二次根式（知识梳理与考点分类讲解）-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.17二次根式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二次根式相关概念与性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要点说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点说明：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.【知识点2】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【考点一】二次根式的概念和性质①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围【例1】使代数式有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式有意义，∴，解得：且，故选C．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【举一反三】【变式1】化简﹣（）2得（

）A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.解：1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时,=a;当a<0时,=-a.二次根式=a,(a≥0).【变式2】下列说法正确的是（）是最简二次根式 B．与是同类二次根式 C． D．的化简结果是【答案】B【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．解：A.不是最简二次根式，原说法错误；B.，与是同类二次根式，原说法正确；C.在，的情况下，原说法错误；D.的化简结果是2，原说法错误；故选：B．【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简【例2】如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把b分母有理化，再比较．解：∵，，∴．故选：A．【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．【举一反三】【变式1】比较大小错误的是（

）A．＜ B．＋2＜﹣1C．＞﹣6 D．|1－|＞－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A、由于5<7，则＜，故正确；B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；C、由于，则，故正确；D、由于，故错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式2】已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是．【答案】．【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．解：由得，有意义，且，方程没有实数根，即，，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简.【答案】,【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.解：【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.【举一反三】【变式1】若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是．【答案】3【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴，故答案为：3．【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．【变式2】化简：=．【答案】/【分析】分子，分母同时乘以有理化因式，计算即可．解：，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．④二次根式相关概念➽➼分母有理化【例4】比较大小：．【答案】【分析】首先分别求出、的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系．解：，，∴故答案为：．【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【举一反三】【变式1】若实数满足，求的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．解：∵，∴，∴，把代入上式得，∴，∴的平方根为．【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键．【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）．由上述方法化简：．【答案】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．解：原式．【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．【考点二】二次根式大小比较【例5】若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值．【答案】11【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m2、n2，再代入求值即可；解：由题意得：，，，，，时，两个二次根式分别为和，符合题意，∴m2+n2＝8+3＝11；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【举一反三】【变式1】在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．，

①，

②，

③参照③式方法化简：．【答案】【分析】仿照题意进行分母有理化即可．解：．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．【变式2】比较大小：①_____ ②___【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比较大小即可；②利用分子有理化即可比较大小．解：①－=∵∴＜0∴＜故答案为：＜；②====∵＞∴∴＜故答案为：＜．【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．【考点三】二次根式的的运算【例6】计算：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1）解：（2）【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．【举一反三】【变式1】计算：(1)； (2)．【答案】(1)0；(2)【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．（1）解：原式（2）解：原式．【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】计算：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．（1）解：（2）解：．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例7】计算题(1) (2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解：；（2）解：【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【举一反三】【变式1】计算：（1）；

（2）；【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式（2）原式；【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．【变式2】计算：【答案】【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．解：原式=．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【例8】已知，求代数式的值．【答案】【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．解：∵，∴，∴．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】已知：y＝＋5，化简并求的值．【答案】，-4【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．