（初中教案）九年级春季班第2讲：锐角的三角比-实战演练-教师版

（初中教案）九年级春季班第2讲：锐角的三角比-实战演练-教师版（初中教案）九年级春季班第2讲：锐角的三角比-实战演练-教师版/（初中教案）九年级春季班第2讲：锐角的三角比-实战演练-教师版锐角的三角比锐角的三角比知识结构知识结构模块模块一：锐角的三角比知识知识精讲知识知识精讲锐角三角比的意义1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切(tangent)．锐角A的正切记作tanA．．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切(cotangent)．锐角A的余切记作cotA．．3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦(sine)．锐角A的正弦记作sinA．．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦(cosine)．锐角A的余弦记作cosA．．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切(为锐角)余切(为锐角)正弦(为锐角)余弦(为锐角)特殊锐角的三角比的值30°45°1160°例题解析例题解析已知中,,那么是角A的() A．正弦 B．余弦 C．正切 D．余切【难度】★【答案】D【解析】在中,是的对边,是的邻边,所以是的余切．【总结】本题考察锐角三角比中余切的意义,学生应动手画图更直观．已知中,,AC=3,BC=4,那么______．【难度】★【答案】．【解析】在中,AC是的邻边,BC是三角形的斜边,所以．【总结】本题考察锐角三角比中正弦的意义,学生应动手画图则解题更直观．已知为锐角,且,求的余弦值．【难度】★【答案】．【解析】将放到一个直角三角形中去,设的对边为,斜边为,则通过勾股定理可知,的邻边为,所以．【总结】本题考察(1)一个角的锐角三角比是一个定值,不随位置的变化而变化;(2)正弦与余弦之间的转化,也可用公式完成．求值：_______．【难度】★【答案】．【解析】原式=—+=．【总结】本题考察特殊角的锐角三角比的值．已知锐角中,,,那么______°．【难度】★【答案】75°．【解析】,则;,则;由三角形内角和为180°可知,．【总结】本题考察特殊角的锐角三角比的值．将锐角所在的三角形的三边同时扩大三倍,这时角的正弦值() A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定【难度】★【答案】C【解析】边扩大3倍,的大小没有发生改变,在不同的三角形中,只要不变,则的锐角三角比的值不变．【总结】一个角的锐角三角比是一个定值,是这个角固有的一个性质．ACBD(2014学年·松江区二模·第6题)如图,在中,,CDAB,垂足为D,AB=c,,则CD长为()ACBD A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】中,,∴AC=,,,∴CD=AC=,故选D．【总结】本题考察锐角三角比的意义．(2015学年·徐汇区二模·第19题)计算：．【难度】★★【答案】．【解析】原式===．【总结】本题主要考查实数的运算,注意相关运算法则的运用,(1)=;(2)．(2015学年·普陀区二模·第19题)计算：．【难度】★★【答案】．【解析】原式===．【总结】本题主要考查实数的运算,注意相关运算法则的运用．模块模块二：解直角三角形知识知识精讲解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形．在中,如果,那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：(1)三边之间的关系：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：, ,仰角与俯角在测量过程中,常常会遇到仰角和俯角．如图,当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角．仰角仰角视线水平线视线俯角铅垂线方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°70°45°50°坡度(坡比)、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度．如图,坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即．hl坡度通常写成1：m的形式,如．hl坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作．坡度i与坡角之间的关系：．例题解析例题解析(2015学年·崇明县二模·第15题)已知一斜坡的坡比为1：2,坡角为,那么______．【难度】★【答案】．【解析】设高度为,水平长度为2,则通过勾股定理可知斜坡为,通过正弦意义可得,．【总结】考察坡比、坡角的意义．ABC(2014学年·长宁区二模·第15题)已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°,那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为ABC【难度】★【答案】．【解析】由题意可知,AB=30°,,∵,∴BC=米．【总结】本题主要考察俯角的意义及在实际问题中的运用．AB9米传送带(2015学年·浦东新区二模·第13题)如图,传送带和地面所成的斜坡的坡度为,它把物体从地面送到离地面9米高的地方,则物体从A到B所经过的路程为AB9米传送带【难度】★【答案】18．【解析】,,∴根据勾股定理,．【总结】本题考查坡度的意义．ABCD(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题)如图,如果在大厦AB所在的平地上选择一点C,测得大厦顶端A的仰角为30°,然后向大厦方向前进40米,到达点D处(C、D、B三点在同一直线上),此时测得大厦顶端A的仰角为45°．那么大厦ABCD【难度】★★【答案】．【解析】由题意得,CD=40,中,,∴设,．【总结】本题考察仰角的意义及特殊角的锐角三角比的值．