高考数学（新教材）总复习课件第一章第三节不等关系与一元二次不等式

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第三节

不等关系与一元二次不等式学习要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解

不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元

二次不等式.1.两个实数比较大小的依据(1)a-b>0⇔a>b.(2)a-b=0⇔a=b.(3)a-b<0⇔a<b.必备知识

·

整合

2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒①

a+c>b+d

.(4)可乘性:a>b,c>0⇒②

ac>bc

;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n>1).(6)可开方性:a>b>0⇒

>

(n∈N,n≥2).3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c

=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1

<x2)有两个相等实根x1=x2=-

没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解

集③

{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

R④

ax2+bx+c<0(a>0)的解

{x|x1<x<x2}⌀⌀▶提醒开口向上的二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.知识拓展1.倒数性质的四个必备结论(1)a>b,ab>0⇒

<

.(2)a<0<b⇒

<

.(3)a>b>0,0<c<d⇒

>

.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒

<

<

.2.简单分式不等式(1)

≥0(≤0)⇔

(2)

>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时,不要忘记讨论当a=0时的情形.4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔

或

(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔

或

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)a>b⇔ac2>bc2.

()(2)a=b⇔ac=bc.

()(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.

()(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.

()✕✕√✕2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A={x|x2-5x+4<0},B

={x|x2-x-6<0},则A∩B=

()A.(-2,3)

B.(1,3)C.(3,4)

D.(-2,4)B3.(易错题)若a>b>0,c<d<0,则一定有

()A.

-

>0

B.

-

<0C.

>

D.

<

D【易错点分析】误用不等式的可乘性致误.4.比较两数的大小:

+

>

+

.5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是

(-4,0]

.【易错点分析】对参数的讨论忽略二次项系数为0的情况致误.考点一比较两个数(式)的大小

关键能力

·

突破

典例1(1)已知a>b>0,m>0,则

()A.

=

B.

>

C.

<

D.

与

的大小关系不确定C(2)若a=

,b=

,比较a与b的大小.解析(1)

-

=

=

.因为a>b>0,m>0,所以b-a<0,a+m>0,所以

<0,即

-

<0,所以

<

.(2)因为a=

>0,b=

>0,所以

=

·

=

=

=log89>1,所以a>b.名师点评比较大小常用的方法

▶提醒用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、

因式分解、配方等.1.若a,b∈[0,+∞),A=

+

,B=

,则A,B的大小关系是

()A.A≤B

B.A≥BC.A<B

D.A>B解析

由题意得,B2-A2=-2

≤0,又A≥0,B≥0,所以A≥B.B2.比较

+

与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小.解析

+

-(a+b)=

=

=

=

.因为a>0,b>0,所以

≥0,故

+

≥a+b.考点二不等式性质的应用1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是()A.

<1

B.2-x<2-yC.lg(x-y)>0

D.x2>y2

解析

由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.B2.(多选题)(2020商丘九校联考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是

()A.xy>yz

B.xy>xzC.xz>yz

D.x|y|>|y|z解析

因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0<yz,故A不正确;对于B,因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B正确;对于C,因为x>y,z<0,所以xz<yz,故C不正确;对于D,当|y|=0时,x|y|=|y|z,故D不正确.ACD3.(2020河南开封模拟)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

充分性:当a>b≥0时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>b·b,此时成立.当0>a>b时,不等式a|a|>b|b|等价为-a·a>-b·b,即a2<b2,此时成立.当a≥0>b时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a>0,b>0时,

a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b.当a>0,b<0

时,a>b.当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b>

0,即a>b,故必要性成立.综上可得,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.名师点评判断不等式是否成立的三种方法:(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时,

要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用

指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.考点三一元二次不等式的解法角度一不含参数的一元二次不等式典例2(1)(2020江西模拟)已知集合A={x|x2-4x≤0},B={x|y=log2(2-x)},则A∩B

=

()A.{x|0≤x<2}

B.{x|x<2}C.{x|0≤x≤4}

D.{x|x≤4}AD.{-1,0,1,2,3}A解析(1)因为A={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},B={x|2-x>0}={x|x<2},所以A∩B={x|0≤x<2}.(2)因为B={x∈N*|x2-2x-8<0}={x∈N*|(x-4)(x+2)<0}={x∈N*|-2<x<4}={1,2,3},所以A∩B={x|-3<x<3}∩{1,2,3}={1,2}.角度二含参数的一元二次不等式典例3解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).解析原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.②当a>0时,原不等式可化为

(x+1)≥0,解得x≥

或x≤-1.③当a<0时,原不等式化为

(x+1)≤0.当

>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤

;当

=-1,即a=-2时,解得x=-1;当

<-1,即-2<a<0时,解得

≤x≤-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为

x

x≥

或x≤-1

;当-2<a<0时,不等式的解集为

x

≤x≤-1

;当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为

x

-1≤x≤

.名师点评1.解不含参数的一元二次不等式的步骤

2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将

不等式转化为二次项系数为正的形式;(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大

小关系,从而确定不等式的解集.1.(2020河南部分重点中学模拟)集合A={x|x>2},B={x|x2-2x-3>0},则A∩B=

()A.(3,+∞)

B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(2,+∞)

D.(2,3)A解析

B={x|x2-2x-3>0}=(-∞,-1)∪(3,+∞),A={x|x>2},故A∩B=(3,+∞).2.解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).解析

原不等式变形为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以a

(x-1)<0.当a>1,即

<1时,解得

<x<1;当a=1时,无解;当0<a<1,即

>1时,解得1<x<

.综上,当0<a<1时,不等式的解集为

x

1<x<

;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集为

.考点四一元二次不等式恒成立问题角度一在R上恒成立问题典例4

(2020大庆实验中学期中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任意实数x

恒成立,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,2)

B.(-∞,2]C.(-2,2)

D.(-2,2]D解析

当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;当a-2≠0,即a≠2时,有

解得-2<a<2.综上,实数a的取值范围是(-2,2].角度二在给定区间上恒成立问题典例5设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则

m的取值范围是

.解析

f(x)<-m+5可化为mx2-mx+m-6<0,令g(x)=mx2-mx+m-6=m

+

m-6,m≠0,x∈[1,3].要使g(x)<0在[1,3]上恒成立,则g(x)在[1,3]上的最大值小于零.当m>0时,易知g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,解得m<

,则0<m<

;当m<0时,易知g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,解得m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是

m

0<m<

或m<0

.角度三给定参数范围的恒成立问题典例6对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值

范围.解析

f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知,在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,所以

解得x<1或x>3.故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.名师点评1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法:(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先

求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).(2)转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x