第三章 假设检验课件

第三章假设检验1

统计推断：由样本信息去推断总体的性态。参数估计：构造统计量作为未知参数的估计量或置信区间；假设检验：先对总体作出假设H，再构造统计量来推断H是否合理。二者关系类似于方程求根和验证是否为根。§3.1假设检验思想概述第三章假设检验第三章假设检验2假设检验

假设检验是统计推断的另一类重要组成部分.它分为参数假设检验与非参数假设检验.

参数假设检验与参数估计是从不同的角度推断总体分布中的某些参数,参数检验解决定性问题,参数估计解决定量问题.

参数假设检验是对总体分布函数中的未知参数提出某种假设,然后利用样本提供的信息对所提出的假设进行检验,根据检验的结果对所提出的假设作出拒绝或接受的判断.

非参数假设检验是对总体分布函数的形式或总体的性质提出某种假设进行的检验.第三章假设检验3【例3.1】某厂家向一百货公司长期供应某种货物,双方根据厂家的传统生产水平,定出质量标准,即若次品率超过3％,则百货商店拒收该批货物。今有一批货物，随机抽取43件发现了2件次品，问应如何处理这批货物？按参数估计，2/43>3%，是否该拒收？因为抽样具有很大的随机性。问题：即使真实的次品率<3%，但“抽到2件以上次品”的概率仍会很大。一般作法：先假设次品率p<3%，再通过抽样计算来说明这一假设是否合理。假设检验的基本思想

所谓假设检验问题,就是要由样本提供的信息,检验原假设是否成立.第三章假设检验4

【例3.2】某研究所推出一种感冒特效新药，为证明其疗效，选择200名患者为志愿者。将他们均分为两组，分别不服药或服药，观察三日后痊愈的情况，得出下列数据：

从数据看似乎“新药有疗效”，但本着负责任的精神。假设“新药无效”，再抽样，除非抽样分析的结果“显著地”说明此假设不合理，否则即不能认为此新药有显著疗效。——显著性检验痊愈者未痊愈者合计未服药者4852100服药者5644100合计10496200第三章假设检验5商店依据：小概率事件在一次试验中不可能发生，（但在大量重复试验中，却几乎肯定会发生。）顾客依据：随机事件假设检验的理论依据：“小概率原理”。

α——显著性水平。【例3.3】据报载某商店为搞促销对购买一定数额商品的顾客给予一次摸中球奖的机会，规定从装有红、绿两色球各10个的暗箱中连续摸十次（摸后放回），若10次都是摸得绿球则中大奖。某人按规则去摸10次，皆为绿球，商店认定此人作弊，拒付大奖，此人不服，最后引出官司。第三章假设检验6总结:假设检验的基本思想:(1)

假设检验的推理逻辑是一种反证法.(2)

假设检验判断假设的根据是“实际推断原理”;(3)

建立一个检验法的关键:是选一个合适的统计量.先给定一个统计假设,即原假设

(零假设):并先假定它成立,然后判断是接受还是拒绝它.H0:=0由实际推断原理知,小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的,而现在居然在一次抽样试验中发生了.这表明“假设H0成立”是错误的,因此我们拒绝H0.反之,我们没有理由拒绝H0第三章假设检验71.根据实际问题的要求提出原假设H0

及备择假设H1（可以不写）;2.确定检验统计量，并根据样本计算统计量值;3.求出在H0成立下，统计量的分布4.给定显著水平

,确定临界值。根据统计量的分布写出拒绝域(构造对H0不利的小概率事件）;5.结论（决策）:若统计量的值落入拒绝域,则拒绝H0,否则接受H0.参数的假设检验问题的基本步骤:第三章假设检验8说明关于检验标准(显著水平):

a)一般说来,我们给定的假设H0

是经过周密调查和考虑的,所以否定H0

要谨慎,这就要求取得要小些,反过来,也表明小概率取的越小,一旦否定H0,就越有说服力.b)检验标准

,可以取值不同,就决定着不同的否定域,因此对于同一组样本值来说,可以得到相反的决策.c)只对

加以控制，称为显著性检验问题．第三章假设检验9§3．2正态总体的参数检验设X为一总体，其分布函数为F(x；),其中

正态总体：构造统计量T（θ）C1：对μ分方差未知和已知两种情形构造u和t统计量；C2：对σ2

构造卡方统计量；C3：两个总体，对构造t统计量。C4：对构造F统计量。关键：检验统计量T的构造，若为参数检验，则T包含未知参数，且服从已知分布，如主要有：u检验、t检验、卡方检验和F检验等。第三章假设检验103.2.1u检验单个总体N(m,

2)均值m的检验

2已知------Z(u)检验法

注：取统计量u:a)H0:

=

0,H1:

0.

