山东省临沂市兰山区2025年高三下学期4月数学试题含解析

山东省临沂市兰山区2025年高三下学期4月数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，下列结论不正确的是（）A．的图像关于点中心对称 B．既是奇函数，又是周期函数C．的图像关于直线对称 D．的最大值是2．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．3．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1034．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A． B． C． D．5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．集合，，则=()A． B．C． D．7．的展开式中的系数是-10，则实数()A．2 B．1 C．-1 D．-28．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．若点是角的终边上一点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.14．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.15．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.16．在的展开式中，的系数为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度/℃14161820222426繁殖数量/个2530385066120218对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.18．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．参考公式：，，，．19．（12分）已知函数（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；（2）若函数，则当，时，求证：①；②.20．（12分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.①求实数的取值范围；②求证：.22．（10分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．【详解】解：，正确；，为奇函数，周期函数，正确；，正确；D：，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，，，故D错误．故选：．本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．2．C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.3．D【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.故选：.本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．B【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，，解得.故选：B.本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.5．D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.6．C【解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合，所以，故选C．本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．7．C【解析】

利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.8．C【解析】

恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.9．C【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，，时，，排除，当时，，时，，排除，符合条件，故选C.本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．D【解析】

由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题11．D【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.【详解】由题设有，故，故椭圆，因为点为上的任意一点，故.又，因为，故，所以.故选：D.本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.12．A【解析】

根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1296【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.14．3000【解析】

根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.15．【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C：（，，可得一条渐近线，一个顶点，所以，解得，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.16．【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245【解析】

（1）由散点图即可得到答案；（2）把两边取自然对数，得，由计算得到，再将代入可得，最终求得，即；（3）将代入中计算即可.【详解】解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；（2）把两边取自然对数，得，即，由.∴，则关于的回归方程为；（3）当时，计算可得；即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.18．（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（I）由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为．（II）由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元．试题解析：（I）依题意：，，，，，，则关于的线性回归方程为．（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，，．所以，总金额的分布列如下表：03006009001200总金额的数学期望为元．19．（1）（2）①证明见解析②证明见解析【解析】

（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.（2）①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.【详解】（1）由解得必过与的交点.在上取点，易得点关于对称的点为，即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.又因为，所以，，由题意，解得.（2）因为，所以.①令，则，则，且，，时，，单调递减；时，，单调递增.因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.又，所以时，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以，即，因为，所以，所以时，，即时，.本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.20．（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，，且，不恒成立，不符合题意.当时，，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21．（1）；（2）①；②详见解析.【解析】

（1）由函数在处的切线与直线垂直，即可得，对其求导并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）①已知要求等价于在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；②由①可知，是方程的两个