2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第五章一元函数的导数及其应用A卷含解析

PAGEPAGE28第五章一元函数的导数及其应用A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（）A． B．C． D．2．已知，为的导函数，则的大致图象是（）A． B．C． D．3．若，则（）A．B．C．D．4．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知函数，且，则的取值范围是（）A． B．C． D．6．定义在上的奇函数的图象连绵不断，其导函数为，对随意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A． B．C． D．7．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①函数在区间上单调递减；②若，则；③函数在上有3个极值点；④若，则．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数，则下列命题正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的值域为D．在上单调递减10．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若运用该方法求方程的近似解，则（）A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为C．D．11．法国数学家柯西(A.Cauchy，探讨了函数的相关性质，并证明白在处的各阶导数均为对于函数，有如下推断，其中正确的有（）A．是偶函数B．在是上单调递减C．D．若恒成立，则的最小值为112．如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b为正实数，若直线与曲线相切，则的取值范围是______．14．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．15．若对随意的，且，，则的最小值是_____.16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数．（1）探讨的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；18．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒有，求实数a的最小值.19．设函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）20．已知函数.（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.21．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求实数k的值并推断的单调性；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．22．已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，，当时，，，原函数单调递增，又因为，所以当时，，此时，，所以，当时，，此时，，所以，所以当时，，又因为是奇函数，当时，，求，分两种状况求解，当时，，只需，解得，当时，，只需，解得所以的范围是故选：A2．已知，为的导函数，则的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴易知是奇函数，其图象关于原点对称，故解除B和D，由，解除C，所以A正确.故选：A.3．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以是R的偶函数，．，又又当，所以在(0，+∞)单调递减，∴，故选：C．4．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.5．已知函数，且，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，所以是奇函数，，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数所以在上是增函数，由，得，所以，解得.故选：B.6．定义在上的奇函数的图象连绵不断，其导函数为，对随意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数，有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以为上的增函数，由得，所以，即，解得或，故选：D.7．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①函数在区间上单调递减；②若，则；③函数在上有3个极值点；④若，则．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【解析】①中，看图知，在区间上，，在区间上，，故函数在区间上先增再减，①错误；②中，看图知，在区间上，是下凸的，随意连接两点，中点为，线段肯定在图象上方，故中点也在图象上方，即，故②正确；③中，看图知，在区间上，，在区间上，，在区间上，，所以有一个极大值点和一个微小值点，故③错误；④中，看图知，在区间上，，且递减，故单调递增，故，故，即④正确.综上，正确命题的序号是②④.故选：B.8．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，图象过点和，即，解得：，，即，当时，设抛物线，代入点得，，即，所以，的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线，，与直线相切，即，解得：，，切点代入得，得，所以，解得：或.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数，则下列命题正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的值域为D．在上单调递减【答案】ACD【解析】对于A选项，当为正奇数时，，当为正偶数时，.综上所述，函数的图象关于直线对称，A对；对于B选项，因为，所以，函数为周期函数，但最小正周期不是，B错；对于D选项，，则，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递减，D对；对于C选项，由于函数为周期函数，且是函数的一个周期，只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，又因为，则，因此，函数的值域为，C对.故选：ACD.10．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若运用该方法求方程的近似解，则（）A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为C．D．【答案】ABC【解析】令，则，当，，，故A正确；当，，，故B正确；因为；；；，∴，故C正确，D错误.故选：ABC11．法国数学家柯西(A.Cauchy，探讨了函数的相关性质，并证明白在处的各阶导数均为对于函数，有如下推断，其中正确的有（）A．是偶函数B．在是上单调递减C．D．若恒成立，则的最小值为1【答案】ABD【解析】对于A，函数的定义域为，当时，由，故是偶函数，A正确；对于B，当时，，由，所以在是上单调递减，B正确；对于C，由于，在是上单调递减，所以，C错；对于D，因为，所以，故又因为恒成立，所以，则，故D正确．故选：ABD12．如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】解：令上部分的半球半径为，可得，解得，设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，可知，，和可构成直角三角形，即，小圆锥体积．令，则，可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满意题意．故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b为正实数，若直线与曲线相切，则的取值范围是______．【答案】【解析】设切点为，因为，，所以切线斜率，即，代入可得，所以，解得，所以，等号不成立，所以，故答案为：14．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，等价于在上有零点，令则，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，则，又，，，因，又，则，所以①②解得．故答案为:15．若对随意的，且，，则的最小值是_____.【答案】【解析】由，得：，令，则在上单调递减，，当时，；当时，；的单调递减区间为，，的最小值为.故答案为：.16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____.【答案】2024【解析】因为，所以，，令，得，又，所以的对称中心是，所以，所以，，，故答案为：2024四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数．（1）探讨的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；【答案】（1）答案不唯一，详细见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数，分类探讨确定的正负得单调区间；（2）由（1）求得，由，得出，求出，引入新函数，求得最大值即可．（1）的定义域为，且当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减；（2）故要使恒成立，只需即可；由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，故，即，，所以，，令，由得，由得．所以在上递减，在上递增所以，所以．18．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒有，求实数a的最小值.【答案】（1）增区间：，，减区间：（2）【解析】（1）求出函数导数，求解不等式和可得；（2）易得不符合题意，当，令，探讨的状况即可求出.（1）当时，，，令或，，的增区间：，，减区间：；（2）①当时：，时：单调递减，不符合题意.②当时：令，若，则，令或，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又，只需，综上，a的最小值为.19．设函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依据导数的几何意义，求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可；（2）函数递增转化为恒成立，构造函数恒成马上可，求导数对a分类探讨，解析成立的条件即可.（1）当时，故在处的切线方程为：，即.（2）函数单调递增,则恒成立，其中，构造函数，即需恒成立，而若取则此时，故此时不行能恒成立；若，此时恒成立；若，则当时单调递减，当时，，单调递增，故的最小值在处取到，即.而明显当时，此时当时，此时，故此时综上所述，20．已知函数.（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.【答案】（1）单调递增区间为､；.（2）（3）【解析】（1）利用导数求单调区间，和切线方程；（2）利用分别参数法转化为在上恒成立，设，，利用导数求出，即可求出a的范围；（3）先由.消元后得到，利用，利用导数求出，而，即可求出a的范围.（1）当时，定义域为，所