2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质考点1对数函数的概念1.(2024·河北唐山一中高一期中)与函数y=10lg(x-1)相等的函数是()。A.y=x-1x-12C.y=x-1 D.y=x答案:A解析:y=10lg(x-1)=x-1(x>1),而y=x-1x-12=x2.(2024·湖北公安一中单元检测)设集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},则下列关系中正确的是()。A.A∪B=A B.A∩B=⌀C.A=B D.A⊆B答案:D解析:由题意知集合A={x|x>0},B={y|y∈R},所以A⊆B。3.(2024·福建南安一中高一其次阶段考试)设函数f(x)=x2+1,x≤1,lgx,A.lg101 B.1C.2 D.0答案:C解析:f(f(10))=f(lg10)=f(1)=12+1=2。4.(2024·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。A.y=loga(2x) B.y=lg10xC.y=loga(x2+x) D.y=lnx答案:D解析:由对数函数的定义,知D正确。5.(2024·厦门调考)已知f(x)为对数函数,f12=-2,则f(34)=答案:4解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则loga12=-2,∴1a2=12,即a=2,∴f(x)=log2x,∴f(34)=log234=log2(6.(2024·河南中原油田一中月考)已知函数f(x)=log3x,则f(3)=。

答案:1解析:函数f(x)=log3x,则f(3)=log33=log3312=考点2对数函数的图像7.(2024·山西康杰中学高一期中)为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2x8的图像()A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度答案:A解析:由题意得,函数g(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2x8的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图像,故选8.(2024·江西九江一中单元测试)如图4-4-1-1所示,曲线是对数函数y=logax的图像,已知a取2,53,25,310,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为(图4-4-1-1A.2,53,25,310 B.C.53,2,25,310 D.53,2答案:C解析:方法一:C1,C2的底数都大于1,当x>1时图像低的底数大,所以C1,C2对应的a值分别为53,2。C3,C4的底数都小于1,当x<1时底数大的图像高,C3,C4对应的a值分别为25,310。综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为53,2,25方法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以交点横坐标小的底数小,所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为53,2,25,3109.(2024·安徽六安一中单元检测)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图像不经过()。A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案:D解析:∵a>1,∴函数y=logax的图像如图所示,函数y=loga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=logax的图像向左平移|b|(|b|>1)个单位长度,如图。由图可知函数y=loga(x-b)的图像不经过第四象限。10.(2024·安徽宣城郞溪中学高一月考)函数f(x)=xln|x|的大致图像是()。图4-4-1-2答案:A解析:依据函数的奇偶性可知,y=x是奇函数,y=ln|x|是偶函数。因为f(x)表示的为奇函数与偶函数之积,所以得到的函数是奇函数,因此解除选项C,D;当x→+∞时,f(x)→+∞,所以选项B错误。故选A。11.(2024·广东清远一中月考)已知对数函数f(x)的图像过点(8,-3),则f(22)=。

答案:-3解析:设f(x)=logax(a>0,a≠1),则-3=loga8,∴a=12。∴f(x)=log12x,f(22)=log1212.(2024·广东阳东广雅学校高一期中)函数y=loga(x-3)-2的图像过的定点是。

