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第四章导数及其应用4.1.3导数的概念和几何意义4.1导数概念差商平均变化率瞬时变化率导数微商导函数

f′(x)二阶导数

求函数在某点处的导数1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(

)A．2x

B．2＋ΔxC．2 D．1答案：C

已知曲线y＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．[思路点拨]利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程．

求曲线的切线方程【点评】求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．答案：A

已知抛物线y＝2x2＋1.(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?

导数几何意义的综合应用(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8.解x0＝2.故该点坐标为(2,9)．【点评】解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．2．Δx是自变量x相对于x0的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为零．当Δx＞0(Δx＜0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(从左边)趋近于x0，Δy是相应函数值的改变量，Δy可正、可负，也可以为零．3．求切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．4．(1)函数在某点可导是曲线在该点处存在切线的充分条件，而不是必要条件．因此，求曲线上某点处的切线方程时，若这点导数不存在，则可用定义求切线方程．(2)求已知曲线过某点的切线时，要先确定该点是否为切点，切忌盲目套用公式．若该点是切点，则可以直接求出导数，即切线斜率；若该点不是切点，则可设切点坐标为(x0，y0)，联立k＝f′(x0)及y0＝f(x0)，解方程组，求出x0，y0.(3)注意语言的严密性，“曲线C在x＝x0处的切线”“曲线C在点(x0，

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