教案三角函数的图象与性质2-教案课件-人教版高中数学必修第一册

三角函数的图象与性质

——正弦函数、余弦函数的性质

【教学目标】

1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3.掌握正弦函数y=Asin(s+e)的周期及求法。

【教学重点】

正、余弦函数的性质。

【教学难点】

正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】

一、讲解新课：

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(-8，+8)］,

分别记作：

y=sinx,xeR

y=COSX,XGR

(2)值域

~l<sinx<l,-1<COSX<1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］。

其中正弦函数y=sinx,xeR

(1)当且仅当x=1+2k〃，左eZ时，取得最大值1。

(2)当且仅当x=1+2k%,获Z时，取得最小值-1。

而余弦函数y=cosx,xeR

当且仅当x=2V,左eZ时，取得最大值1x=(2左+1)乃，々eZ时，取得最小值-1。

（3）周期性

由sin（x+2左乃）=sinx,cos（%+2上万）=cosx（左£Z）知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数“X）,如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值时,

者B有〃x+T）=〃x）,那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

由此可知，2兀，4%，…，-2万，-4%，…2•（左eZ且左片0）都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数/（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做“X）的最小正周期。

注意：

1.周期函数xe定义域加，则必有x+TeM,且若1>0则定义域无上界；TV0则定义域无

下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如/■卜°+少/卜°））

3.T往往是多值的（如y=sinx,2兀,4万，…，-2兀,-4%，…都是周期）周期T中最小

的正数叫做“X）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2左万（左eZ且左/0）都是它的周

期，最小正周期是2万

（4）奇偶性

由sin（-x）=-sinx

cos（-璜=cosx可知：y=sinx为奇函数

y=cosx为偶函数

・••正弦曲线关于原点0对称，余弦曲线关于y轴对称

（5）单调性

从二吟xe的图象上可看出:

当xe-j,|时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1。

TT%7T

当xe5，耳时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1。

结合上述周期性可知:

TTrr

正弦函数在每一个闭区间-万+2%万，5+2%万(左eZ)上都是增函数，其值从-1增大到1；在

TT劣乃

每一个闭区间-+2k7r,—+2k7r(keZ)上都是减函数，其值从1减小到-1。

余弦函数在每一个闭区间K2k-1)肛2k汨(keZ)上都是增函数，其值从-1增加到1；在每一

个闭区间［2左匹(2左+1)万］(左©Z)上都是减函数，其值从1减小到—1。

二、讲解范例:

例1：

求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。

(1)y=cosx+l,xeR；

(2)y=sin2x,xeR。

解：(1)使函数y=cosx+l,xeR取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx,xeR取

得最大值的x的集合｛xIx=2kn,kE｝。

函数y=cosx+l,xeR的最大值是1+1=2。

(2)令z=2x,那么xeR必须并且只需zwR,且使函数丫=$拘2,zwR取得最大值的z的

集合是［z［z=1+2左肛左eZ,

由2x=z=W+2k兀,

得x=工+kn

即使函数ksin2尤，xeR取得最大值的x的集合是=?+丘，左eZ

函数ksin2尤，xeR的最大值是1。

例2求下列函数的定义域：

1------

(1)y=l+———(2)y=y/cosx

解：(1)由1+sinxw。，得sinxw-1

37r

艮［J%w—+2kjt(kGZ)

・••原函数的定义域为x\x^----F2k兀、左£Z

JTJr

(2)由cosxNO得-b2Z通/——I-2k;r(kGZ)

22

TTTT

，原函数的定义域为-方+2左肛万+2%万(左eZ)

例3求函数y=-cosx的单调区间

解：由y=-COSX的图象可知：

单调增区间为12k兀,(2k+1)万](左eZ)

单调减区间为K2左-1)兀,2k用(keZ)

例4求下列三角函数的周期：1.y=sin[x+q

2.y=cos2x3.y=3sin

解：1.令z=x+g而sin(2万+z)=sinz即：/(2^+z)=/(z)

f(犬+2])+(=/(x+y71

3

周期T=2万

2.令z=2%

/.f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2»)=cos(2x+2万)=cos[2(x+乃)]

即：/(x+%)=/(%)

・・・周期丁二%

3.令z=2+2则

25

%+4万万)....

f(x)=3sinz=3sin(z+2%)=3sin(+y+2^j=3sin-^—+-\=f{x+^

I.周期7=4万

三、课堂练习:

1.求下列函数的周期：

(1)y=sin[2x+?)+2cos0了一((2)y=|sinx\(3)y=2百sinxcosx+2cos2%-1

解：(1)%=sin]2x+(J最小正周期7；=%

/=2cos(3x-V最小正周期

3

・・・T为兀72的最小公倍数2»・・・T="

(2)T=7r

(3)y=^sin2x+cos2x：.T=冗

2.直接写出下列函数的定义域、值域：

(1)y=---------(2)y=V-2cosx

1+sinx

Jr「1

解：(1)当xw2k%-工keZ时函数有意义，值域：”,+8

2|_2

（2）xe2k万+半2/+手（丘Z）时有意义，值域［0,后

3.求下列函数的最值：

(1)j=sin|3x+—|-1(2)y=sin2x-4sinx+5(3)y=3~C0SA

I4)3+cosx

解：(1)当3x+g=2丘+楙即x=普+3(丘Z)时ymax=0

当3x+^=2左左一]即》=等一?(左eZ)时ymin=—2

(2)y=(sinx-2)2+1

jr

・••当x=2左乃——左£工时max=10

2

jr

当x=2k7v--左£Z时ymin=2

2

(3)y=-l-\------当%=2左万+万左£2时,111@*=2

3+cosx

当尤=2上"左£2时,加11=」'

4.函数y=ksin%+b的最大值为2,最小值为T,求左,名的值。

k+b=2\k=3

解：当左〉0时-k+b=-^\b=-\

-k+b=2k=3

当左V0时(矛盾舍去)•**k=3b=-l

k+b=-4^b=-\

5.求下列函数的定义域：

(1)y=,3cosx-l-2cos2[(2)y=lg(2sinx+l)+J2cosx-l(3)y=Jcos(sinx)

解：（1）・:3cosx—1—2cos2x>0/.—<cosx<l