答案:(4,-2)解析:当x=4时,y=loga(4-3)-2=-2,即图像经过定点(4,-2)。考点3对数函数的性质13.(2024·郑州二中单元测试)函数y=2+log2x(x≥1)的值域为()。A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.[2,+∞) D.[3,+∞)答案:C解析:设y=2+t,t=log2x(x≥1)。∵t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,∴t≥log21=0。∴y=2+log2x的值域为[2,+∞)。14.(2024·广东仲元中学高一期中)已知函数f(x)=|lgx|,0<a<b,且f(a)>f(b),则()。A.ab>1 B.0<ab<1C.ab=1 D.(a-1)(b-1)>0答案:B解析:由题意得0<a<b<1或0<a<1<b。当0<a<b<1时,明显0<ab<1;当0<a<1<b时,有-lga>lgb,∴lga+lgb=lgab<0,∴0<ab<1。综上可知,0<ab<1,故选B。15.(2024·济南一中月考)已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则()。A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b答案:A解析:因为a=log23.4>1,0<b=log43.6<1,c=log30.3<0,所以a>b>c,故选A。16.(2024·河北衡水高一期中)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则()。A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)答案:B解析:画出函数f(x)=loga|x|的图像(图略),可知该函数是偶函数。因为函数在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)<f(2)=f(-2)<f(3),故选B。17.(2024·山东聊城高一上期中考试)若loga45<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围为()A.4B.4C.0,4D.0,4答案:C解析:loga45<1=logaa,当0<a<1时,a<45,即0<a<45;当a>1时,a>45,即a>1。综上,a∈18.(2024·四川凉山州模考)函数y=lg(x2-2x)的单调递增区间为()。A.[1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,1] D.(-∞,0)答案:B解析:由已知,得x2-2x>0,解得x>2或x<0。因为u=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,在(-∞,1]上是减函数,而y=lgu在(0,+∞)上是增函数,所以y=lg(x2-2x)的单调递增区间为(2,+∞),故选B。19.(2024·湖南衡阳调考)log12(a2+a+1)与log123A.logB.log12(a2+aC.log12(a2+a+1)≤D.log12(a2+a答案:C解析:∵y=log12x在(0,+∞)上是减函数,而a2+a+1=a+122+34≥34,∴log1220.(2024·江西井冈山一中单元测试)若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为()。A.1B.1C.(1,+∞)D.13,答案:D解析:∵y=loga(3a-1)恒为正值,∴0<a<1,0<3a-1<1或a>1,21.(2024·武汉外校月考)已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数x的取值范围是。

答案:-解析:由log0.45(x+2)>log0.45(1-x),得0<x+2<1-x,解得-2<x<-1222.(2024·西安调考)函数y=2x-log12(x+1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为答案:4解析:因为y=2x在[0,1]上单调递增,y=log12(x+1)在[0,1]上单调递减,所以y=f(x)=2x-log12(x+1)在[0,1]上单调递增,所以y的最大值为f(1)=21-log122=2-(-1)=3,最小值为考点4与对数函数有关的定义域、值域问题23.(2024·河北衡水高一月考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()。A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案:C解析:由x2-x>0,解得x<0或x>1,则定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选C。24.(2024·江西南昌一中高一期中)函数y=ln(x+1)-A.(-4,-1) B.(-1,1]C.(-4,1) D.(-1,1)答案:D解析:要使函数有意义,需满意x+1>0,-x2-3x25.(2024·湖南边城一中单元测试)函数y=lg(1+32-x2)的值域为A.(-∞,1) B.(0,1]C.[0,+∞) D.(1,+∞)答案:B解析:∵2-x2≤2,∴0<32-x2≤9,∴1<1+32-x2≤10,∴0<lg(1+32-26.(2024·天津南开中学月考)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的值域为答案:[-2,+∞)解析:设u=-x2-2x+3,则u=-(x+1)2+4≤4,∵u>0,∴0<u≤4。又y=log12u在(0,4]上是减函数,∴log12u≥log124,即f(x)≥-2,∴函数考点5对数函数图像与性质的基本应用27.(2024·黄冈中学月考)函数y=loga(x+k)(a>0,且a≠1)的图像恒过点(0,0),则函数y=log1a(x-k)的图像恒过点答案:(2,0)解析:由题意,得logak=0,∴k=1,∴y=log1a(x-k)=log1a(x28.(2024·深圳中学期中)已知a=2024-0.2024,b=log20240.2024,c=log0.20240.2024,则a,b,c的大小关系是(用“>”连接)。