拒绝域:V＝{|u|>u1-α/2}b)H0:

≤

0,H1:

>0.拒绝域:V＝{u>u1-α}c)H0:

≥

0,H1:

<

0拒绝域:V＝{u<-u1-α}H0:

=

0,H1:

>0与H0:

0,H1:

>0拒绝域相同.H0:

=

0,H1:

<0与H0:

0,H1:

>0拒绝域相同.第三章假设检验11查标准正态分布表得解:根据题意提出假设因为已知,拒绝域为|Z|>Z1-α/2经计算得,认为

=500g，样本点在拒绝域外，即可以认为该包装机工作正常。所以接受例3.4

一台包装洗衣粉,抽测5个，额定标准重量500g，根据经验，包装机实际袋装服从正态分布的，其中标准差为15g,为检查包装机工作是否正常,随机抽取9袋,称得洗衣粉净重数据为（单位：g）：497，506，518，524，488，517，510，515，516.问这台包装机工作是否正常（

＝0.01）第三章假设检验12(二)双总体均值的u检验

检验H0:

1-

2=0,H1:

1-

20拒绝域:取检验统计量

若检验H0:

1-

2<=0,H1:

1-

2>0拒绝域:双侧检验单侧检验第三章假设检验13,取统计量当H0为真时，3.2.2

t检验法

(

2未知)a)H0:

=

0,H1:

0.拒绝域:b)H0:

≤

0,H1:

>0拒绝域:c)H0:

≥

0,H1:

<

0拒绝域:注：H0:

=

0,H1:

>0与H0:

0,H1:

>0拒绝域相同.H0:

=

0,H1:

<0与H0:

0,H1:

>0拒绝域相同.第三章假设检验14H0：，H1：m>4解

饲养方法改善，这批鸡的平均重量应该有提高．但由于精料换成粗料，也担心使鸡的平均重量降低．如果能否定“”的假设，那么可认为鸡的平均重量提高了．因此，检验查t分布表得经计算得所以拒绝H0，接受H1，即在显著水平a＝0.10下，认为这批鸡的平均重量显著提高．故拒绝域为例3.5

已知精料养鸡时，经若干天，鸡的平均重量为4斤，今对一批鸡改用粗料饲养，同时改善饲养方法，经同样长的饲养期，随机抽测10只，得重量数据如下（单位：斤）：3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8.经验表明，同一批鸡的重量X服从正态分布，试推断，这一批鸡的平均重量是否显著提高（a＝0.10）.第三章假设检验15(二)双总体均值的t检验

双侧检验H0:

1-

2=0,H1:

1-

20拒绝域V:取检验t统计量第一种情形:第三章假设检验16

双侧检验H0:

1-

2=0,H1:

1-

20拒绝域V:取检验t统计量第二种情形:配对检验法第三章假设检验17拒绝域:拒绝域:拒绝域:1)双边检验:2)右边检验:3)左边检验:取检验统计量:3.2.3

2检验法

(

2检验)20212020:,:ssss>≤HH20212020:,:ssss<≥HH第三章假设检验18例某厂生产的钢丝，质量一向比较稳定，今从产品中随机地抽出10根检查折断力，所得数据分别为（单位：吨）:1.3405,1.4059,1.3836,1.3857,1.3804,1.4053,1.3760,1.3789,1.3424,1.4021,问是否可相信该厂的钢丝的折断力的方差为0.0252

？（a＝0.05）由样本观察值算得所以接受H0，在显著水平a＝0.05下，可以认为钢丝折断力的方差s2为0.0252.因解：提出假设：拒绝域为.2.700)9()1(023.19.)9()1(2025.0222975.0221==-==--ccccaann第三章假设检验19例某厂生产的钢丝，质量一向比较稳定，今从产品中随机地抽出10根检查折断力，所得数据分别为（单位：吨）:1.3405,1.4059,1.3836,1.3857,1.3804,1.4053,1.3760,1.3789,1.3424,1.4021,就所给条件与数据，检验假设（a＝0.05）查分布表得所以接受H0解拒绝域为算得919.16)9()1(295.02==-cc1-an<16.919第三章假设检验20两个总体的情况

