计算方法复习

数值计算方法复习（40学时）误差1、了解误差的概念，来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差；2、掌握绝对误差、相对误差与有效数字；3、知道数值运算中误差传播的规律及应注意的问题。例1：问，，分别作为的近似值各具有几位有效数字？例2：设计算球体体积允许其相对误差限为1%，问测量球半径的相对误差限最大为多少？例3：1）经过四舍五入得出，。试问它们分别具有几位有效数字？2）求的绝对误差限。3)若是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限.第二章插值法了解插值问题的提法，差商与差分的概念与求法；掌握Lagrange插值多项式与Newton插制多项式的求法；了解分段低次插值，样条插值；了解数值微分。例1：已知，，，用抛物线插值求的近似值，并估计误差。例2：设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。例3：已知，求.例4：已知的数值表如下，试写出三阶(向前)差分表.X0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.564640.64422例5：已知对应的函数值为，做三次Newton插值多项式.如再增加时的函数值为6，作四次Newton插值多项式。例6：判断函数是否为三次样条函数.第三章曲线拟合了解最小二乘法的提法，掌握最小二乘法例：用最小二乘法建立下表的经验公式x1246810Y1.83.78.212.015.820.2第四章矩阵的特征值与特征向量了解乘幂法与反幂法，雅可比方法；会求主特征值和相应的特征向量。例：用幂法求矩阵的主特征值和对应的特征向量.（取，精度为0.1）第五章数值积分掌握构造数值积分公式的基本方法；会求数值积分公式的代数精度了解Newton-Cotes公式；复和求积公式，龙贝格算法。例1：用梯形公式和辛普森公式计算积分，并估计误差。例2：求近似公式的代数精度。例3：求三个不同的节点和常数c，使求积公式具有尽可能高的代数精度.例4：推导求积公式.第六章非线性方程与非线性方程组1、了解二分法；简单迭代法；2、掌握迭代法收敛的充分条件；3、掌握Newton迭代法及局部收敛条件；了解弦割法；例1：叙述二分法的优缺点。例2：用二分法和迭代法求方程的根。例3：判别下列方程能否用迭代法求解：（1）(2)例4：证明用迭代公式，产生序列，对于均收敛于.例5：设，试建立求的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算.第七章解方程组的数值方法了解Gauss消去法，掌握列主元素消去法直接三角分解法，掌握Doolittle分解法，了解追赶法掌握向量与矩阵的范数；了解条件数，病态方程组的性态；掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法；掌握迭代法的收敛的充分条件、充要条件与误差估计。例1：用Gauss消去法、列主元素消去法和矩阵的三角分解法（分解）分别解方程组.例2：（1）设，求，，.（2）已知，求，；并求，.例3：给定线性方程组，写出雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式；并考察它们的敛散性。例4：设A为n阶非奇异矩阵，表示矩阵的任何一种算子范数，试证.第八章常微分方程初值问题的数值解法掌握显、隐式Euler方法、梯形公式与改进Euler方法；掌握二阶、四阶龙格-库塔方法；会分析局部截断误差与整体截断误差；了解数值方法的收敛性与稳定性，会求绝对稳定区域。例1：试分别用欧拉方法、改进欧拉方法以及经典R-K方法求初值问题的数值解。例2：对初值问题，证明用梯形公式求得的近似解为。例3：求向后欧拉方法的绝对稳定区域。题型填空