答案:c>a>b 解析:∵y=2024x在R上是增函数,∴0<2024-0.2024<20240=1。∵y=log2024x在(0,+∞)上是增函数,∴log20240.2024<log20241=0。∵y=log0.2024x在(0,+∞)上是减函数,∴log0.20240.2024>log0.20240.2024=1。∴log0.20240.2024>2024-0.2024>log20240.2024,即c>a>b。29.(2024·济南调考)已知f(x)的定义域为[0,1],则函数f[log12(3-x)]的定义域为答案:2解析:在f(x)中,x∈[0,1],所以0≤log12(3-x)≤1,所以12≤3-x≤1,解得2≤x≤52。所以函数f[log1230.(2024·北京高校附中单元检测)已知函数f(x)=lg|x|。(1)推断函数f(x)的奇偶性;答案:解:要使函数有意义,x的取值需满意|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),∴f(-x)=f(x)。∴函数f(x)是偶函数。(2)画出函数f(x)的草图;答案:解:由于函数f(x)是偶函数,则其图像关于y轴对称,将函数y=lgx的图像对称到y轴的左侧与函数y=lgx的图像合起来得到函数f(x)的图像,如图所示。(3)利用定义证明函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数。答案:证明:设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=lg|x1|-lg|x2|=lg|x1|∵x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,∴|x1|>|x2|>0。∴x1x2>1。∴lgx1x2>0。∴f(x1)>∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。第2课时对数函数图像与性质的应用考点1对数函数图像的变换及应用1.(2024·西安中学单元测试)函数y=log2(1-x)的图像是()。图4-4-2-1答案:C解析:函数y=log2(1-x)的定义域为{x|x<1},解除A,B;由复合函数的单调性可知函数为减函数,解除D。故选C。2.(2024·南昌一中月考)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),满意0<f(x)≤1,则函数y=loga1x的图像大致是()图4-4-2-2答案:A解析:由题意得0<a<1,所以y=loga1x=-loga|x|=-logax,x3.(2024·河北衡水中学高一期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图像是图4-4-2-3中的()。图4-4-2-3答案:B解析:依题意,函数f(x)=lg(|x|-1)中,当|x|-1>0时,函数有意义,即x>1或x<-1,∴定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),且f(x)为偶函数,解除C,D。当x>1时,f(x)=lg(x-1)是增函数,解除A。综上所述,选项B正确。4.(2024·清华附中单元测评)函数f(x)=log2|2x-4|的图像为()。图4-4-2-4答案:A解析:函数f(x)=log2|2x-4|的图像可以看作是将函数y=log2|2x|的图像向右平移2个单位长度得到的,故选A。5.(2024·杭州调考)函数y=lg|x-1|的图像是()。图4-4-2-5答案:A解析:将函数y=lgx的图像沿y轴翻折后与y=lgx的图像共同组成y=lg|x|的图像,再向右平移1个单位长度得到y=lg|x-1|的图像,故A正确。6.(2024·武汉二月调考)函数f(x)=lg2A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称答案:D解析:f(x)=lg2x+1-1=lg1-x1+x,所以f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x)。又因为函数f(x)的定义域为7.(2024·郑州调考)函数f(x)=logax+b(a>0,且a≠1)的图像不经过第一象限,则a,b的取值范围分别为,。

答案:(0,1)(-∞,-1] 解析:依题意,函数必需是减函数,且y=logax的图像至少向下平移1个单位长度,故0<a<1,b≤-1。8.(2024·华中师大一附中单元检测)已知函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像过定点A,若点A也在函数f(x)=2x+b的图像上,则f(log23)=。

答案:-1解析:易知点A(2,0),又因为点A在函数f(x)=2x+b的图像上,所以22+b=0,所以b=-4,所以f(x)=2x-4,所以f(log23)=2log考点2对数函数性质的应用9.(2024·安庆一中单元测评)下列函数为奇函数的是()。A.f(x)=lg2B.f(x)=|lgx|C.f(x)=lg|x|D.f(x)=lg1答案:D解析:对于选项A中的函数f(x)=lg2x+12x,函数定义域为R,f(-x)=lg2-x+12-x=lg12x+2x=f(x),故选项A中的函数为偶函数;对于选项B中的函数f(x)=|lgx|,由于函数定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故选项B中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;对于选项C中的函数f(x)=lg|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故选项C中的函数为偶函数;对于选项D中的函数f(x)=lg1-x1+x,10.(2024·福建漳州一中期中考试)关于函数f(x)=log12(1-2x)的单调性的叙述正确的是(A.f(x)在1B.f(x)在12C.f(x)在-∞,1D.f(x)在-∞,1答案:C解析:由1-2x>0,得x<12,所以f(x)=log12(1-2x)的定义域为-∞,12。由于底数12∈(0,1),所以函数f(x)=log12(1-2x)的单调性与y=1-2x的单调性相反。因为y=1-2x在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(x11.(2024·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则不等式f(log2x)>0的解集为()。A.0B.12,C.(2,+∞)D.0,1答案:D解析:由题知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则f(1)=21-2=0,且当∈[0,+∞)时,函数f(x)单调递增,则由不等式f(log2x)>0得f(log2x)>f(1),∴f(|log2x|)>f(1),∴|log2x|>1,解之得0<x<12或x>2。故选D12.(2024·东北三校联考)设a,b,c均为正数,且2a=logA.a<b<cB.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c答案:A解析:在同一坐标系中分别画出y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12y=2x与y=log12x图像交点的横坐标为a,y=12x与y=log12x图像交点的横坐标为b,y=12x与y=log2x图像交点的横坐标为c13.(2024·江苏徐州第一中学高一期中)函数y=log答案:(3,+∞)解析:要求y=log13(x2-2x-3)=log13[(x-1)2-4]的单调递减区间,则x14.(2024·广东佛山一中高一期中)已知函数f(x)=log12(3+2x-x2),则f(x)的值域是答案:[-2,+∞) 解析:令t=3+2x-x2=-(x-1)2+4,则0<t≤4。因为y=log12t在(0,+∞)上单调递减,所以y≥log124=-2,所以函数f(x)=log12(3+2x-15.(2024·甘肃天水一中高一其次次考试)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)>0的解集是答案:0,12解析:偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0]上是减函数,f12=f-12=0,∴当x∈-∞,-12∪12,+∞时,f(x)>0,即log4x∈-∞,-16.(2024·南京模拟)关于函数f(x)=lgxx2①函数f(x)的定义域是(0,+∞);②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的最小值为-lg2;④当0<x<1时,函数f(x)是增函数;当x>1时,函数f(x)是减函数。其中正确结论的序号是。