(2014学年·闸北区二模·第6题)如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6,现测得放水前的水面宽EF为1.2米,当水闸放水后,水渠内水面宽GH为2.1 A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75ABCABCDEFGHMN【答案】D【解析】过E、F分别作由题意得,MN=1.2,GM=NH=0.45,∵,故选D．【总结】本题考查坡度的意义,学生应注意将题目中的数字信息转化到图形上去．(2014学年·浦东新区二模·第16题)如图,已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上,与基地A相距10海里,货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上,那么货轮C与小岛B的距离是______海里．ABCABC北北【答案】．【解析】由题意可知,AB=10,∴BC=．【总结】本题考察方向角的意义．ABCDE(2014学年·徐汇区二模·第22题)如图,在中,,,AC=6,BD平分交AC边于点D．ABCDE 求：(1)线段AB的长;(2)的值．【难度】★★【答案】(1);(2)．【解析】(1)在,设,∴,;(2)过D作,,．设,,,,．,．【总结】本题考察角平分线的性质及锐角三角比的意义的综合运用．ABCDE(2014学年·闸北区二模·第21题)已知：如图,点E是矩形ABCD的边AD上一点,BE=AD,AE=8,现有甲乙二人同时从E点出发,分别沿EC、ED方向前进,甲的速度是乙的倍,甲到达目的地CABCDE (1)求的值; (2)求线段AB及BC的长度．【难度】★★【答案】(1);(2)AB=6,BC=10．【解析】(1)由题意可知,,,在;(2)设,则在,=,解得：,．【总结】本题考察勾股定理与锐角三角比相结合的应用．ABCDEFH(2014学年·闵行区二模·第21题)如图,已知在中,,,D为边BC的中点．E为边BC延长线上一点,且CE=BC．联结AE,FABCDEFH 求：(1)线段DF的长;(2)的正切值．【难度】★★【答案】(1);(2)．【解析】(1)联结AD．又．在,,,,,;(2)过C作,即,解得：,,．【总结】本题考查等腰三角形三线合一,斜边上的中线等于斜边的一半以及锐角三角比的相关知识．(2015学年·闸北区二模·第21题)已知：如图,在中,,AD是BC边上的中线,过点D作DEAB于点E,且,．FABCDE 求：(1)AB的长;(FABCDE【难度】★★【答案】(1)7;(2)．【解析】(1)在,．在,,;(2)过,,．在,,,在．【总结】本题考察锐角三角比的意义,其中常见辅助线是作垂线,把有关角度放到直角三角形中去．(2015学年·松江区二模·第22题)如图,在中,AB=AC=10,BC=12,MOCBADFEGHADBC于D,O为AD上一点,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于G,交BC于MOCBADFEGH (1)求EF的长; (2)求的值．【难度】★★【答案】(1)8;(2)．【解析】(1)联结OF,过O作,,,,∵AG=AD,,,．,,．,,;(2),,．．,,在．【总结】本题考察等腰三角形三线合一,垂径定理以及锐角三角比的知识点的综合运用．(2015学年·普陀区二模·第21题)已知：如图,在中,AB=AC=13,ABCDPBC=24,点P、D分别在边BC、AC上,,求ABCDP【难度】★★【答案】．【解析】过A作,,又,∽,．,,在．【总结】本题考察了两边对应成比例且夹角相等的相似判定方法及相等角的锐角三角比的值也相等的运用．(2015学年·虹口区二模·第21题)如图,在中,CD是边AB上的中线,是锐角,且,,BC=,求边AB的长和的值．EABEABCD【答案】AB=6,．【解析】过点C作,在,．在,．．,．【总结】本题考察锐角三角比的意义,其中常见辅助线是作垂线,把有关角度放到直角三角形中去．CABED(2014学年·崇明县二模·第21题)在中,,点E是BC的中点,ADBC,垂足为点D．已知AC=9,．CABED (1)求线段AE的长;(2)求的值．【难度】★★【答案】(1)(2)．【解析】(1)在,．;(2),,．【总结】本题考察斜边上的中线等于斜边的一半,锐角三角比的意义的知识点的综合运用．(2015学年·崇明县二模·第22题)如图,在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处,并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆的半径以10千米/时速度不断扩张． (1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到________千米;当台风中心移动t小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到________千米;OPQ北H (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由．(参考数据OPQ北H【难度】★★【答案】(1)100,60+10t;(2)不会侵袭．【解析】(1)略;(2),由题意可知,,,∴(小时),此时,．【总结】本题考察方向角的意义,学生要读懂题意,将现实情况与数学联系起来．(2015学年·闵行区二模·第22题)如图,山区某教学楼后面紧邻着一个土坡,坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡比为,且AB=26米．为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测,当坡角不超过53°时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长; (2)为了消除安全隐患,学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示),那么BF至少是多少米?(结果精确到1米) (参考数据：,,,)GABDGABDCEF【答案】(1)24m;(2)8m．【解析】(1)∵,∴设,,解得：,;(2),,,,．