2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(八)(附答案及解析)

2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(八）(时间90分钟，总分150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U＝R，集合A＝{x|1<x<3}，则∁UA＝()A．{x|x<1或x>3} B．{x|x≥3}C．{x|x≤1或x≥3} D．{x|x≤1}2.函数f(x)＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))3.函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的最小正周期是()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π4.已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,5)，则2a＋b＝()A．(4,3)B．(5,1)C．(5,3)D．(7,8)5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝()A．eq\r(7)B．eq\r(10)C．4D．eq\r(19)6.若tanα＝2，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为()A.－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.－3D.37.已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋i4＋…＋i9,1＋i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))B．(1,1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))D．(1，－1)8.如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为()A．2∶3B．4∶9C．8∶27D．16∶819.函数y＝log3(3x)的图象大致为()ABCD10.某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位：小时)进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9,14]，数据的分组依次为：[9,10)，[10,11)，[11,12)，[12,13)，[13,14]．已知活动时间在[9,10)内的人数为300，则活动时间在[11,12)内的人数为()A.600B.800C.1000D.120011.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是()A.“至少有1件次品”与“全是次品”B.“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”C.“至少有1件次品”与“全是正品”D.“至少有1件正品”与“至少有1件次品”12.函数y＝ax－1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点()A．(0，－3)B．(0，－2)C．(1，－3)D．(1，－2)13.从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)14.一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,2)D．215.下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)16.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,3x－1，x≤0，))则f(－2)＋f(2)的值为________17.已知向量a与b的夹角为eq\f(3π,4)，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b的值为________．18.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．19.已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．有以下结论：①f(0)＝0；②f(x)是R上的偶函数；③若f(2)＝2，则f(1)＝1；④当x>0时，恒有f(x)<0，则函数f(x)在R上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(8分)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1．21.(14分)已知函数f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)－a，a∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上有零点，求a的取值范围．22.(14分)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值；(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中恰好抽到2人的概率．参考答案及解析：选择题1.C解析：∁UA＝{x|x≤1，或x≥3}．2.D解析：由已知，2x－1≥0，解得x≥eq\f(1,2)．3.D解析：f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π．4.B解析：2a＋b＝2(1，－2)＋(3,5)＝(2＋3，－4＋5)＝(5,1)．5．A解析：∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,2)＝7，∴a＝eq\r(7)．6.A解析：∵tanα＝2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1＋2)＝－eq\f(1,3)．7.A解析：z＝eq\f(i＋i2＋i3＋i4＋…＋i9,1＋i)＝eq\f(i－1－i＋1＋…＋i,1＋i)＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(1－ii,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))．故选A．8.C解析：设两球的半径分别为r1，r2，则eq\f(4πr\o\al(2,1),4πr\o\al(2,2))＝eq\f(4,9)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(2,3)，所以两球的体积比为eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πr\o\al(3,1),\f(4,3)πr\o\al(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)．9.A解析：由函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除B，D；当x＝eq\f(1,3)时，y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3)))＝0，即函数过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))，排除C，故选A．10.D解析：活动时间在[9,10)内的频率为0.10，在[11,12)内的频率为0.40，设活动时间在[11,12)内的人数为x，则eq\f(x,300)＝eq\f(0.40,0.10)，解得x＝1200．11.B解析：从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况，故选B．12.D解析：令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点(1，－2)．13.A解析：记3本数学书为a，b，c,1本语文书为d，从中任取两本，共有取法：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况，其中有语文书有3种情况，故所求概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．14.C解析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α·r＝3，,\f(1,2)·αr2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝\f(3,2).))15.B解析：把平面展开图折起，得到如图所示的正方体．则BF与DN是异面直线，CM与BN平行，DF与BN垂直，AE与DN是异面直线，故正确个数为2．二、填空题16.答案：－3解析：f(－2)＝3×(－2)－1＝－7，f(2)＝22＝4，∴f(－2)＋f(2)＝－7＋4＝－3．17.答案：－6eq\r(2)解析：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4×coseq\f(3π,4)＝－6eq\r(2)．18.答案：eq\f(\r(2),2)解析：由题意，知△AED′为等腰直角三角形，∵平面AED′⊥平面ABCE，∴AD′在底面的射影在AE上，∴∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成角，且∠D′AE＝45°，其正弦值为eq\f(\r(2),2)，故答案eq\f(\r(2),2)．19.答案：①③解析：①令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，①正确；②令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函数，②错误；③令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝2，∴f(1)＝1，③正确；④设x1>x2，则x1－x2>0，∴f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)<0，则f(x1)<－f(－x2)＝f(x2)，∴f(x)在R上单调递减，④错误．故正确结论的编号为①③．三、解答题20.证明:连接BC1(图略)，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又BC1∥AD1，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1．21.解:(1)f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)－a＝cosx－a，当2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．(2)函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上有零点，也就是cosx＝a在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上有解．∵当－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,6)时，cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))．∴a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))．22.解:(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035．(2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)；设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，故x≈