答案:①④解析:由xx2+1>0知函数f(x)的定义域是(0,+∞),则函数f(x)是非奇非偶函数,所以①正确,②错误;f(x)=lgxx2+1=-lgx+1x≤-lg2,即函数f(x)的最大值为-lg2,所以③错误;令y=x+1x,当0<x<1时,该函数是减函数;当x>1时,该函数是增函数。而函数考点3对数函数图像与性质应用的综合问题17.(2024·陕西咸阳高一联考)已知函数f(x)=-(1)在如图4-4-2-6所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图像的草图;图4-4-2-6答案:函数图像的草图如图所示。(2)依据函数图像的草图,求函数y=f(x)的值域、单调递增区间。答案:由(1)中草图得:函数y=f(x)的值域为R,单调递增区间为(-∞,0],[1,+∞)。18.(2024·广东广雅中学单元检测)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0且a≠1)。(1)求f(x)的定义域;答案:要使函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则x+1>0,1-故函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}。(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明。答案:f(x)为奇函数。证明:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},定义域关于原点对称,且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数。第3课时对数函数及其性质的综合问题考点1指数函数与对数函数的关系1.(2024·北京西城区高一检测)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是(A.ab=1B.a+b=1C.a=b D.a-b=1答案:A解析:y=logbx的反函数为y=bx,所以函数y=bx与函数y=1ax是同一个函数,所以b=1a,即2.(2024·安徽滁州一中高一检测)点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,则f12等于()A.-2B.2C.-1D.1答案:C解析:因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图像上,所以2=loga4,即a2=4。又因为a>0,所以a=2,所以f12=log2123.(2024·广西南宁一中高一检测)已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是图4-4-3-1中的()。图4-4-3-1答案:B解析:函数y=loga(-x)的定义域是{x|x<0},图像在y轴左侧,故解除A,C。再看单调性,y=ax的单调性与y=loga(-x)的单调性正好相反,又解除D。4.(2024·湖南长珺中学单元测试)已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0=(A.-2 B.-1 C.2 D.1答案:C解析:∵y=14x的反函数是f(x)=log14x,∴f(x0)=log14x0=-12,∴x5.(2024·上海建平中学单元训测)函数y=3x的反函数是()。A.y=3-x B.y=3C.y=log3x D.y=log1答案:C解析:由y=3x得其反函数是y=log3x,故选C。6.(2024·沈阳一中期中检测)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且图像过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是()。A.g(x)=4x B.g(x)=2xC.g(x)=9x D.g(x)=3x答案:D解析:由题意得loga9=2,∴a2=9。又∵a>0,∴a=3。∴f(x)=log3x,∴f(x)的反函数为g(x)=3x。考点2比较大小7.(2024·山东济宁任城高一期中)已知a=3A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c答案:A解析:∵a=313>1,b=log1312=log32∈(0,1),c=log18.(2024·山西太原五中高一月考)设a=log1312,b=log1323,c=log343,则aA.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a答案:B解析:c=log343=log1334,又12<23<34,且函数y=log13x在其定义域上为减函数,所以log139.(2024·安徽黄山高一月考)给出三个数a=312,b=123,c=log312,则它们的大小依次A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a答案:D解析:a=312>1,0<b=123<1,c=log312<0,所以a10.(2024·安徽阜阳临泉一中高一月考)已知a=0.33,b=30.3,c=log30.3,d=log0.33,将a,b,c,d四个数从小到大排列为。