双侧检验拒绝域:取检验统计量3.2.4

F检验法

(

2检验)

单侧检验拒绝域:第三章假设检验21§3.3非正态总体的参数估计对总体（非正态总体）均值的检验：当时，可取统计量

由中心极限定理可知，当n充分大时(一般要求n>30)，u近似服从N(0,1)，因此问题归结为u检验；

一般来讲,抽样分布的精确分布和分位点不好求，采用基于大样本的中心极限定理转化为正态分布。要求n>30或100等,视具体情况而定。3.3.1非正态总体均值检验的大样本方法第三章假设检验22(一)总体X服从两点分布

其分布律为P{X=0}=1-p,P{X=1}=p.

E(X)=p,

D(X)=p(1-p).

H0:

p=p0;H1:

p≠p0

基于大样本，可取统计量

(近似)（例3.8P88）

(二)总体服从参数为λ的泊松分布

X~(),则E(X)=

,D(X)=.

可取统计量第三章假设检验23例3.9

记录某十字路口在一分钟内车辆到达的时刻（数据见P89

），假设没有2辆以上的车在完全同一时刻到达。根据以往统计，在每天这段时间通过该十字路口的车流量为0.5辆/秒，试以这些资料检验以往的结论（设α＝0.1）拒绝域:双侧检验第三章假设检验24(三)指数总体的参数检验

样本由习题1.8的结论，

作为检验统计量。拒绝域:第三章假设检验25例3.10

（续例3.9）一般地每相邻2辆车在完全到达路口的时间间隔服从指数分布且相互独立，其中λ为平均每秒车流量，试以例3.9资料检验指数总体参数。（设α＝0.1）拒绝域:双侧检验第三章假设检验26§3.4检验的实际意义及两类错误

检验方法的评价问题：按什么标准来提出原假设?由于对于相应的问题检验方法不唯一,最优的方法是什么?检验的优劣与显著性水平a的关系如何?以及结论的实际意义是什么?

3.4.1检验结果的实际意义

(a)检验的原理“小概率事件在一次试验中不发生”。此结论只是在概率意义下成立，并不是严格成立的。

如摸奖问题(例3.3，P72）,因此当摸奖人事实上确实未作弊时，商店的统计推断就犯了错误,“小概率事件在一次试验中可能发生”.第三章假设检验27(b)原假设与备择假设的地位是不对称的,当“小概率事件”未发生时，就不能拒绝原假设但不等于逻辑上证明了成立，只能说没有充分的证据拒绝。即受保护.都成立。例3.11

(P92)设总体X~N(,1),

又设X1,X2,...,Xn为总体X的样本,样本均值=X1=0.5

，样本容量n＝1，α＝0.05，提出两种假设的方法，分别如下：第三章假设检验28

实际中，一般提出原假设要慎重，倾向于不轻易否定，而受保护的程度为α。其越小，小概率事件就越难发生，H0就越难被否定。(c)从另一角度看，既然原假设H0受保护，则对其的肯定相对来说是缺乏说服力的，反之对其的否定则是有力的，且α越小，小概率事件就越难发生，一旦发生了，这种否定就越有力。第三章假设检验293.4.2检验中的两类错误

所谓犯错误是指检验的结论与实际情况不符。两类错误：（1）H0

成立，而检验结果表明其不成立——“弃真”；（2）H0不成立，而检验结果表明其成立——“取伪”。记:=P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0真}

=P{第二类错误}=P{接受H0|H0伪}检验的本质是构造否定域V，在看样本点是否落入V中。

当然,我们希望犯两类错误的概率都尽可能的小,最好都为零.但当样本容量固定时,是不可能的.在实际问题中,通常的做法是:先限制犯第一类错误的概率

,即根据实际情况,指定一个较小的数

(如0.05,0.01等),有了

的值,从而可确定拒绝域.第三章假设检验30例3.12

(P94)设总体X~N(,02),

02已知，又设X1,X2,...,Xn为总体X的样本,x1,x2,…,xn为X的一组样本观测值，试求对问题：的检验的两类错误的概率。拒绝域:单侧检验第三章假设检验313.4.3样本容量确定问题从例3.12看出，当样本容量固定时，若要控制第一类错误的概