减数列，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝22＋23＋…＋2n＋1－3n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4，故ABD正确.14.答案BC解析由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴a4＝eq\f(4×（4＋1）,2)＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；a100＝eq\f(100×（100＋1）,2)＝5050，故C正确；2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝eq\f(n（n＋1）（n＋2）（n＋3）,4)，显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误.15.答案AC解析由题意可将数列分组：第一组为20，第二组为20，21，第三组为20，21，22，……，则前k组一共有1＋2＋…＋k＝eq\f(k（1＋k）,2)个数.第k组第k个数为2k－1，故aeq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－1，所以C正确.因为eq\f(10×（10＋1）,2)＝55，所以a55＝29，又eq\f(11×（11＋1）,2)＝66，则a60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，故a60＝24＝16，所以