答案:c<d<a<b 解析:∵y=0.3x>0,y=3x>0,∴a=0.33>0,b=30.3>0。∵y=0.3x是减函数,y=3x是增函数,∴0.33<0.30=1,30.3>30=1,∴b>a>0。∵y=log3x是增函数,y=log0.3x是减函数,∴log30.3<log31=0,log0.33<log0.31=0,∴c<0,d<0。∵13>0.3,∴3<10.3,∴log30.3<log313=-1,log0.33>log0.310.3=-1,∴c<-1<d<0,∴考点3解简洁的对数型不等式11.(2024·湖南株洲醴陵一中高一期中)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满意f(2x-1)>f(x+1),则x的取值范围是()。A.(2,+∞)∪(-∞,-1)B.(2,+∞)∪(-∞,1)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(2,+∞)∪(-∞,0)答案:D解析:∵f(x)=ln(1+x2)+|x|,∴f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,则不等式f(2x-1)>f(x+1)等价于f(|2x-1|)>f(|x+1|),即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,x2-2x>0,结合图像得x>2或x<0(图像略)。12.(2024·江苏锡山中学单元测评)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是答案:x1解析:由题意可知,由f(log4x)<0得-12<log4x<12,即log44-12<log4x<log4412考点4与对数函数有关的求参问题13.(2024·河北石家庄第一中学高一期中)若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logaxA.(0,1) B.0C.17,1答案:D解析:由条件知,分段函数f(x)在R上单调递减,则3a-所以17≤a<13,故选14.(2024·河北安平中学高一试验部月考)若x∈0,12时,恒有4x<logax,则a的取值范围是(A.0,22C.(1,2) D.(2,2)答案:B解析:若x∈0,12时,4x<logax恒成立,则0<a<1。在x=12处也需满意412<loga12,得a>22或a<-15.(2024·武汉二月调考)函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是()。A.(0,1) B.(1,3)C.(1,3] D.[3,+∞)答案:B解析:若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a>1,6-2a16.(2024·贵州铜仁思南中学高一期中)已知函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0,若A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,1]答案:D解析:因为函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0满意f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(-a)+f(a)=2f(a),所以由f(-a)+f(a)≤2f(1),可得f(a)≤f(1)。又函数f(x)=ex17.(2024·济南调考)已知函数y=loga1-xx+1(0<a<1)在区间(a,1)上的值域是(1,+∞),则实数答案:2-1 解析:由题意,易得y=loga1-xx+1在区间∵函数在区间(a,1)上的值域是(1,+∞),∴loga1-aa+1=1,∴1-aa+1=∵0<a<1,∴a=2-1。18.(2024·黄冈调考)已知函数f(x)=x2log4a,假如方程f(x-1)+2x=0无实根,则实数a的取值范围是。