【总结】本题考察坡比的意义,学生应把握住题中不变的量．(2014学年·普陀区二模·第22题)本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观,准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩,安装呈大中小三个同心圆的景观灯带(如图1所示)．如图2,已知EF表示路面宽度,轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD,且AD//EF,AB=DC,．在轻轨桥墩上设有两处限高标志,分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为3.8米．大圆直径等于AD,三圆半径的比等于1：2：3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米?(结果保留) (参考数据：,,)图1图1图2H1H2【难度】★★【答案】10【解析】分别过A、D作,由题意可知,,,,,．,(米)．【总结】本题是一道数学建模型的题目,主要考察学生将实际问题转化成数学问题的能力,另外还有注意单位问题．

随堂检测随堂检测(2014学年·普陀区二模·第12题)某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°,那么此时飞机离控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】2400．【解析】．【总结】本题考察俯角的意义,学生应画图来解题．ABC(2014学年·松江区二模·第17题)如图,当小明沿坡度的坡面由A到B行走了100米,那么小明行走的水平距离AC=ABC【难度】★【答案】．【解析】∵,．【总结】本题考察坡度的意义及在实际问题中的运用．(2015学年·浦东新区二模·第19题)计算：．【难度】★★【答案】．【解析】原式=．【总结】本题主要考查实数的相关运算,注意熟练运用相关的运算法则．(2015学年·闸北区二模·第19题)计算：．【难度】★★【答案】2+．【解析】原式===2+．【总结】本题主要考查实数的相关运算,注意熟练运用相关的运算法则．ABDC(2015学年·奉贤区二模·第17题)如图,在中,,AD是BC边上的中线,如果AD=BC,那么的值是______．ABDC【难度】★★【答案】．【解析】设,根据勾股定理,得：,根据余切的意义,得：．【总结】本题考察勾股定理及锐角三角比的意义．(2015学年·长宁区、金山区二模·第22题)如图,在中,,斜边AB的垂直平分线分别和AB、BC交于点E和点D,已知BD：CD=． (1)求的度数; (2)利用已知条件和第(1)小题的结论求的值．(结果保留根号)ABCDABCDE【答案】(1)30°;(2)．【解析】(1)联结AD,即可知AD=BD,;(2),．,,．ABCDNMH(2015学年·杨浦区二模·第21题)已知在中,,,点M、N分别是边AC、AB的中点,点DABCDNMH (1)求证：; (2)求的余切值．【难度】★★【答案】(1)见解析;(2)．【解析】(1)证明：在;在,;(2),．,,．设,,,．【总结】本题考查斜边上的中线等于斜边的一半,通过作垂线将有关角度放到直角三角形中去．ABCDE(2015学年·奉贤区二模·第21题)已知：如图,在中,,AB=4,AD是的角平分线,过点D作DEAD,垂足为点D,交AB于点E,且．ABCDE (1)求线段BD的长; (2)求的正切值．【难度】★★【答案】(1)2;(2)2．【解析】(1),．又,∽,,．,,;(2),又,,∽,,．【总结】本题考察相似的判定以及锐角三角比的意义．(2014学年·杨浦区二模·第21题)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观察站,A在B的正东方向,A与B相距2千米．有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离; (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到达点C处,此时,从B点测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．FDAFDABCP北l【难度】★★【答案】(1)km;(2)km．【解析】(1)过点P作,在,．在,．,,;(2),根据题意得,,,,,,,即．【总结】本题考察方向角的意义以及一些特殊角的锐角三角比的值的综合运用．

课后作业课后作业(2015学年·奉贤区二模·第14题)小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°,那么这辆汽车到楼底的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】．【总结】本题考察俯角的意义,引导学生应画图来解题．(2014学年·奉贤区二模·第16题)小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米,则他下降的高度为______米．【难度】★【答案】50．【解析】,根据勾股定理,得斜边为：．【总结】本题考察了坡比的意义及在实际问题中的运用．(2015学年·杨浦区二模·第14题)某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡向上方向前进13米时,在铅垂方向上升了5米,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度,那么m=______．【难度】★【答案】．【解析】设自动扶梯上前进13米,在铅垂方向上升5米,此时水平距离为x米,,,．【总结】本题考察坡度的意义及在实际问题中的运用．(2015学年·长宁区、金山区二模·第19题)计算：．【难度】★★【答案】．【解析】原式=．【总结】本题主要考查实数的相关运算,注意熟练运用相关的运算法则．(2015学年·杨浦区二模·第19题) 计算：．【难度】★★【答案】．【解析】原式．【总结】本题主要考查实数的相关运算,注意熟练运用相关的运算法则．EACBDH(2015学年·静安区二模·第21题)已知：如图,在梯形ABCDEACBDHCAAB,,BC=5,AD=2．求：(1)AC的长;(2)