答案:(2,+∞)解析:方程f(x-1)+2x=0化为(log4a)x2-2(log4a-1)x+log4a=0,依题意知Δ=4(log4a-1)2-4(log4a)2<0,所以log4a>12,解得a>2考点5对数函数有关的综合问题19.(2024·山东济南第一中学高一期中)已知函数f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)。(1)求函数g(x)的定义域;答案:由1≤x≤4,1≤x2所以函数g(x)的定义域是[1,2]。(2)求函数g(x)的值域。答案:g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=1+2log2x+(log2x)2+1+2log2x=(log2x)2+4log2x+2=(log2x+2)2-2。由1≤x≤2,得0≤log2x≤1,所以2≤log2x+2≤3,所以4≤(log2x+2)2≤9,所以2≤(log2x+2)2-2≤7。所以函数g(x)的值域是[2,7]。20.(2024·河南郑州七校高一期中联考)已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R)。(1)当t=4,x∈[1,2]时,F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求a的值;答案:当t=4时,F(x)=g(x)-f(x)=loga4(x+1)2x,x∈[1,2],设h(x)=4由于y=x+1x在x∈[1,2]上单调递增∴h(x)在[1,2]上是增函数,∴h(x)min=h(1)=16,h(x)max=h(2)=18。当0<a<1时,F(x)min=loga18=2,则a=32>1(舍);当a>1时,F(x)min=loga16=2,则a=4。综上,a=4。(2)当0<a<1,x∈[1,2]时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围。(提示:函数y=x+1x在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增答案:当0<a<1,x∈[1,2]时,f(x)≥g(x)恒成立,即logax≥2loga(2x+t-2)在0<a<1,x∈[1,2]时恒成立,即x≤2x+t-2在x∈[1,2]时恒成立,∴t≥-2x+x+2。设u(x)=-2x+x+2=-2(x)2+x+2=-2x-14∵x∈[1,2],∴x∈[1,2],∴u(x)max=u(1)=1,∴实数t的取值范围是[1,+∞)。第4课时不同函数增长的差异考点1几种函数增长的差异1.(2024·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)下列函数增长速度最快的是()。A.y=3xB.y=log3xC.y=x3 D.y=3x答案:A解析:结合函数y=3x,y=log3x,y=x3,y=3x的图像可知,随着x的增大,函数y=3x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x3的增长速度,而y=log3x的增长速度则会越来越慢,y=3x的增长速度不变,故本题选A。2.四个物体同时从某一点动身向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如它们始终运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是()。A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x答案:D解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D。3.(2024·河南豫西南部分示范性中学高一期中)下列函数关系中,可以看作是指数型函数模型y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的是()。A.竖直向上放射的信号弹,从放射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的改变关系C.假如某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D.信件的邮资与其重量间的函数关系答案:B解析:A.竖直向上放射的信号弹,从放射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系;B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的改变关系是指数型函数关系;C.假如某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系;D.信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系。故选B。4.(2024·贵州遵义第四中学高一期中)下表显示出函数值y随自变量x改变的一组数据,由此可推断它最可能的函数模型为()。x-2-10123y10.261.113.9616.0563.98A.一次函数模型 B.二次函数模型C.对数函数模型 D.指数函数模型答案:D解析:由题表中数据可知函数值都大于0,并且近似f(0)=1,函数是单调增函数,而且函数增加的速度越来越快,符合指数函数的模型,近似于y=4x,选D。5.(2024·广东试验中学模块考试)随着x越来越大,下列函数中,增长速度最快的是()。A.y=10x B.y=lgxC.y=x10 D.y=10x答案:D解析:由几类不同增长的函数特性可知,y=10x呈指数“爆炸式”增长,速度最快。6.(2024·广西南宁一中高一检测)以下四种说法中,正确的是()。A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对随意的x>0,xn>logaxC.对随意的x>0,ax>logaxD.不肯定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax答案:D解析:对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于B,C,当0<a<1时,明显不成立。当a>1,n>0时,肯定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立。7.(原创题)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x改变的数据如表所示。x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781785.2337336.73×1051.2×1072.28×108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005关于x呈指数型函数改变的变量是。

答案:y2 解析:指数函数的增长呈“爆炸式”增长,由表中数据可知呈指数型改变的变量为y2。8.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是。

答案:y=x2 解析:当x变大时,x比lnx增长要快,∴x2要比xlnx增长得要快。考点2依据增长差异确定图像并比较9.(2024·河北张家口高一检测)如图4-4-4-1所示,能使不等式log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围是()。图4-4-4-1A.x>0 B.x>2C.x<2 D.0<x<2答案:D解析:由函数图像可知,当0<x<2时图像由上到下依次为指数函数、幂函数、对数函数的图像。10.(2024·贵州遵义一中高一月考)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图像如图4-4-4-2所示。图4-4-4-2(1)试依据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;答案:C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx。(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)。答案:当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x)。当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x)。11(2024·河北邢台二中高一月考)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图像,结合图像比较f(8),g(8),f(2024),g(2024)的大小。答案:解:列表如下:x…-10123…f(x)…11248…g(x)…-101827…得出如图所示的图像。则函数f(x)=2x对应的图像为C2,函数g(x)=x3对应的图像为C1。∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,∴f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<